Ist diese Summe der Teiler kleiner als die Zahl selbst, heißt die Zahl defizient. Ist die Teilersumme dagegen größer, so spricht man von einer abundanten Zahl.

Da 12 die kleinste abundante Zahl ist, ist die kleinste Zahl, die als Summe von zwei abundanten Zahlen geschrieben werden kann, 24. Mit mathematischer Analysis kann gezeigt werden, dass alle natürlichen Zahlen, die größer als 28123 sind, als Summe von zwei abundanten Zahlen geschrieben werden können. Dieses obere Limit kann nicht weiter gedrückt werden, obwohl bekannt ist, dass die größte Zahl, die nicht als Summe von zwei abundanten Zahlen ausgedrückt werden kann, sehr viel kleiner ist (kleiner als 21000).

Finde die Summe aller positiven natürlichen Zahlen, die nicht als Summe zweier abundanten Zahlen ausgedrückt werden können.

Lösung

Hier könnte man zu einem Brute-Force Ansatz greifen, indem man alle abundanten Zahlen von 1 bis 21000 bestimmt, alle Kombinationen aus diesen bildet, die doppelten Kombinationen löscht, den Vektor sortiert und prüft, welche Zahlen nicht darin enthalten sind. Dies sind die Zahlen, die nicht als Summe von zwei abundanten Zahlen geschrieben werden können.

Da aber ungefähr jede dritte Zahl abundant ist, gibt es zwischen 1 und 21000 ca. 7000 abundante Zahlen, also 49000000 Kombinationen. Diese zu berechnen dauert relativ lange.

Statt dessen können wir von jeder betrachteten Zahl in einer Schleife die abundanten Zahlen abziehen und prüfen, ob bei der Subtraktion wieder eine abundante Zahl herauskommt. In diesem Fall kann die Zahl als Summe von zwei abundanten Zahlen ausgedrückt werden und wir können mit der nächsten Zahl weitermachen. So sparen wir sehr viel Rechenzeit, da die Schleifen vorzeitig mit break verlassen werden können.

Matlab-Code:

function  euler023

    clear
    tic

    target = 21000;

    abundant = 0;
    for i = 1 : target
        if i < divSum(i)
            abundant = [abundant i];
        end
    end
    abundant = abundant(2 : length(abundant));
    toc

    tic
    notPossible = 0;
    for i = 1 : target
        possible = 0;
        for a = 1 : length(abundant)
            comp = i - abundant(a);
            if comp <= 0
                break
            end
            if find(abundant == comp) ~= 0
                possible = 1;
                break
            end
        end
        if possible == 0
            notPossible = [notPossible i];
        end
    end
    sum(notPossible)
    toc
end

function d = divisors(z)

    d = 1;
    for i = 2 : z / 2
        if mod(z, i) == 0
            d = [d i];
        end
    end
end

function s = divSum(z)

    s = sum(divisors(z));
end

Ergebnis: 4179871
Rechenzeit: 49.913802 Sekunden

Es gibt elegantere Lösungen für diese Aufgabe!

names-opt.txt

Diese 36K Textdatei enthält über 5000 Vornamen. Beginne damit, die Namen alphabetisch zu sortieren. Anschließend ermittle den alphabetischen Wert jedes Namens und multipliziere diesen mit der Position in der Liste, um die Punktzahl des Namens zu finden.

Beispiel:

Wenn die Liste alphabetisch sortiert ist, ist COLIN der 938ste Name. Der Wert des Namens ist . Die Punktzahl ist also .

Was ist die Summe aller Punktzahlen in der Datei?

Lösung

Durch die Verwendung der Matlab-Funktion “textread” können wir die lowlevel-Routinen umgehen und erhalten direkt einen Vektor mit Namen. Diesen zu sortieren kostet nur einen weiteren Befehl. Anschließend werden die Buchstabenwerte ermittelt, wobei jeweils 64 abgezogen werden muss, damit das A den Wert 1 bekommt.

