Auszug aus dem Skript der Vorlesung Finite Elemente bei Dr.-Ing Philipp Höfer an der UniBw München.
Das Kontinuum wird nun in finite Elemente (z.B. Dreieckselemente) unterteilt. Die Darstellung erfolgt im globalen Koordinatensystem.
Spaltenmatrix der Knotenfreiheitsgrade:
Verschiebungsfeld:
Interpolation des Verschiebungsfeldes:
bzw.
.
Die Ermittlung der Verschiebungsinterpolationsmatrix erfolgt aus dem Verschiebungsansatz. Einfachster Verschiebungsansatz: Lineare Funktionen
Anmerkungen
Die Zahl der verallgemeinerten Koordinaten stimmt mit der Zahl der Knotenfreiheitsgrade überein. Dadurch ist die Zuordnung eindeutig möglich. Es werden immer gleichwertige Ansätze für beide Verschiebungsfelder gewählt. Dadurch kann numerische Anisotropie vermieden werden.
Die unbekannten Parameter können über folgende Gleichungen bestimmt werden:
Eine analoge Darstellung gilt für . Auflösung des Gleichungssystems ergibt:
Dabei ist
die Fläche des Dreieckelements. Einführung von Abkürzungen:
,
und
bilden also eine gerade Permutation. Damit ergibt sich:
Einsetzen in den Verschiebungsansatz ergibt:
mit den Formfunktionen .