.01.3 – Federpendel an masselosem Stab

 

Aufgabe Federpendel an masselosem Stab

Die punktförmige Masse m wird durch den masselosen, starren Stab und durch eine Feder mit der Federkonstante c gestützt. Für das schwingungsfähige System sind die Bewegungsgleichung und die Eigekreisfrequenz anzugeben.

Gegeben: h, c, m

Lösung

Vorgehen bei einem Problem dieser Art:

  1. Skizze am ausgelenkten System (freischneiden)
  2. Kinematik
  3. Bilanzgleichungen, SPS, DS
  4. Berechnung

Schritt 1:

Freigeschnittenes System

Schritt 2:

Winkelbeziehungen

Schritt 3:

Der Schwerpunktsatz entfällt, da es nur eine Rotation gibt.

Drallsatz:

\Theta \ddot \varphi = m g h \sin \varphi-F_c h \cos \varphi

Schritt 4:

Wir verwenden den Satz von Steiner:

\Theta = m h^2

F_c = c \Delta L = c h \sin \varphi

m h^2 \ddot \phi = m g h \sin \varphi-c h^2 \sin \varphi \cos \varphi

Die Differentialgleichung ist nicht linear, daher können wir sie nicht ohne weiteres lösen. Um das Problem berechnen zu können, linearisieren wir (Taylorentwicklung bis zum 1. Glied):

f\left( t \right) = \left. {\frac{{df\left( \phi  \right)}} {{d\phi }}} \right|_{\phi  = 0}  \cdot \phi  = \left[ {mgh\cos \phi -ch^2 \left( {\cos ^2 \phi -\sin ^2 \phi } \right)} \right]_{\phi  = 0}  \cdot \phi

f\left( t \right) = mgh\phi -ch^2 \phi

Wir setzen also:

m h^2 \ddot \varphi = m g h \varphi-c h^2 \varphi = \left( m g h-c h^2 \right) \varphi

\ddot \varphi+\frac{c h-m g}{m h} \varphi = 0

\Rightarrow \ddot \varphi+\omega_1^2 \varphi = 0

\omega_1 = \sqrt{ \frac{c h-m g}{m h} }

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2 Kommentare zu “.01.3 – Federpendel an masselosem Stab”

Sehr schönes Beispiel :) Ich bearbeite momentan ein ganz ähnliches Problem.

Kleiner Hinweis in der vorletzten fehlt das phi nach dem omega_1^2 , und ist die Eigenkreisfrequenz nicht normaler Weise mit omega_0 angegeben? Macht aber vermutlich eh jeder wie er will.

Grüße

Danke für den Hinweis, ich habe das phi ergänzt. Die Eigenfrequenz könnte man auch mit 0 bezeichnen, die 1 kommt von anderen Problemen, wie der Saitenschwingung, bei denen es mehrere omega gibt.

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