Matlab-Code:

function euler022

    clear
    tic

    names = textread('names-opt.txt', '%s');
    names = sort(names);

    n = length(names);
    res = 0;

    for i = 1 : n
        c = char(names(i));
        d = double(c) - ones(1, length(double(c))) * 64;
        res = res + sum(d) * i;
    end

    res
    toc
end

Ergebnis: 871198282
Rechenzeit: 0.158471 Sekunden

Wenn und gilt mit , dann sind und ein Paar befreundeter Zahlen und und werden befreundete Zahlen genannt.

Beispiel:

Die echten Teiler von 220 sind 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 und 110.

Es ist also

Die echten Teiler von 284 sind 1, 2, 4, 71 und 142.

Es ist also

Finde die Summe aller befreundeten Zahlen unter 10000!

Lösung

In einer Schleife werden alle Zahlen von 1 bis 10000 mit der Summe der Teiler der Summe der Teiler von sich selbst verglichen. Wenn diese gleich sind, muss noch ausgeschlossen werden, dass es sich um eine vollkommene Zahl handelt. Eine natürliche Zahl wird vollkommene Zahl (auch perfekte Zahl) genannt, wenn sie genauso groß ist wie die Summe ihrer positiven echten Teiler.

Um die Teiler herauszufinden, implementieren wir eine eigene kleine Funktion.

Matlab-Code:

function  euler021

    clear;
    tic

    amicable = 0;
    for i = 1 : 10000
        if i == divSum(divSum(i)) && i ~= divSum(i)
            amicable = [amicable i];
        end
    end

    sum(amicable)
    toc
end

function d = divisors(z)

    d = 1;
    for i = 2 : z / 2
        if mod(z, i) == 0
            d = [d i];
        end
    end
end

function s = divSum(z)

    s = sum(divisors(z));
end

Ergebnis: 31626
Rechenzeit: 4.948899 Sekunden

.

Was ist die Quersume der Fakultät von 100?

Lösung

Da Matlab nicht symbolisch rechnet, erhalten wir für die Fakultät von 100 nur eine Näherung. Die Eingabe

factorial(100)

ergibt als Ergebnis: 9.3326e+157

Dies hilft uns nicht bei der Berechnung der Quersumme, aber immerhin wissen wir so schon, wie viele Stellen das Ergebnis hat (nämlich 158).

Wir erstellen daher einen Vektor mit Integerwerten von 0 bis 9 und der Länge 160, speichern in der letzten Stelle die 1 und lassen dann die Zahlen von 2 bis 100 mit einer eigenen Multiplikationsfunktion verarbeiten. Dabei wird der jeweilige Faktor mit jeder Stelle des Vektors multipliziert. Anschließend wird jeweils der Übertrag in die höheren Felder übernommen, so dass die Einträge des Vektors einstellig bleiben.

Matlab-Code:

function euler020

    clear;
    tic

    vecLength = 160;
    n = 100;

    f = zeros(1, vecLength);
    f(vecLength) = 1;

    for i = 2 : n
        f = multiply(f, i);
    end

    sum(f)
    toc
end

function m = multiply(f, g)

    vecLength = length(f);
    m = zeros(1, vecLength);
    for i = vecLength : -1 : 1
        if f(i) > 0
            m(i) = m(i) + f(i) * g;
            j = i;
            while m(j) > 9
                m(j - 1) = m(j - 1) + floor(m(j) / 10);
                m(j) = mod(m(j), 10);
                j = j - 1;
            end
        end
    end
end

Ergebnis: 648
Rechenzeit: 0.003774 Sekunden

1. Skizzieren Sie den Verlauf des Nullwiderstandsbeiwertes über der Machzahl. Kennzeichnen Sie die jeweiligen Anteile und beschreiben Sie deren physikalischen Ursprung.
2. Definieren Sie die Machzahl des Widerstandsanstieges. Bestimmen Sie den Wert mittels des angehängten Diagramms. Welchen Einfluss haben Flügelpfeilung und relative Dicke?
3. Bestimmen Sie die Widerstandsfläche und den Nullwiderstandsbeiwert des Eurofighters bei einer Geschwindigkeit von in einer Höhe von 6km. Das Profil werde dabei zu 30% laminar umströmt.
4. Skizzieren Sie den Verlauf des Nullwiderstandes (Kraft) über der Machzahl!

