A 04 – Feder-Masse-Schwinger unter periodischer Anregung

 

Der abgebildete Feder-Masse-Schwinger wird einer periodischen Belastung ausgesetzt. Die Belastungsfunktion ist nachstehend dargestellt. Berechnen Sie die Verschiebungsantwort der Masse m. Lösen Sie die Aufgabenstellung im Frequenzbereich.

feder-masse-schwinger-unter-periodischer-anregung

Gegeben: Federsteifigkeit c, Masse m, Lastamplitude P

Lösung 4

Wir stellen die allgemeine periodische Anregung zunächst als Fourierreihe dar:

F\left( t \right) = {F_0}+\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {{F_{cn}}\cos \left( {n\Omega t} \right)+{F_{sn}}\sin \left( {n\Omega t} \right)} \right)}

\quad {F_0} = \frac{1}{T}\int\limits_0^T {F\left( t \right)dt}

\quad {F_{cn}} = \frac{2}{T}\int\limits_0^T {F\left( t \right)\cos \left( {n\Omega t} \right)dt}

\quad {F_{sn}} = \frac{2}{T}\int\limits_0^T {F\left( t \right)\sin \left( {n\Omega t} \right)dt}

In unserem Fall für die Sägezahnfunktion gilt:

fourier-koeffizienten-saegezahn-funktion

(Das Integral über eine symmetrische Funktion multipliziert mit einer antimetrischen Funktion ergibt null.)

Für die Berechnung von {F_{sn}} müssen wir zunächst die Funktion für F\left( t \right) aufstellen:

F\left( t \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}  {\frac{{4P}}{T}t,}&{0 \leq t \leq \frac{T}{4}} \\   {2P\left( {1-\frac{{2t}}{T}} \right),}&{\frac{T}{4} < t \leq \frac{3}{4}T} \\   {4P\left( {\frac{t}{T}-1} \right),}&{\frac{3}{4}T < t \leq T}  \end{array}} \right.

Es ergibt sich:

{F_{sn}} = \frac{2}{T}\int\limits_0^{\frac{T}{4}} {4\frac{P}{T}t\;\sin \left( {n\Omega t} \right)dt}

\quad +\frac{2}{T}\int\limits_{\frac{T}{4}}^{\frac{3}{4}T} {2P\left( {1-\frac{2}{T}t} \right)\sin \left( {n\Omega t} \right)dt}

\quad +\frac{2}{T}\int\limits_{\frac{3}{4}T}^T {4P\left( {\frac{t}{T}-1} \right)\sin \left( {n\Omega t} \right)dt}

mit

T = \frac{{2\pi }}{\Omega },\quad \Omega = 2\pi f

Durch Integration und Zusammenfassen erhalten wir:

{F_{sn}} = -\frac{{16P\left( {\cos \left( {\frac{{3n\pi }}{4}} \right)+\cos \left( {\frac{{5n\pi }}{4}} \right)} \right){{\left( {\sin \left( {\frac{{n\pi }}{4}} \right)} \right)}^3}}}{{{n^2}{\pi ^2}}}

Mit

\cos \left( {\frac{{3n\pi }}{4}} \right) = 0\quad \wedge \quad \cos \left( {\frac{{5n\pi }}{4}} \right) = 0\quad f\ddot ur\quad n = 2,6,10, \ldots

und

\sin \left( {\frac{{n\pi }}{4}} \right) = 0\quad f\ddot ur\quad n = 4,8,12, \ldots

ergibt sich, dass wir nur die ungeraden Werte für n berücksichtigen müssen:

F\left( t \right) = \sum\limits_{n = 1,3,5, \ldots }^\infty {{F_{sn}}\sin \left( {n\Omega t} \right)}

Diesen Verlauf der Erregerkraft setzen wir in unsere Differentialgleichung ein, wie aus den bisherigen Aufgaben bekannt:

m\ddot x+cx = F\left( t \right)

Zur Lösung verwenden wir einen Ansatz vom Typ der rechten Seite:

x\left( t \right) = \sum\limits_{n = 1,3, \ldots }^\infty {{x_n}\sin \left( {n\Omega t} \right)}

\dot x\left( t \right) = \sum\limits_{n = 1,3, \ldots }^\infty {{x_n}n\Omega \cos \left( {n\Omega t} \right)}

\ddot x\left( t \right) = -\sum\limits_{n = 1,3, \ldots }^\infty {{x_n}{n^2}{\Omega ^2}\sin \left( {n\Omega t} \right)}

Einsetzen:

\sum\limits_{n = 1,3, \ldots }^\infty {\left( {-m{x_n}{n^2}{\Omega ^2}+c{x_n}} \right)\sin \left( {n\Omega t} \right)} = \sum\limits_{n = 1,3, \ldots }^\infty {{F_{sn}}\sin \left( {n\Omega t} \right)}

Koeffizientenvergleich liefert:

\left( {-m{n^2}{\Omega ^2}+c} \right){x_n} = {F_{sn}}

\quad \Rightarrow \quad {x_n} = \frac{{{F_{sn}}}}{{-m\left( {{n^2}{\Omega ^2}-\frac{c}{m}} \right)}}

\eta = \frac{\Omega }{{{\omega _0}}}\quad \Rightarrow \quad {\Omega ^2} = {\eta ^2}\omega _0^2\quad ;\quad {\omega _0} = \sqrt {\frac{c}{m}} \quad \Rightarrow \quad m = \frac{c}{{\omega _0^2}}

\quad \Rightarrow \quad {x_n} = \frac{{{F_{sn}}}}{{-\frac{c}{{\omega _0^2}}\left( {{n^2}{\eta ^2}\omega _0^2-\omega _0^2} \right)}} = \frac{{{F_{sn}}}}{{c\left( {1-{n^2}{\eta ^2}} \right)}}

In den Ansatz einsetzen:

x\left( t \right) = \sum\limits_{n = 1,3, \ldots }^\infty {\frac{{{F_{sn}}}}{c}\frac{1}{{1-{{\left( {n\eta } \right)}^2}}}\sin \left( {n\Omega t} \right)}

Einführen der Vergrößerungsfunktion:

x\left( t \right) = \sum\limits_{n = 1,3, \ldots }^\infty {\underbrace {\frac{{{F_{sn}}}}{c}{V_n}\left( \eta \right)}_{ = :{{\hat x}_n}}\sin \left( {n\Omega t} \right)}

{V_n}\left( \eta \right) = \frac{{{{\hat x}_n}}}{{\frac{{{F_{sn}}}}{c}}}

Wenn 1-{\left( {n\eta } \right)^2} = 0 gilt, dann ergibt sich:

1-{n^2}\frac{{{\Omega ^2}}}{{\omega _0^2}} = 0\quad \Rightarrow \quad \Omega = \frac{1}{n}{\omega _0}

Diagramm für den Frequenzbereich mit \Omega \to {\omega _0}:

diagramm-fuer-den-frequenzbereich

\mathcal{J}\mathcal{K}\& \mathcal{S}\mathcal{W}