v4.3 – Finite-Elemente-Räume

 

4.3.1 Eindimensionaler Fall

Wir diskutieren zunächst den eindimensionalen Fall, \Omega = \left( {0,1} \right). Der Raum {V_{0h}} besteht zum Beispiel aus stückweise Polynomen vom Grad 1 (Geraden). Dazu zerlegen wir das Intervall in Teilintervalle {T_i},\:\:i = 1, \ldots ,{N_e} und definieren

{V_h} = \left\{ {v \in C\left( {\bar \Omega } \right):{{\left. v \right|}_{{T_i}}} \in {\mathcal{P}_1}\quad \forall i = 1, \ldots ,{N_e}} \right\},\quad {V_{0h}} = {V_h} \cap {V_0}

Erinnerung:

{V_0} = \left\{ {v \in {H^1}\left( \Omega \right):v = 0\quad auf\:\:\partial \Omega } \right\}

{V_{0h}} = {V_h} \cap {V_0} verhindert, dass z.B. die im {H^1}\left( \Omega \right) nicht enthaltenen Sprungfunktionen als Basis benutzt werden können.

Jedes Polynom ersten Grades wird durch die Werte in den Endpunkten des Teilintervalls eindeutig bestimmt. Wir nehmen Basisfunktionen, die in einem Knotenpunkt den Wert Eins und in allen anderen den Wert Null annehmen. Diese Funktionen sind stetig!.

num-403-basisfunktion-finite-elemente-linear

Herleitung der Systemmatrix des Gleichungssystems \left( {14} \right):

Wir betrachten a\left( {{\varphi _i},{\varphi _j}} \right) = \int_0^1 {\varphi _i^\prime \varphi _j^\prime } mit

  1. j = i
  2. j = i-1\quad \vee \quad j = i+1
  3. j \notin \left\{ {i-1,i-i+1} \right\}

Fall 1: Die beiden Basisfunktionen liegen genau aufeinander. Die erste Ableitung ist im Bereich des ansteigenden Intervalls \left. {\varphi _i^\prime } \right|_{{x_{i-1}}}^{{x_i}} = \frac{1}{h} und im darauf folgenden Bereich des abfallenden Intervalls \left. {\varphi _i^\prime } \right|_{{x_i}}^{{x_{i+1}}} = -\frac{1}{h}.

Es ergibt sich:

\int_0^1 {\varphi _i^\prime \varphi _j^\prime } = \int_{{x_{i-1}}}^{{x_i}} {{{\left( {\frac{1}{h}} \right)}^2}dx} +\int_{{x_i}}^{{x_{i+1}}} {{{\left( {-\frac{1}{h}} \right)}^2}dx} = {\left( {\frac{1}{h}} \right)^2} \cdot h+{\left( {-\frac{1}{h}} \right)^2} \cdot h = \frac{2}{h}

Fall 2: Die beiden Basisfunktionen befinden sich auf je zwei Intervallen. Eins davon haben sie gemeinsam, wir müssen also nur auf diesem integrieren:

\int_0^1 {\varphi _i^\prime \varphi _j^\prime } = \int_{{x_i}}^{{x_{i+1}}} {\left( {\frac{1}{h}} \right)\left( {-\frac{1}{h}} \right)dx} = -{\left( {\frac{1}{h}} \right)^2} \cdot h = -\frac{1}{h}

Fall 3: Die beiden Basisfunktionen überschneiden sich nicht. Das Integral ist 0.

Es ergibt sich die Systemmatrix:

\frac{1}{h}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}  2 & {-1} & {} & {} \\{-1} & 2 & {-1} & {} \\{} & \ddots & \ddots & \ddots \\{} & {} & {-1} & 2 \\   \end{array} } \right)

4.3.2 Finite-Elemente-Netz

Ein Netz {\mathcal{T}_h} besteht aus sich nicht überlappenden Elementen {T_h}, die das Gebiet ausfüllen:

\bar \Omega = \bigcup\limits_{T \in {\mathcal{T}_h}} {\bar T} ,\quad \quad {T_1} \cap {T_2} = \emptyset \quad \forall {T_1},{T_2} \in {\mathcal{T}_h}

Nicht zulässig: sich überlappende Elemente:

num-403-uberlappende-elemente-raum

Die Elemente sind im Allgemeinen Dreiecke oder Vierecke (2D) bzw. Tetraeder, Hexaeder oder Dreieckprismen (3D). Je nach Autor werden die Elemente als offene oder abgeschlossene Gebiete betrachtet, hier betrachten wir sie als offen.

Polygonale bzw. polyedrische Gebiete können exakt vernetzt werden. Bei gekrümmten Rändern müssen entweder die Elemente angepasst werden, oder man approximiert den Rand, wodurch ein weiterer Beitrag zum Approximationsfehler entsteht.

