A 10 – Flügel eines Überschallflugzeuges

 

Bei Überschallflugzeugen kommt es aufgrund von Dissipation kinetischer Energie zu lokalen Temperatur- und Dichteunterschieden. Dies führt dazu, dass sich ein Flugkörper erwärmt. Im Folgenden wird ein vereinfachter, dünner Flügel (Breite B, Länge L) eines Überschallflugzeuges betrachtet. Die Machzahl des Flugzeugs beträgt {\text{Ma}}, die Umgebungstemperatur {T_U}. Die maximale Flügeltemperatur soll 300\;^\circ {\text{C}} betragen.

prinzipskizze-des-vereinfachten-fluegels

Aufgaben:

  1. Wie sieht der Temperaturverlauf der Grenzschicht um den Flügel aus, wenn dieser als adiabat angenommen werden kann?
  2. Welche Temperatur stellt sich am Flügel ein, wenn kein Wärmestrom in den Flügel abgeführt wird und die Prandtl-Zahl = 1 ist?
  3. Wie sieht der Temperaturverlauf der Grenzschicht aus, wenn der Flügel gekühlt wird?
  4. Die maximale Flügeltemperatur beträgt 300\;^\circ {\text{C}}. Wie hoch ist der Wärmestrom, der im Flügel abgeführt werden muss?

Gegeben:

Temperatur des Raums: {T_U} = -50\;^\circ {\text{C}}

Maximaltemperatur des Flügels: {T_{Fl\ddot ugel,\;max}} = 300\;^\circ {\text{C}}

Breite des Flügels: B = 1\;{\text{m}}

Länge des Flügels: L = 5\;{\text{m}}

Spezifische Gaskonstante Luft: {R_L} = 287\frac{{\text{J}}}{{{\text{kg}} \cdot {\text{K}}}}

Isentropenexponent Luft: \kappa = 1,4

Machzahl: {\text{Ma}} = 3

Kinematische Viskosität:
\nu \left( {150,8^\circ C} \right) = 292,65 \cdot {10^{-7}}\frac{{{{\text{m}}^2}}}{{\text{s}}}
\nu \left( {203,7^\circ C} \right) = 387,2 \cdot {10^{-7}}\frac{{{{\text{m}}^2}}}{{\text{s}}}

Prandtl-Zahl:
\Pr \left( {213,4^\circ C} \right) = 0,7054
\Pr \left( {203,7^\circ C} \right) = 0,7054

Wärmeleitfähigkeit: k\left( {203,7^\circ C} \right) = 39,1 \cdot {10^{-3}}\frac{{\text{W}}}{{{\text{m}} \cdot {\text{K}}}}
Nußelt-Korrelation: {\text{N}}{{\text{u}}_{m,turb}} = \frac{{0,037 \cdot {{\operatorname{Re} }^{0,8}} \cdot \Pr }}{{1+2,443 \cdot {{\operatorname{Re} }^{-0,1}} \cdot \left( {{{\Pr }^{2/3}}-1} \right)}}

Einleitung – Konvektion bei schnellen Strömungen

angestroemte-adiabate-wand-konvektion

Bei einer idealen, reibungsfreien Staupunktströmung \left( {\Pr = 1} \right) gilt für die Totaltemperatur:

\boxed{\frac{{{T_0}}}{{{T_u}}} = 1+\frac{{{u^2}}}{{2{c_P} \cdot {T_u}}} = 1+\frac{{\kappa -1}}{2} \cdot {\text{M}}{{\text{a}}^2}}

{\text{Ma}} = \frac{u}{a};\quad a = \sqrt {\kappa \cdot R \cdot T} = \sqrt {{c_p} \cdot \left( {\kappa -1} \right) \cdot T}

Für eine adiabate Wand gilt: {T_W} = {T_0}

Für den Wärmestrom gilt:

\dot q\left( {{\text{Gas}} \to {\text{Wand}}} \right):\quad {T_W} < {T_e}

\dot q\left( {{\text{Wand}} \to {\text{Gas}}} \right):\quad {T_W} > {T_e}

Recovery-Faktor (gilt für Strömung mit Reibung)

angestroemte-adiabate-platte-konvektion-recovery-faktor

r = \frac{{{T_r}-{T_u}}}{{{T_0}-{T_u}}}

Zahlenwerte für die ebene Platte:

laminare Grenzschicht: r = {\Pr ^{1/2}}

turbulente Grenzschicht: r = {\Pr ^{1/3}}

Für den Wandwärmestrom gilt:

\boxed{{{\dot q}_W} = h \cdot \left( {{T_W}-{T_r}} \right)}

h: Wärmeübergangskoeffizient

Da die Stoffwerte von der Temperatur T abhängig sind benötigt man eine Referenztemperatur, auf welche die Stoffwerte bezogen werden. Dies ist jedoch meist problematisch, da die Gleichungen dadurch nichtlinear werden.

Für die Referenztemperatur nach Eckert gilt:

{T_{Ref}} = {T_u}+0,5\left( {{T_W}-{T_u}} \right)+0,22\left( {{T_r}-{T_u}} \right)

Lösung

a) Temperaturverlauf

temperaturverlauf-in-der-grenzschicht

b) Temperatur am Flügel ohne Kühlung

\frac{{{T_0}}}{{{T_u}}} = 1+\frac{{\kappa -1}}{2} \cdot {\text{M}}{{\text{a}}^2} = 2,8\quad \Rightarrow \quad {T_0} = 2,8 \cdot {T_u} = 624,8\;K = 352,7\;^\circ {\text{C}}

c) Temperatur am Flügel mit Kühlung

 temperaturverlauf-grenzschicht-kuhlung

d) Abzuführender Wärmestrom

Für den Wärmestrom gilt:

\dot Q = 2hA\left( {{T_{\max }}-{T_r}} \right)

Gesucht sind hier h und {T_r}. Zu beachten ist der Faktor 2, da wir Ober- und Unterseite des Flügels betrachten.

