4 – Ensemblierung der Struktur

 

Das Ziel dieses Kapitels ist die Formung eines Ensembles aus den zuvor generierten Elementen. Bei der Generierung des Systems gibt es folgende Forderungen:

  • Kompatibilität der finiten Elemente an gemeinsamen Strukturknoten
  • Darstellung in einem globalen Koordinatensystem

4.1 Transformation der Elementmatrizen und Vektoren

In den vorherigen Kapiteln haben wir einige Elementspezifische Größen kennengelernt:

  • Elementsteifigkeitsmatrix \underline{k} ^e
  • Elementlastvektor {\vec r^e}
  • Elementmassenmatrix \underline{m} ^e

Diese Größen sollen aus dem elementbezogenen Koordinatensystem {\vec e_1}, {\vec e_2}, {\vec e_3} in das globale Koordinatensystem \vec e_1^\prime, \vec e_2^\prime, \vec e_3^\prime transformiert werden.

Wenn das lokale KOS geschickt gewählt ist, existiert nur eine Verschiebung in {\vec e_1}-Richtung.u_1^{{e_i}},\;\;i = 1, \ldots ,p+1 hat lokal am Elementknoten i also nur eine Komponente. Im beliebigen KOS \vec e_1^\prime, \vec e_2^\prime, \vec e_3^\prime sind es jedoch drei Komponenten pro Knoten.

Skizze:

globale-lokale-koordinaten-transformation

Globaler Knotenverschiebungsvektor:

{\vec u^{e_i^\prime }} = {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {u_1^{e_i^\prime }}&{u_2^{e_i^\prime }}&{u_3^{e_i^\prime }} \end{array}} \right\}^ \top }

Globaler Elementverschiebungsvektor:

{\vec u^{{e^\prime }}} = {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\left\{ {{{\vec u}^{e_1^\prime }}} \right\}}^ \top }}& \ldots &{{{\left\{ {{{\vec u}^{e_{p+1}^\prime }}} \right\}}^ \top }} \end{array}} \right\}^ \top }

Zerlegung in die drei Raumrichtungen über Richtungskosinusfunktionen:

raumrichtung-kosinus-finite-elemente-transformation-referenz

L = \left\| {{{\vec x}^{e_2^\prime }}-{{\vec x}^{e_1^\prime }}} \right\|

\cos {\alpha _j} = \frac{{x_j^{e_2^\prime }-x_j^{e_1^\prime }}}{L},\quad j = 1,2,3

Knotenvektor:

{\vec x^{e_i^\prime }} = {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x_1^{e_i^\prime }}&{x_2^{e_i^\prime }}&{x_3^{e_i^\prime }} \end{array}} \right\}^ \top }

Elementvektor:

{\vec x^{{e^\prime }}} = {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\left\{ {{x^{e_1^\prime }}} \right\}}^ \top }}&{{{\left\{ {{x^{e_2^\prime }}} \right\}}^ \top }}& \ldots &{{{\left\{ {{x^{e_{p+1}^\prime }}} \right\}}^ \top }} \end{array}} \right\}^ \top }

Die lokalen Verschiebungen lassen sich wie folgt im globalen Koordinatensystem darstellen:

u_1^{{e_1}} = u_1^{e_1^\prime }\cos {\alpha _1}+u_2^{e_1^\prime }\cos {\alpha _2}+u_3^{e_1^\prime }\cos {\alpha _3}

u_1^{{e_2}} = u_1^{e_2^\prime }\cos {\alpha _1}+u_2^{e_2^\prime }\cos {\alpha _2}+u_3^{e_2^\prime }\cos {\alpha _3}

In Matrixform: {\vec u^e} = \underline{T} {\vec u^{{e^\prime }}} Dabei lautet die Transformationsmatrix allgemein für den Polynomgrad p:

\underline{T} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\vec T}_{\;1}}}&{}&{} \\ {}& \ddots &{} \\ {}&{}&{{{\vec T}_{\;p+1}}} \end{array}} \right],\quad \quad {\vec T_{\;i}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos {\alpha _1}}&{\cos {\alpha _2}}&{\cos {\alpha _3}} \end{array}} \right\}

Transformationsvorschrift:

{{\vec u}^e} = \underline{T} {{\vec u}^{{e^\prime }}}

\delta {\vec u}^e = \underline{T} \delta {\vec u}^{e^\prime}

{{\ddot {\vec u}}^e} = \underline{T} {{\ddot {\vec u}}^{{e^\prime }}}

Umgekehrt gilt:

{{\vec u}^{{e^\prime }}} = {\underline{T} }^ \top {{\vec u}^e}

\delta {{\vec u}^{{e^\prime }}} = {\underline{T} }^ \top \delta {{\vec u}^e}

{{\ddot {\vec u}}^{{e^\prime }}} = {\underline{T} }^ \top {{\ddot {\vec u}}^e}

Somit gilt für \delta \tilde W_{int}^e bzw. \delta \tilde W_{ext}^e:

\delta \tilde W_{int}^e = \delta {\vec u}^e \cdot {\underline{k} }^e{{\vec u}^e} = {\left\{ {\delta {{\vec u}^e}} \right\}^ \top }{\underline{k} }^e{{\vec u}^e} = \left\{ \underline{T} \delta {{\vec u}^{{e^\prime }}} \right\}^ \top {\underline{k} }^e\left\{ \underline{T} {{\vec u}^{{e^\prime }}} \right\}