Wir nennen ein Netz konform, wenn jede Seite eines Elements entweder Teil des Randes oder Seite eines anderen Elements ist. Nicht konform: hängender Knoten:

num-403-nicht-konform-element-finite-hangender-knoten

Der Durchmesser (beim Dreieck die längste Seite) eines Elements T wird mit {h_T} und der Inkreis-/Inkugeldurchmesser mit {\rho _T} bezeichnet. Als Familienparameter h wird der maximale Elementdurchmesser verwendet:

h = \max \limits_{T \in {\mathcal{T}_h}} {h_T}

Existiert eine (von h unabhängige) Konstante C, so dass für alle T \in {\mathcal{T}_h} und für alle h > 0

{h_T} \leq C{\rho _T}\quad \quad \quad \quad \left( {15} \right)

gilt, dann heißt das Element T isotrop bzw. regulär. Besteht das Netz {\mathcal{T}_h} nur aus isotropen Elementen, sprechen wir von einem isotropen Netz. Die Beziehung \left( {15} \right) ist für viele Betrachtungen nicht notwendig, vereinfacht aber die Beweise.

Nicht regulär: anisotrope Elemente:

num-403-nicht-regular-element-finite

Ein Netz heißt quasiuniform, wenn alle Elemente etwa gleich groß sind, das heißt, wenn Konstanten {C_1} und {C_2} existieren, so dass für alle T \in {\mathcal{T}_h} und für alle h > 0

{C_1}h \leq {h_T} \leq {C_2}h

gilt. Lokal verfeinerte Netze sind nicht quasiuniform.

4.3.3 Beziehungen zwischen lokalen und globalen Eigenschaften

Finite-Elemente-Räume {V_{0h}} werden elementweise über den Netzen {\mathcal{T}_h} definiert. Dabei muss jedoch auch eine globale Eigenschaft erfüllt werden:

{V_{0h}} \subset {V_0} \subset {H^1}\left( \Omega \right)

Sei über jedem Element ein niedrigdimensionaler Funktionenraum {P_T} definiert, dann ist die Definition

{V_{0h}} = \left\{ {v \in {V_0}:{{\left. v \right|}_T} \in {P_T}\forall t \in {\mathcal{T}_h}} \right\}

sachlich richtig, aber die Struktur der Räume wird nicht klar.

Wenn \Omega beschränkt ist, dann gehört jede beschränkte, stetige, elementweise beliebig oft differenzierbare Funktion zu {H^1}\left( \Omega \right).

Wir wollen also die Finite-Elemente-Funktionen zwar lokal für jedes Element definieren, müssen aber globale Stetigkeit sichern.

4.3.4 Basisfunktionen im Dreiecknetz

4.3.4.1 Polynome 1. Grades

Wir betrachten ein Dreiecksnetz. Die Finite-Elemente-Funktionen seien stückweise Polynome 1. Grades, d.h. eingeschränkt auf ein beliebiges Dreieck ergibt sich ein Polynom 1. Grades. Solche Funktionen sind durch ihre Werte in den Eckpunkten des Dreiecks eindeutig bestimmt.

num-403-basisfunktion-linear-polynom-ersten-grades

Da eine solche Funktion auch entlang einer jeden Kante ein Polynom 1. Grades ist und als solche eindeutig durch die Werte in den Endpunkten der Kante bestimmt ist, ist die Stetigkeit einer so definierten Finite-Elemente-Funktion gesichert.

Als Basisfunktionen eignen sich die „Hütchenfunktionen“:

num-403-basisfunktion-zweidimensional-hutchenfunktion

4.3.4.2 Polynome 2. Grades

Wir betrachten ein Dreiecksnetz. Die Finite-Elemente-Funktionen seien stückweise Polynome 2. Grades, d.h. eingeschränkt auf ein beliebiges Dreieck ergibt sich ein Polynom 2. Grades. Solche Funktionen sind durch ihre Werte in den Eckpunkten des Dreiecks und ihre Werte auf den Seitenmitten eindeutig bestimmt.

num-403-polynom-zweiten-grades-basisfunktion

Da eine solche Funktion auch entlang einer jeden Kante ein Polynom 2. Grades ist und als solche eindeutig durch die Werte in den Endpunkten der Kante und den Seitenmitten bestimmt ist, ist die Stetigkeit einer so definierten Finite-Elemente-Funktion gesichert.

Dieselben Betrachtungen kann man mit Polynomen höheren Grades anstellen.

num-403-polynom-hoheren-grades-basisfunktion

4.3.4.3 Weitere Beispiele

Wir betrachten nochmals ein Dreiecksnetz. Die Finite-Elemente-Funktionen seien stückweise Polynome 1. Grades. Solche Funktionen sind auch durch ihre Werte in den Seitenmitten eindeutig bestimmt. Die Stetigkeit ist dann aber nicht mehr gewährleistet, {V_{0h}} \subset {V_0} gilt nicht!

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Wir betrachten nun ein Tetraedernetz. Die Finite-Elemente-Funktionen seien stückweise Polynome 1. Grades. Solche Funktionen sind durch ihre Werte in den Eckpunkten der Dreiecke eindeutig bestimmt. Da eine solche Funktion auch entlang jeder Seitenfläche ein Polynom 1. Grades ist und als solche eindeutig durch die Werte in den Eckpunkten der Seitenflächen bestimmt ist, ist die Stetigkeit einer so definierten Finite-Elemente-Funktion gesichert.

num-403-tetraedernetz-dreidimensional-finite-elemente