Aufgabe 02 – Form und Größe der plastischen Zone für Randriss

 

Die kritische Schubspannung einer Legierung beträgt 150 MPa. Bestimmen Sie Form und Größe der plastischen Zone {r_p} für einen Randriss der Länge a = 1000\mu m, wenn vor der Rissspitze reine Zugbeanspruchung herrscht. Die entsprechende Spannung beträgt 80 MPa.

Darüber hinaus sollen Sie die Bruchzähigkeit an einer einseitig gekerbten Flachprobe ermitteln. Dies funktioniert nur in Übereinstimmung mit den Gesetzen der LEBM. Schätzen Sie dazu die plastische Zone für einen Riss, der sich senkrecht zur Beanspruchungsrichtung ausbreitet, nach dem IRWIN’schen Kriterium ab. Diskutieren Sie die Ergebnisse im Rahmen der linear-elastischen Bruchmechanik.

\begin{array}{*{20}{c}}{a)} & {\sigma = 100MPa} & {} & {} & {a = 1mm\left( {Al,{R_{{p_{0,2}}}} = 300MPa} \right)} \\{b)} & {\sigma = 30MPa} & {} & {} & {a = 3mm\left( {Al,{R_{{p_{0,2}}}} = 300MPa} \right)} \\{c)} & {\sigma = 490MPa} & {} & {Kerbtiefe} & {{a_k} = 5mm\left( {A{l_2}{O_3},{\sigma _c} = 1500MPa} \right)} \\{d)} & {\sigma = 100MPa} & {} & {} & {a = 10mm\left( {Al,{R_{{p_{0,2}}}} = 300MPa} \right)} \\ \end{array}

Lösung

Gegeben:

Da es sich um die kritische Schubspannung handelt kann folgendes angesetzt werden:

{\sigma _{ys}} = {R_{{p_{0,2}}}} = 150MPa

a = 1000\mu mm

{\sigma _{nenn}}80MPa

Es existieren sonst keine weiteren Spezifizierungen weswegen eine halbunendliche einseitig gekerbte Probe angenommen werden kann. Dies bedeutet, dass wir uns im Bereich der ebenen Spannung befinden wodurch die Korrekturfunktion zu f = 1,12 definiert werden kann.

Weiter ist die Formel zur Bestimmung der plastischen Zone bekannt:

{r_p} = \frac{1}{{2\cdot \pi }}{\left( {\frac{{{K_I}}}{{{\sigma _{ys}}}}} \right)^2}

Ebenso die Formel für die Bruchzähigkeit:

{K_I} = \sigma \sqrt {\pi a} \cdot f\left( {\frac{a}{w}} \right)

Werden nun die gegeben Werte eingesetzt ergibt sich

{r_p} = \frac{1}{{2\cdot \pi }}{\left( {\frac{{80MPa\sqrt {\pi \cdot 1000\cdot {{10}^{-6}}m} \cdot 1,12}}{{150MPa}}} \right)^2} = 178\mu m

Die plastische Zone ist also ein Kreis um die Rissspitze mit dem Radius {r_p} = 178\mu m.

a)

Die Formel wurde oben bereits hergeleitet, so dass nun die neuen Werte eingesetzt werden können.

{r_p} = \frac{1}{{2\cdot \pi }}{\left( {\frac{{100MPa\sqrt {\pi \cdot 1\cdot {{10}^{-3}}m} \cdot 1,12}}{{300MPa}}} \right)^2} = 70\mu m

Damit ergibt sich ein Verhältnis zwischen plastischer Zone und Risslänge zu

\frac{{{r_p}}}{a} = \frac{{70\mu m}}{{1000\mu m}} = 0,07

Allgemein gilt, dass die LEBM angewendet werde kann, solange die plastische Zone weniger als 10% der Probenlänge ausmacht. Dies ist hier der Fall, so dass das Ergebnis akzeptiert werden kann.

b)

Wie in Teilaufgabe a) können direkt die Werte eingesetzt werden:

{r_p} = \frac{1}{{2\cdot \pi }}{\left( {\frac{{30MPa\sqrt {\pi \cdot 3\cdot {{10}^{-3}}m} \cdot 1,12}}{{300MPa}}} \right)^2} = 19\mu m

Dies ergibt, dass die plastische Zone weniger als 1% der Risslänge entspricht, womit auch hier die LEBM erfüllt ist.

c)

Bei A{l_2}{O_3} handelt es sich um eine Keramik. Aufgrund dessen, dass Keramiken (zumindest bei allgemeinen Bedingungen) spröde sind und sich Versetzungen nicht bewegen können, gibt es hierbei keine plastische Zone. Dies führt dazu, dass die LEBM gilt.

{K_{IC}} = 490MPa\sqrt {\pi \cdot 5\cdot {{10}^{-3}}m} \cdot 1 = 61MPa\sqrt m

Wieso nicht 1,12 als Korrekturfunktion anstatt der 1? Es ist klar ersichtlich, dass dieser Wert um einiges größer ist als ein praktisch sinnvoller. Als Richtwert kann für Keramiken ein Wert von ca. 1 bis 4 angenommen werden.

d)

Wie in Teilaufgabe a) können direkt die Werte eingesetzt werden:

{r_p} = \frac{1}{{2\cdot \pi }}{\left( {\frac{{100MPa\sqrt {\pi \cdot 10\cdot {{10}^{-3}}m} \cdot 1,12}}{{300MPa}}} \right)^2} = 0,69mm

Dies ergibt einen prozentualen Anteil der plastischen Zone an der Risslänge von ca. 7%. Folglich gilt auch hier die LEBM.