= {\left\{ {\delta {{\vec u}^{{e^\prime }}}} \right\}^ \top }{\underline{T} }^ \top {\underline{k} }^e\underline{T} {{\vec u}^{{e^\prime }}} = \delta {{\vec u}^{{e^\prime }}} \cdot \underbrace {{\underline{T} }^ \top {\underline{k} }^e\underline{T} }_{{\underline{k} }^{{e^\prime }}}\;{{\vec u}^{{e^\prime }}} = \delta {{\vec u}^{{e^\prime }}} \cdot {\underline{k} }^{{e^\prime }}\;{{\vec u}^{{e^\prime }}} = \delta \tilde W_{int}^{{e^\prime }}

\delta \tilde W_{ext}^e = \delta {{\vec u}^e} \cdot {{\vec r}^e} = \delta {{\vec u}^{{e^\prime }}} \cdot \underbrace {{\underline{T} }^ \top {{\vec r}^e}}_{{{\vec r}^{{e^\prime }}}} = \delta {{\vec u}^{{e^\prime }}} \cdot {{\vec r}^{{e^\prime }}} = \delta \tilde W_{ext}^{{e^\prime }}

Analog gilt \underline{m} ^{e^\prime } = \underline{T} ^ \top \underline{m} ^e\underline{T}.

4.2 Ensemblierung der Elemente zum System

Wir führen die Ensemblierung zum System durch direkte Addition der Komponenten durch.

Beispiel:

finite-elemente-knoten-systemverschiebung-approximation

Assoziierte Elementknotenverschiebung und Verschiebungsapproximation:

assoziierte-elementknotenverschiebung-approximation

Zusammenhang zwischen System- und Elementknotenverschiebungen:

\delta {\tilde W_{int}} = \delta \tilde W_{int}^a+\delta \tilde W_{int}^e+\delta \tilde W_{int}^b

Veranschaulichung:

system-element-knotenverschiebungen-zusammenhang

4.3 Numerische Integration nach Gauß-Legendre

Die exakte analytische Integration von Funktionen ist aufwändig und oft nicht möglich:

analytische-integration-finite-elemente-methode

I = \int\limits_{-1}^1 {f\left( {{\xi _1}} \right)d{\xi _1}}

Wir führen daher eine numerische Integration als gewichtete Summe von Funktionswerten durch:

numerische-integration-gauss-legendre

I \approx \tilde I = \sum\limits_{i = 1}^{NG} {{\alpha ^i}f\left( {\xi _1^i} \right)}

Dabei ist NG die Anzahl der Stützstellen (“Number of Gauss Points”), {\alpha ^i} sind die Wichtungsfaktoren und f\left( {\xi _1^i} \right) die Funktionswerte an den Stützstellen. Mit dieser Formel werden Polynome des Polynomgrades p \leq 2NG-1 exakt integriert.

Gauß-Legendre-Quadratur:

\int\limits_{-1}^1 {f\left( {{\xi _1}} \right)d{\xi _1}} \approx \sum\limits_{i = 1}^{NG} {{\alpha ^i}f\left( {\xi _1^i} \right)}

Tabelle:

\begin{array}{*{20}{c}} {NG}&\vline & {2NG-1}&\vline & {f_1^i}&\vline & {{\alpha ^i}} \\ \hline 1&\vline & 1&\vline & {\xi _1^1 = 0}&\vline & {{\alpha ^1} = 2} \\ \hline 2&\vline & 3&\vline & {\begin{array}{*{20}{c}} {\xi _1^1 = -1/\sqrt 3 } \\ {\xi _1^2 = 1/\sqrt 3 } \end{array}}&\vline & {\begin{array}{*{20}{c}} {{\alpha ^1} = 1} \\ {{\alpha ^2} = 1} \end{array}} \\ \hline 3&\vline & 5&\vline & {\begin{array}{*{20}{c}} {\xi _1^1 = -\sqrt {3/5} } \\ {\xi _1^2 = 0} \\ {\xi _1^3 = \sqrt {3/5} } \end{array}}&\vline & {\begin{array}{*{20}{c}} {{\alpha ^1} = 5/9} \\ {{\alpha ^2} = 8/9} \\ {{\alpha ^3} = 5/9} \end{array}} \\ \hline 4&\vline & 7&\vline & {\begin{array}{*{20}{c}} {\xi _1^{1;4} = \mp 0,86114} \\ {\xi _1^{2;3} = \mp 0,33998} \end{array}}&\vline & {\begin{array}{*{20}{c}} {{\alpha ^{1;4}} = 0,34785} \\ {{\alpha ^{2;3}} = 0,65241} \end{array}} \end{array}

Bemerkung: Zur exakten Integration von \underline{k} ^e folgt:

p = 1\quad \Rightarrow \quad 1GP

p = 2\quad \Rightarrow \quad 2GP

p = 3\quad \Rightarrow \quad 3GP

Beispiel: Integration von

f\left( x \right) = {x^2}-x

im Bereich -1 bis 1 analytisch und numerisch mit verschiedenen NGs.

Analytisch:

\int\limits_{-1}^1 {\left( {{x^2}-x} \right)dx} = \ldots = \frac{2}{3}

Numerisch:

p = 2\quad \Rightarrow \quad p \leq 2NG-1

NG = 1\quad \Rightarrow \quad p \leq 1\quad \Rightarrow \quad unterintegriert

\int\limits_{-1}^1 {f\left( x \right)dx} \approx 2 \cdot 0 = 0

NG = 2\quad \Rightarrow \quad p \leq 3

\int\limits_{-1}^1 {f\left( x \right)dx} \approx f\left( {-\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)+f\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) = \frac{2}{3}\quad \left( {exakt} \right)

NG = 3\quad \Rightarrow \quad p \leq 5

\int\limits_{-1}^1 {f\left( x \right)dx} \approx \ldots = \frac{2}{3}