7.4 – Finitisierung

 

Auszug aus dem Skript der Vorlesung Finite Elemente bei Dr.-Ing Philipp Höfer an der UniBw München.

Das Kontinuum wird nun in finite Elemente (z.B. Dreieckselemente) unterteilt. Die Darstellung erfolgt im globalen Koordinatensystem.

Spaltenmatrix der Knotenfreiheitsgrade:

{\left\{{\hat u} \right\}^T} = \left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1}}&{{v_1}}&{{u_2}}&{{v_2}}&{{u_3}}&{{v_3}} \end{array}} \right\}

finitisierung-dreieckselement-zweidimensional-verschiebung

Verschiebungsfeld:

{\left\{{u\left( {x,y,t} \right)} \right\}^T} = \left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{u_x}\left( {x,y,t} \right)}&{{u_y}\left( {x,y,t} \right)} \end{array}} \right\}

Interpolation des Verschiebungsfeldes:

\left\{ u \right\} = \left[ H \right]\left\{{\hat u} \right\}

bzw.

\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{u_x}} \\ {{u_y}} \end{array}} \right\} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{H_1}\left( {x,y} \right)}&0&{{H_2}\left( {x,y} \right)}&0&{{H_3}\left( {x,y} \right)}&0 \\ 0&{{H_1}\left( {x,y} \right)}&0&{{H_2}\left( {x,y} \right)}&0&{{H_3}\left( {x,y} \right)} \end{array}} \right]\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1}} \\ {{v_1}} \\ {{u_2}} \\ {{v_2}} \\ {{u_3}} \\ {{v_3}} \end{array}} \right\}.

Die Ermittlung der Verschiebungsinterpolationsmatrix \left[ H \right] erfolgt aus dem Verschiebungsansatz. Einfachster Verschiebungsansatz: Lineare Funktionen

{u_x} = {\alpha _1}+{\alpha _2}x+{\alpha _3}y,\quad \quad {u_y} = {\alpha _4}+{\alpha _5}x+{\alpha _6}y

Anmerkungen

Die Zahl der verallgemeinerten Koordinaten {\alpha _j} stimmt mit der Zahl der Knotenfreiheitsgrade überein. Dadurch ist die Zuordnung eindeutig möglich. Es werden immer gleichwertige Ansätze für beide Verschiebungsfelder gewählt. Dadurch kann numerische Anisotropie vermieden werden.

Die unbekannten Parameter können über folgende Gleichungen bestimmt werden:

{u_1} = {u_x}\left( {{x_1},{y_1}} \right) = {\alpha _1}+{\alpha _2}{x_1}+{\alpha _3}{y_1}

{u_2} = {u_x}\left( {{x_2},{y_2}} \right) = {\alpha _1}+{\alpha _2}{x_2}+{\alpha _3}{y_2}

{u_3} = {u_x}\left( {{x_3},{y_3}} \right) = {\alpha _1}+{\alpha _2}{x_3}+{\alpha _3}{y_3}

Eine analoge Darstellung gilt für {u_y}. Auflösung des Gleichungssystems ergibt:

{\alpha _1} = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1}}&{{x_1}}&{{y_1}} \\ {{u_2}}&{{x_2}}&{{y_2}} \\ {{u_3}}&{{x_3}}&{{y_3}} \end{array}} \right|}}{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{{x_1}}&{{y_1}} \\ 1&{{x_2}}&{{y_2}} \\ 1&{{x_3}}&{{y_3}} \end{array}} \right|}}

= \frac{1}{{2A}}\left[ {\left( {{x_2}{y_3}-{x_3}{y_2}} \right){u_1}+\left( {{x_3}{y_1}-{x_1}{y_3}} \right){u_2}+\left( {{x_1}{y_2}-{x_2}{y_1}} \right){u_3}} \right]

{\alpha _2} = \frac{1}{{2A}}\left[ {\left( {{y_2}-{y_3}} \right){u_1}+\left( {{y_3}-{y_1}} \right){u_2}+\left( {{y_1}-{y_2}} \right){u_3}} \right]

{\alpha _3} = \frac{1}{{2A}}\left[ {\left( {{x_3}-{x_2}} \right){u_1}+\left( {{x_1}-{x_3}} \right){u_2}+\left( {{x_2}-{x_1}} \right){u_3}} \right]

Dabei ist

A: = \frac{1}{2}\left( {{x_1}{y_2}-{x_2}{y_1}+{x_2}{y_3}-{x_3}{y_2}+{x_3}{y_1}-{x_1}{y_3}} \right)

die Fläche des Dreieckelements. Einführung von Abkürzungen:

{a_j} = {x_k}{y_l}-{x_l}{y_k},\quad {b_j} = {y_k}-{y_l},\quad {c_j} = -\left( {{x_k}-{x_l}} \right),\quad \quad {\varepsilon _{jkl}} = 1

j, k und l bilden also eine gerade Permutation. Damit ergibt sich:

{\alpha _1} = \frac{1}{{2A}}\left( {{a_1}{u_1}+{a_2}{u_2}+{a_3}{u_3}} \right)

{\alpha _2} = \frac{1}{{2A}}\left( {{b_1}{u_1}+{b_2}{u_2}+{b_3}{u_3}} \right)

{\alpha _3} = \frac{1}{{2A}}\left( {{c_1}{u_1}+{c_2}{u_2}+{c_3}{u_3}} \right)

Einsetzen in den Verschiebungsansatz ergibt:

{u_x}\left( {x,y,t} \right) = {H_1}\left( {x,y} \right){u_1}\left( t \right)+{H_2}\left( {x,y} \right){u_2}\left( t \right)+{H_3}\left( {x,y} \right){u_3}\left( t \right)

{u_y}\left( {x,y,t} \right) = {H_1}\left( {x,y} \right){v_1}\left( t \right)+{H_2}\left( {x,y} \right){v_2}\left( t \right)+{H_3}\left( {x,y} \right){v_3}\left( t \right)

mit den Formfunktionen {H_j}\left( {x,y} \right) = \frac{1}{{2A}}\left( {{a_j}+{b_j}x+{c_j}y} \right).

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