Der Recovery-Faktor, den wir zur Bestimmung der Recovery-Temperatur benötigen, ist von der Umströmung abhängig. Wir berechnen also zunächst die Reynoldszahl:

\operatorname{Re} = \frac{{u \cdot B}}{\nu }

Aus der Machzahl und der Schallgeschwindigkeit erhalten wir die Strömungsgeschwindigkeit:

{\text{Ma}} = \frac{u}{a},\qquad a = \sqrt {\kappa R{T_U}} = 299,4\frac{{\text{m}}}{{\text{s}}}

\Rightarrow \quad u = a \cdot {\text{Ma}} = 898,3\frac{{\text{m}}}{{\text{s}}}

Die kinematische Viskosität \nu ist bisher unbekannt. Da die Viskosität von der Temperatur abhängt bestimmen wir nun einen Schätzwert mithilfe der mittleren Temperatur.

{T_m} = \frac{{{T_0}+{T_u}}}{2} = \frac{{351,7\;^\circ {\text{C}}+\left( {-50\;^\circ {\text{C}}} \right)}}{2} = 150,8\;^\circ {\text{C}}

\Rightarrow \quad \nu = 292,65 \cdot {10^{-7}}\frac{{{{\text{m}}^2}}}{{\text{s}}}

Einsetzen in die Formel für die Reynolds-Zahl:

\operatorname{Re} = \frac{{u \cdot B}}{\nu } = 30,7 \cdot {10^6} > 5 \cdot {10^5} = {\operatorname{Re} _{krit}}

Es handelt sich also um eine turbulente Strömung. Der Bereich an der Vorderkante, in dem die Grenzschichtströmung noch laminar ist, ist nur etwa 1,6 cm lang. Diesen Bereich können wir daher vernachlässigen.

Für die Nusselt-Zahl brauchen wir verschiedene Stoffwerte. Die Stoffwerte können für eine Referenztemperatur bestimmt werden. Die Referenztemperatur nach Eckert lautet:

{T_{ref}} = {T_u}+\frac{{{T_{\max }}-{T_u}}}{2}+0,22\left( {{T_r}-{T_u}} \right)

Die Referenztemperatur ist wieder von der Recovery-Temperatur abhängig. Diese ist abhängig von der Prandtl-Zahl. Die Prandtl-Zahl ist ebenfalls temperaturabhängig, allerdings nur schwach.

Für den Recovery-Faktor bei turbulenter Strömung gilt näherungsweise:

r = \sqrt[3]{{\Pr }} = \frac{{{T_r}-{T_u}}}{{{T_0}-{T_u}}}\quad \Rightarrow \quad {T_r} = \sqrt[3]{{\Pr }} \cdot \left( {{T_0}-{T_u}} \right)+{T_u}

Schätzwert für die Referenztemperatur {T_{ref}} durch die Näherung {T_r} = {T_0}:

{T_{ref}} = 213,4\;^\circ {\text{C}}

Es ergibt sich die Prandtl-Zahl aus der Angabe:

\Pr \left( {213,4^\circ C} \right) = 0,7054

Damit rechnen wir nun einen besseren Wert für die Recovery-Temperatur aus:

{T_r} = \sqrt[3]{{\Pr }}\left( {{T_e}-{T_u}} \right)+{T_u} = 307,6\;^\circ {\text{C}}

Somit erhalten wir auch einen besseren Schätzwert für die Referenztemperatur:

{T_{ref}} = 203,7^\circ C

Nun können wir den Wärmeübergangskoeffizienten h berechnen.

\nu \left( {203,7^\circ C} \right) = 378,2 \cdot {10^{-7}}\frac{{{{\text{m}}^2}}}{{\text{s}}}

k\left( {203,7^\circ C} \right) = 39,1 \cdot {10^{-3}}\frac{{\text{W}}}{{{\text{m}} \cdot {\text{K}}}}

Damit bestimmen wir die Reynolds-Zahl neu:

\operatorname{Re} = \frac{{898,3\frac{{\text{m}}}{{\text{s}}} \cdot 1\;{\text{m}}}}{{378,2 \cdot {{10}^{-7}}\frac{{{{\text{m}}^2}}}{{\text{s}}}}} = 23,75 \cdot {10^6}

Dies ist immer noch deutlich größer als die kritische Reynolds-Zahl.

Damit und mithilfe der Nußelt-Korrelation können wir nun den Wärmeübergangskoeffizienten bestimmen:

{\text{N}}{{\text{u}}_{m,turb}} = \frac{{0,037 \cdot {{\operatorname{Re} }^{0,8}} \cdot \Pr }}{{1+2,443 \cdot {{\operatorname{Re} }^{-0,1}} \cdot \left( {{{\Pr }^{2/3}}-1} \right)}} = 2,29 \cdot {10^4}\mathop = \limits^! \frac{{h \cdot L}}{k};\quad L = B = 1\;{\text{m}}

\Rightarrow \quad h = 894,7\frac{{\text{W}}}{{{{\text{m}}^2}{\text{K}}}}

Schließlich folgt durch Einsetzen der gesuchte Wärmestrom:

\dot Q = 2hA\left( {{T_{\max }}-{T_r}} \right) = -68\;{\text{kW}};\quad A = B \cdot L = 5\;{{\text{m}}^2}

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