6.4 – Finitisierung

 

Auszug aus dem Skript der Vorlesung Finite Elemente bei Dr.-Ing Philipp Höfer an der UniBw München.

Bei der Finitisierung wird das Kontinuum in endliche (finite) Elemente unterteilt. Dafür gibt es verschiedene Möglichkeiten, z.B. Quad-Elemente mit 8 Knoten oder Tetraeder-Elemente mit 4 Knoten:

finitisierung-dreidimensional-quad-tetraeder-element

Jeder Knoten hat drei Verschiebungsfreiheitsgrade. Das Element hat somit insgesamt 3n Freiheitsgrade (bei n Knoten im Element).

Die Spaltenmatrix der lokalen Knotenfreiheitsgrade für ein n-Knoten Element lautet:

{\left\{{\hat u} \right\}^T} = \left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1}}&{{v_1}}&{{w_1}}& \ldots &{{u_n}}&{{v_n}}&{{w_n}} \end{array}} \right\}

Approximationsansatz für die Verschiebungen im Element \boxed m:

\left\{ u \right\} = \left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{u\left( {x,y,z} \right)} \\ {v\left( {x,y,z} \right)} \\ {w\left( {x,y,z} \right)} \end{array}} \right\} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{H_{1,1}}\left( {x,y,z} \right)}& \ldots &{{H_{1,3n}}\left( {x,y,z} \right)} \\ {{H_{2,1}}\left( {x,y,z} \right)}& \ldots &{{H_{2,3n}}\left( {x,y,z} \right)} \\ {{H_{3,1}}\left( {x,y,z} \right)}& \ldots &{{H_{3,3n}}\left( {x,y,z} \right)} \end{array}} \right]\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1}} \\ \vdots \\ {{w_n}} \end{array}} \right\}

\Rightarrow \quad \left\{{{u^m}} \right\} = \left[ {H\left( {x,y,z} \right)} \right]\left\{{{{\hat u}^m}} \right\}

Die Verschiebungsinterpolationsmatrix \left[ H \right] hat die Dimension 3 \times 3n.

Spaltenmatrix der globalen Knotenfreiheitsgrade (N Knoten):

\left\{{\hat U} \right\} = \left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1}}&{{v_1}}&{{w_1}}& \ldots &{{u_N}}&{{v_N}}&{{w_N}} \end{array}} \right\} = :\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{U_1}}&{{U_2}}& \ldots &{{U_{3N}}} \end{array}} \right\}

\Rightarrow \quad \left\{{{u^m}} \right\} = \left[ {{H^m}\left( {x,y,z} \right)} \right]\left\{{\hat U} \right\}

Dabei beinhaltet die Verschiebungsinterpolationsmatrix \left[ {{H^m}} \right] die Ansatzfunktionen / Formfunktionen des Elements \boxed m an der entsprechenden Stelle. Sie hat die Dimension 3 \times 3N.

Formulierung der Verschiebungs-Verzerrungs-Beziehung:

\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{\varepsilon _{xx}}} \\ {{\varepsilon _{yy}}} \\ {{\varepsilon _{zz}}} \\ {{\gamma _{xy}}} \\ {{\gamma _{yz}}} \\ {{\gamma _{zx}}} \end{array}} \right\} = \underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{\partial }{{\partial x}}}&0&0 \\ 0&{\frac{\partial }{{\partial y}}}&0 \\ 0&0&{\frac{\partial }{{\partial z}}} \\ {\frac{\partial }{{\partial y}}}&{\frac{\partial }{{\partial x}}}&0 \\ 0&{\frac{\partial }{{\partial z}}}&{\frac{\partial }{{\partial y}}} \\ {\frac{\partial }{{\partial z}}}&0&{\frac{\partial }{{\partial x}}} \end{array}} \right]}_{\left[ D \right]}\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{u\left( {x,y,z} \right)} \\ {v\left( {x,y,z} \right)} \\ {w\left( {x,y,z} \right)} \end{array}} \right\}

Hier ist \left[ D \right] die 6 \times 3 Differentialoperatormatrix. Kurzschreibweise für obige Gleichung:

\left\{{{\varepsilon ^m}} \right\} = \left[ D \right]\left\{{{u^m}} \right\} = \left[ D \right]\left[ {{H^m}} \right]\left\{{\hat U} \right\} = \left[ {{B^m}} \right]\left\{{\hat U} \right\} = \left[ B \right]\left\{{\hat u} \right\}

\left[ {{B^m}} \right] und \left[ B \right] sind die Verzerrungs-Verschiebungs-Matrizen, mit denen aus den globalen bzw. lokalen Knotenverschiebungen die Elementverzerrungen berechnet werden.

Ansatz für die virtuellen Verschiebungen im Element \boxed m:

\left\{{\delta {u^m}} \right\} = \left[ {{{\tilde H}^m}\left( {x,y,z} \right)} \right]\left\{{\delta \hat U} \right\}

\left\{{\delta \hat U} \right\} ist der Spaltenvektor der virtuellen Knotenpunktverschiebungen. Es wird gewählt:

\left[ {{{\tilde H}^m}} \right] = \left[ {{H^m}} \right]

\Rightarrow \quad \left\{{\delta {\varepsilon ^m}} \right\} = \left[ D \right]\left[ {{H^m}} \right]\left\{{\delta \hat U} \right\} = \left[ {{B^m}} \right]\left\{{\delta \hat U} \right\}

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