Technische Daten Eurofighter:

Spannweite:

Referenzfläche:

Profil:

Gesamtlänge:

Max. Rumpfbreite:

Lösung

1)

Ma* ist die kritische Machzahl. Dies ist diejenige Anströmmachzahl, bei der durch die Übergeschwindigkeit auf der Oberseite des Flügelprofils gerade Ma = 1 erreicht wird.

(SVK: Schallvorderkante) ist diejenige Machzahl, mit der das Luftfahrzeug sich bewegen muss, damit die Geschwindigkeit senkrecht zur Flügelvorderkante (die senkrechte Anströmgeschwindigkeit) genau Ma = 1 erreicht.

Dabei gilt in etwa:

Zu beachten ist noch, dass der Widerstand selbst trotz des sinkenden Widerstandsbeiwertes bei höherer Machzahl steigt!

2)

Die Machzahl des Widerstandsanstiegs ist definiert als diejenige Machzahl, bei der der Widerstandsanstieg über der Machzahl 0,1 beträgt:

DD: Divergence Drag

Bestimmen können wir diese Machzahl mit Hilfe des folgenden Diagrams (für Großansicht hier klicken):

Folgende benötigte Werte haben wir bereits in Übung 2 bestimmt:

Taper Ratio = Zuspitzung =

Thickness Ratio = maximale relative Dicke =

Aspect Ratio = Streckung =

Für den Pfeilungswinkel gilt wie in Übung 2:

wobei für den Eurofighter gilt:

Hier noch einmal zur Vertiefung die Bedeutung der einzelnen Werte:

Sweep Angle:

Der Sweep Angle oder auch Pfeilungswinkel, welcher einen gepfeilten Flügel charakterisiert, wird normalerweise entlang der 25%-Linie gemessen.

Thickness Ratio (maximale relative Dicke):

Streckung:

Zuspitzung:

Damit sieht das ausgefüllte Diagramm wie folgt aus (für Großansicht hier klicken):

Daraus folgt also:

Einfluss von Flügelpfeilung und relativer Dicke:

3)

Bei können wir den transsonischen Wellenwiderstand nicht vernachlässigen!

Zunächst wenden wir uns den einzelnen Baugruppen zu:

Wir beginnen mit dem Rumpf:

1. Charakteristische Lauflänge:

Dieser Wert ist in der Aufgabenstellung gegeben:

2. Reynoldszahl:

Es gilt:

Für die Dichte in der internationale Standardatmosphäre gilt:

Für die Geschwindigkeit v gilt:

mit

Zur Berechnung der dynamischen Viskosität µ benötigen wir folgende Formel:

Durch Einsetzen erhalten wir somit für die Reynoldszahl:

Dabei handelt es sich um eine turbulente Strömung, da der Umschlag von laminar auf turbulent bei einer Reynoldszahl von etwa stattfindet.

Nun müssen wir noch die so genannte Cutoff-Reynoldszahl bestimmen, da die empirischen Formeln zu Bestimmung des Reibbeiwertes nur in einem begrenzten Reynoldszahl-Bereich gelten.

Mit zunehmender Reynoldszahl nimmt der Reibbeiwert ab, kann jedoch aufgrund der Oberflächenrauhigkeit einen Mindestwert nicht unterschreiten.

Um eine untere Grenze der Näherungskurve für den Reibbeiwert zu berücksichtigen, wird eine Obergrenze für die Reynoldszahl eingeführt. Ist die tatsächliche Reynoldszahl größer als die Cutoff-Reynoldszahl, so ist letztere maßgeblich für die Bestimmung des Reibbeiwerts.

Für die Cutoff-Reynoldszahl gilt:

Wir setzen dabei für einen glatten Anstrich der Flügel.

Somit können wir also die zuerst berechnete Reynoldszahl weiterverwenden.

3. Reibbeiwert:

Da es sich um eine turbulente Strömung handelt benötigen wir die zweite Formel:

Damit lässt sich nun der Beiwert für den schädlichen Widerstand des Rumpfes bestimmen:

mit:

(Prandtl-Glauert-Faktor)

Als Rumpflänge wurden hier 15 m gewählt, da in der Gesamtlänge auch noch die Länge des überstehenden Höhenleitwerks / Seitenruders (0,95 m) enthalten ist.

4. Referenzfläche:

Für die Bezugsfläche, welche hier die Oberfläche des Rumpfes ist gilt:

Damit gilt für die Widerstandsfläche der Baugruppe:

Wir kommen nun zum Triebwerk.

1. Charakteristische Lauflänge:

Die Charakteristische Länge ist hier die Einlauflänge (Länge des Ansaugschachtes des Triebwerks / der Triebwerke):

Diese Länge erhält man aus der Länge vom Einlauf bis zum Ende des Flugzeugs, abzüglich der bekannten Länge des Triebwerks (beim Eurofighter 4 Meter).

2. Reynoldszahl:

Bei hohen Geschwindigkeiten kann bei Kampfflugzeugen der Einlaufsquerschnitt verkleinert werden, um die Strömungsgeschwindigkeit wieder herabzusetzen. Dies ist bei aber noch nicht der Fall. Wir rechnen daher auch mit dieser Geschwindigkeit als Geschwindigkeit im Einlauf.

Analog zu oben folgt hier:

3. Reibbeiwert:

4. Referenzfläche:

Für den Durchmesser des Triebwerkseinlaufs wählen wird dabei:

(Literaturwert)

Nun machen wir mit den Flügeln weiter

1. Charakteristische Lauflänge:

Zu beachten ist, dass wir hier mit der exponierten Flügelfläche weiterrechnen müssen, da wir das Flugzeug in Komponenten unterteilt haben!

Durch die Messungen aus Aufgabe 1 ergibt dich damit:

Die Bezugsflügeltiefe können wir geometrisch anhand der Zeichnung bestimmen (siehe letzte Übung):

2. Reynoldszahl:

turbulent

(für den laminaren Teil)

Zu beachten ist hierbei, dass für den laminaren Reibbeiwert die mit 0,3 multiplizierte Reynoldszahl verwendet wird, da sich dieser vorne auf dem Flügel befindet und daher vom hinteren (turbulenten) Teil unabhängig ist.

Für die Berechnung des turbulenten Reibbeiwertes muss dagegen die Reynoldszahl der gesamten Flügellänge verwendet werden, da der laminare Teil (30 %) auch einen Einfluss auf den turbulenten Teil hat.

Diese beiden Reibbeiwerte werden nun noch gewichtet aufaddiert:

Für den Beiwert vom Profilwiderstand des Flügels gilt:

Für den Flügel folgt wie in Übung 2 aus „NACA 64A 004.6 mod“ für die relative Dicke:

(Berechnung siehe weiter oben)

Für den Prandtl-Glauert-Faktor gilt:

Für die Faktoren A und B gilt:

Damit folgt nun also:

Für die Widerstandsfläche gilt:

erhalten wir wie in Übung 2 durch ausmessen:

Nun folgt das Seitenleitwerk:

Jetzt noch das Höhenleitwerk:

Wir führen nun alle berechneten Werte zusammen:

Die Werte für haben wir alle berechnet. Für die Interferenzen gibt es Formeln, die an dieser Stelle allerdings zu aufwändig wären. Wir schätzen daher, dass durch Interferenzen 20% Widerstand hinzukommen.

Es ergibt sich (bei Vernachlässigung des Wellenwiderstandes):

Es fehlt nun noch der Wellenwiderstand, über den wir keinerlei Informationen haben. Es gibt jedoch eine Formel, mit der man sich die gesamte Rechnung sparen kann, wenn man nur drei relevante Werte kennt:

bekommen wir aus folgender Tabelle:

Für betrachten wir das folgende Diagram:

Der Eurofighter liegt etwa zwischen der Phantom und der F-102 Delta Dagger. Wir schätzen den Wert daher mit ab.

Es ergibt sich:

Vergleichen wir diesen Wert mit dem vorher berechneten, sehen wir, dass der Wellenwiderstand etwa 10% ausmacht.

Lösung

S: Seitenlänge
h: Höhe
c: Diagonale
k: Tiefe

Gesucht: c

Wenn man die Tiefe nicht bei 0, sondern bei 1 beginnen lässt, so kommet man auf:

Anzahl der Knoten des Baums: O(n)

Tiefe:

Gesamtaufwand:

Lösung

public class Suche {
	public static void main(String[] args) {
		double x[] = {10, 12, 50, 5, 13, 6, 8, 11};
		double Min = Double.POSITIVE_INFINITY;
		double LastMin = Double.NEGATIVE_INFINITY;
		int m = 3;
		int n = x.length;
		for (int j = 0; j < m ; j++){
			for (int i = 0; i < n ; i++)
				if (x[i] < Min && x[i] > LastMin)
					Min = x[i];
			LastMin = Min;
			Min = Double.POSITIVE_INFINITY;
			System.out.print(LastMin+" ; ");
		}
	}
}

Liefert: 5.0 ; 6.0 ; 8.0 ;

Rechenzeitkomplexität wäre allerdings:

Ein besserer Algorithmus hat den Aufwand n:

sortiere den Vektor x im Bereich [0, m]
für i = m bis n
	tausche x[i] mit x[m]
	j = m
	solnge j > 0 und x[j-1] > x[j]
		tausche x[j-1] mit x[j]
		-- j

Hinweis:

Lösung

Da die Geschwindigkeit im Unendlichen gegeben ist, wissen wir, dass es sich um eine Hyperbel handelt.

a) aus einer 300km hohen Kreisbahn um die Erde auf den geostationären Orbit,
b) aus der Erdbahn zur Merkurbahn
c) aus der Erdbahn zur Marsbahn
d) aus der Erdbahn zur Plutobahn

Wie hoch müsste in den betrachteten Fällen der Treibstoffanteil für sein?

Lösung

a )

Bei den Aufgabenteilen b) bis d) fliegen wir von einer Planetenbahn zu einem anderen. Wir befinden uns daher nicht im Gravitationsfeld der Erde, sondern das bestimmende Gravitationsfeld ist das der Sonne. Wir rechnen daher mit . Ansonsten erfolgt die Rechnung analog zu a).

Ergebnisse in Tabellenform:

a )

30°

b )

45° beträgt

c )

Bei welchem Abschusswinkel würde die Reichweite dieser Rakete maximal? Wie groß wäre diese maximale Reichweite?

d )

Welche Reichweite müsste eine Interkontinentalrakete haben, um von einem Ort mit 48° nördlicher Breite und 11° östlicher Länge zu einem Ort mit 21° südlicher Breite und 60° östlicher Länge zu gelangen?

Lösung

a )

Den Wert für haben wir dabei im Bogenmaß angegeben, da wir damit weiterrechnen müssen.

b )

Mit den Formeln aus der ersten Teilaufgabe erhalten wir hier:

c )

Für die maximale Reichweite benutzen wir wieder die Formel aus der Formelsammlung:

d )

Ort 1:

48° Nord, 11° Ost (München)

Ort 2:

21° Süd, 60° Ost (irgendwo im indischen Ozean)

Die beiden Orte lassen sich mit Hilfe von Kugelkoordinaten angeben:

Breite , Länge :

Mit dem Skalarprodukt lässt sich der direkte Winkel zwischen den Orten bestimmen: