Annahmen:

• Der Regentropfen kann als starre Kugel behandelt werden.
• Die Temperatur des Regentropfens und die Temperatur der Umgebung bleiben konstant.
• Der Stoffübergangswiderstand liegt vollständig auf der Gasseite.

Aufgaben:

1. Berechnen Sie den Diffusionskoeffizienten von Wasser in Luft.
2. Bestimmen Sie den Stoffübergangskoeffizienten in Abhängigkeit vom Tropfendurchmesser.
3. Wie sieht der Wasserkonzentrationsverlauf vom Tropfen bis in die Umgebung aus?
4. Leiten Sie eine Funktion für die zeitliche Abnahme des Tropfendurchmessers her.
5. Wie lange dauert es, bis ein Tropfen mit dem Durchmesser verdunstet ist?

Gegeben:

Tropfendurchmesser:

Diffusionskoeffizient :

Kinematische Viskosität:

Temperatur Tropfen:

Temperatur Umgebung:

Fallgeschwindigkeit Tropfen:

Relative Luftfeuchte:

Koeffizienten der Antoine-Gleichung für Wasser:

Dichte Wasser:

Molmasse Wasser:

Diffusionskoeffizient für Wasser/Luft-Gemische:

Relative Luftfeuchte:

Sherwood-Zahl:

Antoine-Gleichung: und

Lösung

a) Diffusionskoeffizient

Wir müssen zunächst die mittlere Temperatur bestimmen:

Damit berechnen wir nun den Diffusionskoeffizienten:

b) Stoffübergangskoeffizient

Hier benötigen wir die Sherwood-Zahl:

Dabei ist die Schmidt-Zahl:

Damit folgt:

c) Wasserkonzentrationsverlauf

d) Funktion für die zeitliche Abnahme des Tropfendurchmessers

Für die zeitliche Änderung der Masse gilt:

Für den konvektiven Stoffübergang gilt:

Für die Masse des Wassertropfens gilt:

Nun müssen wir alles einsetzen:

Zur Bestimmung der Konstante benötigen wir die Anfangsbedingung:

e) Dauer der Verdunstung

Für die Dichte gilt:

Für die Dicke des Tropfens soll gelten:

Für die den Druck gilt:

Mithilfe der Antoine-Gleichung folgt:

Der Partialdruck vom Wasser im Unendlichen lässt sich mithilfe der relativen Luftfeuchte bestimmen:

Durch Einsetzen folgt:

Annahmen:

• Betrachten Sie den Flüssigkeitsstand bei der Berechnung des übergehenden Massenstroms als konstant (quasistationäre Rechnung).
• Luft ist nicht in Flüssigkeit löslich.

Aufgaben:

1. Wie hoch ist der Dampfdruck der Flüssigkeit und der Partialdruck über der Flüssigkeitsoberfläche bei ?
2. Berechnen Sie den Diffusionskoeffizienten mit der Gleichung von Hirschfelder/Bird/Spotz.
3. Berechnen Sie mithilfe des Filmmodells den übergehenden flächenspezifischen Flüssigkeitsmassenstrom beim Füllstand .
4. Wie lange dauert es, bis der Füllstand von auf gesunken ist?
5. Wie hoch ist die Flüssigkeitskonzentration an der Stelle ?

Gegeben:

Höhen:

Durchmesser:

Druck:

Temperatur:

Molmasse Luft:

Molmasse Flüssigkeit:

Siedetemperatur Flüssigkeit:

Dampfdruck bei :

Lennard-Jones-Potential:

Kritisches Volumen Luft:

Kritisches Volumen Flüssigkeit:

Dichte der Flüssigkeit:

Vereinfachte Antoine-Gleichung: und

Zahlengleichung für den Diffusionskoeffizienten in nach (Hirschfelder/Bird/Spotz):

mit

mit in , in , in und in .

Lösung

a) Partialdruck und Dampfdruck

Für den Partialdruck der Flüssigkeit gilt:

Zur Bestimmung des Dampfdruckes bei 22°C benötigen wir nun die Antoine-Gleichung:

zur Bestimmung der Parameter und nutzen wir den gegebenen Dampfdruck bei 0°C und die Tatsache, dass bei Erreichen der Siedetemperatur die Flüssigkeit den Umgebungsdruck annehmen muss:

Damit folgt:

b) Diffusionskoeffizient

c) Flächenspezifischer Flüssigkeitsmassenstrom

Für den flächenspezifischen Flüssigkeits-Stoffstrom gilt:

Wenn Luft nicht in der Flüssigkeit löslich ist, muss im stationären Zustand nur soviel Luft nachströmen, wie Flüssigkeit verdampft und durch Diffusion abgeführt wird. Das bedeutet, der konvektive Strom der Luft muss gleich Null sein:

Damit folgt:

Mit folgt:

Für den Molenbruch der Flüssigkeit an der Oberfläche gilt:

Wir setzen ein und formen um:

Für den flächenspezifischen Flüssigkeitsmassenstrom gilt:

d) Dauer des Absinkens

e) Flüssigkeitskonzentration

Der Massenstrom muss über das gesamte Reagenzglas konstant sein:

Somit folgt:

Annahmen:

• Für die Diffusion darf die Konzentration des Gasgemisches längs des Weges als konstant angenommen werden.
• Der Konzentrationsgradient stellt sich unmittelbar nach dem Öffnen des Hahns ein.
• Die Gase können als ideal betrachtet werden.

Aufgaben:

1. Skizzieren Sie den Verlauf des Partialdrucks über dem Verbindungskanal zum Zeitpunkt und zum Zeitpunkt .
2. Welcher -Massenstrom und welcher -Massenstrom stellt sich zum Zeitpunkt ein?
3. Im Behälter I ist der Partialdruck auf abgesunken. Zeichnen Sie erneut den Partialdruck über dem Verbindungskanal.
4. Wie hoch sind die Partialdrücke von und im Behälter II?
5. Wie hoch ist nun der Massenstrom von in den Behälter II?
6. Wie sieht der zeitliche Verlauf des Partialdrucks im Behälter I aus?
7. Wie lange dauert es, bis der Partialdruck im Behälter I auf gesunken ist?

Gegeben:

Volumen der Behälter:

Länge des Verbindungskanals:

Querschnitt des Verbindungskanals:

Druck in den Behältern:

Temperatur in den Behältern:

Diffusionskoeffizient :

Molmasse :

Molmasse :

Lösung

a) Verlauf des Partialdrucks zu Beginn

b) Massenströme

Für den Massenstrom gilt allgemein:

Für die Diffusionskoeffizienten gilt in unserem Fall:

Für den -Massenstrom gilt somit:

Für den -Massenstrom gilt:

Einheitenbetrachtung:

c) Verlauf des Partialdrucks

d) Partialdrücke im Behälter II

Für den Partialdruck von und im Behälter II gilt:

Möglichkeit 1

Ideales Gasgesetz:

Möglichkeit 2

Anfangsbedingungen:

Durch Einsetzen folgt:

e) Neuer Massenstrom

f) Zeitlicher Verlauf des Partialdrucks im Behälter I

Durch Einsetzen folgt:

Zum Zeitpunkt gilt die Anfangsbedingung:

Durch Einsetzen folgt:

Daraus folgt als Lösung für den zeitlichen Verlauf von :

g) Dauer des Absinkens auf 0,8 bar

Annahmen:

• Die Gasflasche kann als Zylindermantel der Höhe angenähert werden. Boden und Deckel sind vernachlässigbar.

Aufgaben:

1. Leiten Sie anhand einer Bilanz um ein differentielles Element den Verlauf der Wasserstoffkonzentration über die Wand der Gasflasche her.
2. Lösen Sie die Differentialgleichung und bestimmen Sie die Konstanten.
3. Skizzieren Sie den Verlauf der Wasserstoffkonzentration über die Wand.
4. Wie hoch ist zu Beginn der Wasserstoffmassenstrom? Wie schnell sinkt zu Beginn der Druck in der Flasche?

Gegeben:

Temperatur:

Druck in der Flasche:

Höhe:

Innendurchmesser:

Wandstärke:

Partialdichte an der Innenseite:

Diffusionskoeffizient:

Molmasse Wasserstoff:

Lösung

a) Verlauf der Wasserstoffkonzentration

Differentielles Element:

Da in der Wand kein Wasserstoff gespeichert wird gilt für die Bilanz:

Taylorentwicklung des Stoffstroms:

Die Gleichung für den Stoffstrom folgt aus dem 1. Fick’schen Gesetz:

Durch Einsetzen erhalten wir:

Dies ist eine lineare Differentialgleichung mit variablem Koeffizienten.

b) Lösung der Differentialgleichung und Bestimmung der Konstanten

Rücksubstitution:

Randbedingungen:

Damit folgt:

Einsetzen liefert schließlich:

c) Verlauf der Wasserstoffkonzentration über die Wand

d) Massenstrom und Druckgradient zu Beginn

Für den Stoffstrom gilt:

Für den Wasserstoff-Massenstrom gilt damit:

Für die Bestimmung der Druckabnahme benötigen wir das ideale Gasgesetz:

Gegeben:

Molmasse Luft:

Molmasse Quecksilber:

Lösung

Für den Massenanteil von Quecksilber gilt:

Dabei steht ppm für “parts per million”.

Gegeben:

Volumenanteil :

Volumenanteil :

Volumenanteil :

Temperatur:

Druck:

Molmasse :

Molmasse :

Molmasse :

Lösung

Für die Volumenanteile gilt:

Damit folgt für die Molenbrüche:

Für die Partialdrücke gilt:

Das ideale Gasgesetz lautet:

Mit der allgemeinen Gaskonstante folgt:

Für die Umrechnung von Massenbrüchen in Molenbrüche gilt:

Damit folgt:

Aufgaben:

1. Wie sieht der Temperaturverlauf der Grenzschicht um den Flügel aus, wenn dieser als adiabat angenommen werden kann?
2. Welche Temperatur stellt sich am Flügel ein, wenn kein Wärmestrom in den Flügel abgeführt wird und die Prandtl-Zahl = 1 ist?
3. Wie sieht der Temperaturverlauf der Grenzschicht aus, wenn der Flügel gekühlt wird?
4. Die maximale Flügeltemperatur beträgt . Wie hoch ist der Wärmestrom, der im Flügel abgeführt werden muss?

Gegeben:

Temperatur des Raums:

Maximaltemperatur des Flügels:

Breite des Flügels:

Länge des Flügels:

Spezifische Gaskonstante Luft:

Isentropenexponent Luft:

Machzahl:

Kinematische Viskosität:

Prandtl-Zahl:

Wärmeleitfähigkeit:
Nußelt-Korrelation:

Einleitung – Konvektion bei schnellen Strömungen

Bei einer idealen, reibungsfreien Staupunktströmung gilt für die Totaltemperatur:

Für eine adiabate Wand gilt:

Für den Wärmestrom gilt:

Recovery-Faktor (gilt für Strömung mit Reibung)

Zahlenwerte für die ebene Platte:

laminare Grenzschicht:

turbulente Grenzschicht:

Für den Wandwärmestrom gilt:

: Wärmeübergangskoeffizient

Da die Stoffwerte von der Temperatur abhängig sind benötigt man eine Referenztemperatur, auf welche die Stoffwerte bezogen werden. Dies ist jedoch meist problematisch, da die Gleichungen dadurch nichtlinear werden.

Für die Referenztemperatur nach Eckert gilt:

Lösung

a) Temperaturverlauf

b) Temperatur am Flügel ohne Kühlung

c) Temperatur am Flügel mit Kühlung

d) Abzuführender Wärmestrom

Für den Wärmestrom gilt:

Gesucht sind hier und . Zu beachten ist der Faktor 2, da wir Ober- und Unterseite des Flügels betrachten.

Der Recovery-Faktor, den wir zur Bestimmung der Recovery-Temperatur benötigen, ist von der Umströmung abhängig. Wir berechnen also zunächst die Reynoldszahl:

Aus der Machzahl und der Schallgeschwindigkeit erhalten wir die Strömungsgeschwindigkeit:

Die kinematische Viskosität ist bisher unbekannt. Da die Viskosität von der Temperatur abhängt bestimmen wir nun einen Schätzwert mithilfe der mittleren Temperatur.

Einsetzen in die Formel für die Reynolds-Zahl:

Es handelt sich also um eine turbulente Strömung. Der Bereich an der Vorderkante, in dem die Grenzschichtströmung noch laminar ist, ist nur etwa 1,6 cm lang. Diesen Bereich können wir daher vernachlässigen.

Für die Nusselt-Zahl brauchen wir verschiedene Stoffwerte. Die Stoffwerte können für eine Referenztemperatur bestimmt werden. Die Referenztemperatur nach Eckert lautet:

Die Referenztemperatur ist wieder von der Recovery-Temperatur abhängig. Diese ist abhängig von der Prandtl-Zahl. Die Prandtl-Zahl ist ebenfalls temperaturabhängig, allerdings nur schwach.

Für den Recovery-Faktor bei turbulenter Strömung gilt näherungsweise:

Schätzwert für die Referenztemperatur durch die Näherung :

Es ergibt sich die Prandtl-Zahl aus der Angabe:

Damit rechnen wir nun einen besseren Wert für die Recovery-Temperatur aus:

Somit erhalten wir auch einen besseren Schätzwert für die Referenztemperatur:

Nun können wir den Wärmeübergangskoeffizienten berechnen.

Damit bestimmen wir die Reynolds-Zahl neu:

Dies ist immer noch deutlich größer als die kritische Reynolds-Zahl.

Damit und mithilfe der Nußelt-Korrelation können wir nun den Wärmeübergangskoeffizienten bestimmen:

Schließlich folgt durch Einsetzen der gesuchte Wärmestrom:

Annahme: Die Dicke der Eisschicht ist über die gesamte Platte zu jedem Zeitpunkt konstant.

Aufgaben:

1. Skizzieren Sie den Temperaturverlauf im System Platte – Eis – Wasser. Der Temperaturverlauf soll räumlich und zeitlich konstant sein. Die Wassertemperatur ist höher als die Gefriertemperatur.
2. Stellen Sie die Differentialgleichung für das Wachstum der Eisschicht normal zur Plattenoberfläche mit Hilfe einer Energiebilanz auf.
3. Wie dick ist die Eisschicht nach unendlich langer Wartezeit?
4. Machen Sie die Differentialgleichung dimensionslos und lösen Sie diese.
5. Wie lange dauert es, bis die Dicke der Eisschicht erreicht hat?

Gegeben:

Gefriertemperatur Wasser:

Temperatur des Wassers:

Wärmeleitfähigkeit Eis:

Dichte Eis:

Erstarrungswärme:

Wärmekapazität Eis:

Wärmeübergangskoeffizient:

Zusammenfassung – Schmelzen und Erstarren

Das wesentliche Problem bei Schmelz- und Erstarrungsprozessen ist die bewegte Phasengrenze.

Wir betrachten einen kalten Kern mit wachsender Eisschicht:

Umgebungstemperatur:
Kerntemperatur:
Temperatur der Phasenübergangsschicht:

Wir treffen nun zahlreiche Vereinfachungen:

• 
• mitbewegtes Koordinatensystem

Der zeitliche Verlauf der Wasser- und Eisschicht sieht wie folgt aus:

Der erste Hauptsatz lautet im Falle von Schmelz- und Erstarrungsvorgängen:

Daraus folgt die Energiebilanz

mit der Enthalpie bzw. und der Geschwindigkeit bzw. . An der Phasengrenze gilt die Kontinuitätsgleichung:

Schmelzenthalpie:

Damit folgt die Energiebilanz der Phasengrenze:

Hier ist die Geschwindigkeit der Phasengrenze. Beim Erstarren ist , beim Schmelzen analog .

Quasistationäre Näherung

Wir führen die Stefan-Zahl ein:

Sie ist eine dimensionslose Kennzahl und beschreibt das Verhältnis von fühlbarer Wärme (Wärme, die sich bei Zu- oder Abfuhr unmittelbar in Änderungen der Temperatur äußert) zu latenter Wärme (Bei einem Phasenübergang erster Ordnung aufgenommene oder abgegebene Energiemenge. Temperatur ändert sich nicht). Ihr Kehrwert ist die Phasenübergangszahl .

Näherung:

Damit wird das Wärmeleitproblem in die feste Phase verschoben. Zusätzlich nehmen wir an, dass die Energie, die im Kern frei wird, größer ist als jene, welche beim Transport der Energie (von außen zum kalten Kern) gespeichert wird.

Damit folgt für die instationäre Wärmeleitungsgleichung der Platte:

Um in der Praxis mit dieser quasistationären Näherung rechnen zu dürfen muss für die Phasenübergangszahl gelten:

Verwendung der Berechnungsmodelle:

Für den stationären Temperaturverlauf in wärmeleitenden Körpern ohne Wärmequellen gilt:

Lösung

a) Skizzieren des Temperaturverlaufs

b) Aufstellen der Differentialgleichung

Energiebilanz:

: Geschwindigkeit der Phasengrenze

Für den Wärmewiderstand einer ebenen Wand gilt:

Newton:

Für die Phasenzahl erhalten wir:

Somit dürfen wir das Modell der quasistationären Näherung verwenden, da die Speicherung von Wärmeenergie vernachlässigbar klein ist.

c) Dicke der Eisschicht

Nach unendlich langer Zeit stellt sich ein Gleichgewicht ein:

d) Entdimensionierung

Einsetzen in (*):

Nun setzen wir die Anfangsbedingung ein:

e) Dauer

.

Hierin beschreibt den Wärmefluss über den Körperrand und eine innere Wärmequelle. Die Primärvariable ist die Temperatur , die mit dem Wärmeflussvektor über das isotrope Fourier’sche Wärmeleitgesetz

in Verbindung steht. Der Materialparameter ist die Wärmeleitfähigkeit.

1. Formulieren Sie die Differentialgleichung und die Randbedingungen für den eindimensionalen Fall des Wärmeleitstabes. Welche Randbedingungen werden im Kontext der FEM unterschieden, welche Restriktionen in Bezug auf die Randbedingungen müssen erfüllt sein? Warum sind keine Anfangsbedingungen zu formulieren?
2. Leiten Sie die schwache Form der Differentialgleichung her. Welchen Bedingungen muss dabei die Testfunktion genügen? Bemerkung: Für die kinematische Beziehung kann benutzt werden.
3. Approximieren Sie die unbekannten Größen in der schwachen Form für ein repräsentatives Element mit linearen Ansätzen. Welche Bedingungen müssen Ansatzfunktionen allgemein erfüllen? Was verstehen Sie unter dem isoparametrischen Konzept?
4. Schreiben Sie die approximierte, schwache Form nieder. Berechnen Sie analog zur Impulsbilanz die in der approximierten, schwachen Form der Wärmeleitungsgleichung auftretende Konduktivitätsmatrix (Steifigkeitsmatrix).

Lösung 3

a) Differentialgleichung und Randbedingungen

Differentialgleichung für den eindimensionalen Fall:

Als Randbedingungen werden im Kontext der FEM die Dirichlet- und die Neumann-Randbedingung unterschieden. Für den eindimensionalen Fall des Wärmeleitstabes sind diese im Folgenden dargestellt.

Randbedingung 1. Art (Dirichlet)

Randbedingung 2. Art (Neumann):

Es darf allerdings nur entweder eine RB 1. oder 2. Art gegeben sein.

Anfangsbedingungen werden nicht benötigt, da das Problem stationär ist.

b) Herleitung der schwachen Form

Für die Herleitung der schwachen Formulierung benötigen wir:

Als Testfunktion verwenden wir:

Diese muss folgende Bedingungen erfüllen:

• Sie muss die Dirichlet-Randbedingungen genügen
• Sie muss den Feldgleichungen genügen, d.h.
• Sie ist infinitesimal klein und ansonsten beliebig

Zur Herleitung der schwachen Formulierung benutzen wir die Variante mit der 1. Green’schen Identität:

Mit der Green’schen Formel

folgt:

Im Eindimensionalen gilt:

Einsetzen:

c) Approximation

Wir wollen nun die unbekannten Größen der schwachen Form approximieren.

Allgemeine Bedingungen für die Ansatzfunktionen:

Die Ansatzfunktionen …

• müssen konform sein (Interaktion und Kompatibilität benachbarter finiter Elemente)
• müssen mindestens konstante Temperaturableitungen liefern
• …

Approximationen:

Für eine genaue Definition von siehe Skript und die vorherigen Übungsaufgaben.

Unter isoparametrischem Konzept (isoparametrischer Darstellung) verstehen wir, dass für verschiedene Approximationen die gleichen Formfunktionen verwendet werden.

d) Approximierte schwache Form und Konduktivitätsmatrix

Approximierte schwache Form:

Die Konduktivitätsmatrix bekommen wir wie folgt:

Für die Konduktivitätsmatrix folgt somit analog zu Übung 2 :

Gesucht sind die Hauptträgheitsmomente und die Lage der Hauptträgheitsachse in der xy-Ebene.

Gegeben: , , , .

Lösung 1.2

In der Maschinendynamik werden die meisten Größen durch Tensoren dargestellt. Diese lassen sich durch Ellipsoide im Raum veranschaulichen: Sie ändern ihre Form nicht, aber wenn man sie aus unterschiedlichen Richtungen (unterschiedliche Koordinatensysteme) anschaut, sehen sie jeweils anders aus.

Werden Ellipsoide in die 2D-Fläche projiziert, entstehen Ellipsen:

Eine Ellipse kann durch ihre Halbachsen und beschrieben werden. Das geht allerdings nur, wenn die Achsen des Koordinatensystems so liegen wie in der Abbildung. Die Ellipse kann dann durch die Gleichung

dargestellt werden.

In der vorliegenden Aufgabenstellung sind die Achsen um einen nicht bekannten Winkel gedreht:

Für die Umrechnung der Koordinatensysteme gilt:

Gegeben sind die Entfernungen der schwarz eingezeichneten Punkte vom Ursprung. In einer solchen Darstellung kann eine Ellipse durch die Gleichung

repräsentiert werden.

Nun kommen wir zur eigentlichen Lösung der Aufgabe.

Für den zentralen Trägheitstensor gilt:

Für Trägheitsmoment bezüglich einer momentanen Drehachse, die bei Aufhängung durch den Schwerpunkt geht, gilt:

Für die Winkel zur Drehachse gilt dabei:

Durch umstellen bekommender Gleichung bekommen wir das fehlende Deviationsmoment:

Die Hauptträgheitsmomente werden über folgendes Eigenwertproblem ermittelt:

Um keine triviale Lösung zu bekommen setzen wir die Determinante der Matrix gleich null:

Durch Einsetzen in das Eigenwertproblem erhalten wir: