! Physik Formelsammlung für die Klausur

 

Geometrie

Trigonometrie

Sinussatz: \frac{a} {b} = \frac{{\sin \alpha }} {{\sin \beta }}

Kosinussatz: a^2 = b^2 +c^2-2bc\;\cos \alpha

Höhensatz: h_a = b\sin \gamma = c\sin \beta = \frac{{2F}} {a} = 2r\sin \beta \sin \gamma

Wichtige Zusammenhänge:

\tan x = \frac{{\sin x}} {{\cos x}}

\sin ^2 x+\cos ^2 x = 1

1+\tan ^2 x = \frac{1} {{\cos ^2 x}} = \sec ^2 x

Funktionswerte:
\begin{array}{*{20}{c}} \alpha ^\circ & \alpha \left( {rad} \right) & \sin \alpha & \cos \alpha & \tan \alpha \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 30 & \frac{\pi } {6} & \frac{1} {2} & \frac{1} {2}\sqrt 3 & \frac{1} {3}\sqrt 3 \\ 45 & \frac{\pi } {4} & \frac{1} {2}\sqrt 2 & \frac{1} {2}\sqrt 2 & 1 \\ 60 & \frac{\pi } {3} & \frac{1} {2}\sqrt 3 & \frac{1} {2} & \sqrt 3 \\ 90 & \frac{\pi } {2} & 1 & 0 & \pm \infty \\ 120 & \frac{2} {3}\pi & \frac{1} {2}\sqrt 3 & -\frac{1} {2} & -\sqrt 3 \\ 180 & \pi & 0 & -1 & 0 \\ 270 & \frac{3} {2}\pi & -1 & 0 & \pm \infty \\ \end{array}

Symmetrie:
\sin (-x) = -\sin x\:, \cos (-x) = +\cos x\:, \tan (-x) = -\tan x\:

Phasenverschiebung:
\sin \left( {x+\frac{\pi } {2}} \right) = \cos x\:, \cos \left( {x+\frac{\pi } {2}} \right) = -\sin x\:, \tan \left( {x+\frac{\pi } {2}} \right) = -\cot x\:

Additionstheoreme:

\sin ( x+y ) = \sin x \; \cos y+\sin y \; \cos x

\sin (x-y) = \sin x\:\cos y-\sin y\:\cos x

\cos (x+y) = \cos x\:\cos y-\sin x\:\sin y

\cos (x-y) = \cos x\:\cos y+\sin x\:\sin y

\tan (x+y) = \frac{{\tan x+\tan y}} {{1-\tan x\:\tan y}} = \frac{{\sin (x+y)}} {{\cos (x+y)}}

\sin (x+y)\sin (x-y) = \cos ^2 y-\cos ^2 x

Produkte:

\sin x\:\sin y = \frac{1} {2}(\cos (x-y)-\cos (x+y))

\cos x\:\cos y = \frac{1} {2}(\cos (x-y)+\cos (x+y))

\sin x\:\cos y = \frac{1} {2}(\sin (x-y)+\sin (x+y))

Potenzen:

\sin ^2 x = \frac{1} {2}\;(1-\cos (2x))

\sin ^3 x = \frac{1} {4}\;(3\sin x-\sin (3x))

\cos ^2 x = \frac{1} {2}\;(1+\cos (2x))

\cos ^3 x = \frac{1} {4}\;(3\cos x+\cos (3x))

Oberflächen und Volumen

Kreis: U = d\pi ,\quad \quad A = \pi r^2

Kugel: A = 4\pi r^2 ,\quad \quad V = \frac{4} {3}\pi r^3

Kugelkalotte: A = 2\pi rh = 2\pi r^2 \left( {1-\cos \frac{\alpha } {2}} \right)

Kegel: A = \pi sr,\quad \quad V = \frac{1} {3}Gh = \frac{1} {3}\pi r^2 h

Analysis

Differentialgleichungen

Standardansatz: x = A_0 e^{\lambda t}

Komplexer Ansatz für Schwingungen: x = A_0 e^{i\omega t}

Komplexer Ansatz für Kreisbewegungen: \eta = i\dot x+\dot y

Werte der Jakobideterminante

Umwandlung kartesische Koordinaten in Polarkoordinaten oder Zylinderkoordinaten: r

Umwandlung kartesische Koordinaten in Kugelkoordinaten: r^2 \sin \vartheta (Theta geht direkt zu r)

Sonstiges

Gradient: grad\left( \varphi \right) = \left( {\frac{{\partial \varphi }} {{\partial x}},\frac{{\partial \varphi }} {{\partial y}},\frac{{\partial \varphi }} {{\partial z}}} \right)

Taylorreihenentwicklung: P_f \left( x \right) = \sum\limits_0^\infty {\frac{{f^{\left( n \right)} \left( a \right)}} {{n!}}\left( {x-a} \right)^n }

PQ-Formel: x_{1,2} = -\frac{p} {2} \pm \sqrt {\frac{{p^2 }} {4}-q}

Mitternachtformel: x_{1,2} = \frac{{-b \pm \sqrt {b^2 -4ac} }} {{2a}}

Euler-Formel: e^{ \pm i\phi } = \cos \phi \pm i\sin \phi

Mechanik

Kräfte

Zentrifugalkraft: F_Z = \frac{m} {r}v^2

Federkraft: F_F = cx

Auftriebskraft:
statisch: F_A = \rho vg
dynamisch: F_A = \frac{1} {2}\rho v^2 A (auch für Luftwiderstand-Kraft)

Stokes Reibung: F_S = 6\pi \eta Rv

Elektrische Feldkraft: F_{el} = qE

Lorentzkraft: \vec F_L = q\left( {\vec v \times \vec B} \right), wenn senkrecht aufeinander: F_L = qvB

Energien

Potentielle Energie: E_{pot} = mgh, bei Feder: E_F = \frac{c} {2}x^2 (x: Amplitude)

Kinetische Energie: (Rotation)+(Translation)
E_{kin} = E_{trans} +E_{rot} = \frac{1} {2}mv^2 +\frac{1} {2}J\omega ^2

Thermische Energie: E_{th} = \frac{f} {2}kT

Erhaltungssätze

Impulserhaltung: p = mv = const (Vorsicht: vektorielle Addition beim dezentralen Stoß)

Energieerhaltung: E_{kin} = \frac{m} {2}v^2 = const

unelastischer Stoß: m_1 v_1 = \left( {m_1 +m_2 } \right)v_2

Bewegungen

Schwerpunktsatz: F_x = m\ddot x

Kreisbewegung:

\omega = \frac{v} {r} = \frac{\varphi } {t} = \frac{{2\pi }} {T}, Bogenlänge: s = \alpha r

Kreis, wenn x = c\sin \omega t,\quad \quad y = c\cos \omega t, Radius: r^2 = x^2 +y^2

Drehimpuls: \vec L = \vec r \times m\vec v,\quad \quad \vec M = \vec r \times \vec F = \vec r \times m\ddot x = \dot{ \vec L}

L = J\omega

Präzession: \omega _p = \frac{M} {L} = \frac{{Rmg}} {L}

Trägheitsmomente

J = \int_m^{} {r^2 dm} = \rho \int_V^{} {r^2 dV}

Satz von Steiner: J_1 = J_0 +m \cdot \Delta r^2, J1 muss sich auf Schwerpunkt beziehen!

Punktmasse / Zylindermantel: J = mr^2

Vollzylinder: J = \frac{m} {2}r^2, Querachse: J = \frac{1} {4}mr^2 +\frac{1} {{12}}ml^2

Hohlzylinder: J = \frac{m} {2}(r_2 ^2 +r_1 ^2 )

dünner Stab: J = \frac{1} {{12}}ml^2, am Ende: J = \frac{1} {3}ml^2

Kugel: J = \frac{2} {5}mr^2

Quader um Achse c: J = \frac{1} {{12}}m\left( {a^2 +b^2 } \right)

Kegel: J = \frac{3} {{10}}mr^2

Wärmelehre

Spezifische Gaskonstante: R_s = \frac{R} {M}

Spezifische Wärmekapazität: c = f \cdot \frac{{R_s }} {2}, um 1kg um 1° zu erwärmen

\Delta Q = cm\Delta T

Diffusion: j = D\nabla \left( n \right)

Freiheitsgrade:
für ein Molekül mit n Atomen:
linear: 3 trans, 2 rot, 3n-5 vib
nicht linear: 3 trans, 3 rot, 3n-6 vib

Barometrische Höhenformel:
p\left( h \right) = p_0 \exp \left( {-\frac{{Mgh}} {{RT}}} \right) (M in kg / mol einsetzen)
p\left( h \right) = p_0 \exp \left( {-\frac{{mgh}} {{kT}}} \right)
p\left( h \right) = p_0 \exp \left( {-\frac{{\rho gh}} {{p_0 }}} \right)

Maxwell’sche Geschwindigkeitsverteilung:
\frac{{dp}} {{dv}} = 4\pi v^2 \left( {\frac{m} {{2\pi kT}}} \right)^{\frac{3} {2}} \exp \left( {-\frac{{mv^2 }} {{2kT}}} \right)
oder
F\left( v \right) = \sqrt {\frac{2} {\pi }} v^2 \left( {\frac{m} {{kT}}} \right)^{\frac{3} {2}} \exp \left( {-\frac{{mv^2 }} {{2kT}}} \right)

Thermische Zustandsgleichung

Ideale Gase: pV = nRT (n: Molanzahl, n = \frac{N} {{N_A }} = \frac{m} {M} (M: Molmasse, m: Gesamtmasse)

Spezialfälle

Boyle-Mariotte (T und n konstant): pV = const

Gay-Lussac (p und n konstant): \frac{V} {T} = {\text{const}}\quad \frac{{V_1 }} {{V_2 }} = \frac{{T_1 }} {{T_2 }}

Amontons (V und n konstant): \frac{p} {T} = {\text{const}}\quad \frac{{p_1 }} {{p_2 }} = \frac{{T_1 }} {{T_2 }}

Strömung

Teilchenstrom: I = \frac{N} {T},\quad \quad \dot N = \rho vA,\quad \quad \rho = \frac{N} {V}
wenn nur eine Richtung betrachtet wird: \dot N = \frac{1} {2}\rho vA

Teilchenstromdichte: j = \frac{I} {A}

Intensität: I = \frac{P} {A}, für bestimmte Messfläche: I = \frac{P} {{A_{ges} }}A_{mess}

Bernoulli-Formel: \frac{1} {2}\rho v_0 ^2 +p_0 = \frac{1} {2}\rho v_1 ^2 +p_1

mit Höhenunterschied: \frac{1} {2}\rho v_0 ^2 +\rho gh_0 +p_0 = \frac{1} {2}\rho v_1 ^2 +\rho gh_1 +p_1

Gauß’scher Satz: \int_A^{} {jdA} = Q = \dot N

Kontinuitätsgleichung (Q=0): A_0 v_0 = A_1 v_1

Strömungsfeld: j = \frac{Q} {{4\pi r^2 }}\frac{{\vec r}} {{\left| {\vec r} \right|}}

E-Technik

Gauß’sche Ladungsverteilung: \int_V^{} {\rho dV} = \int_A^{} {\vec E\varepsilon _0 dA}

für Kugel: \rho \int_0^x {x^2 dx} = E\varepsilon _0 x^2

Potential: \varphi = \frac{1} {{4\pi \varepsilon _0 }}\frac{q} {r}

Coulomb’sches Gesetz: F = \frac{1} {{4\pi \varepsilon _0 }}\frac{{q_1 q_2 }} {{r^2 }}

Feld: \frac{F}{q} = E = -\nabla \left( \varphi \right)

Feldstärkevektor: \vec E = \frac{q} {{4\pi \varepsilon _0 \varepsilon _r }}\frac{{\vec r}} {{r^3 }} (von allen Punktladungen vektoriell addieren)

Faraday: E = \frac{U} {d} = \frac{Q} {{Cd}} = \frac{{It}} {{\varepsilon _0 A}}

für langen Draht: E = \frac{Q} {{2\pi \varepsilon _0 r}}\frac{{\vec r}} {{\left| {\vec r} \right|}}

Plattenkondensator: E_x = \frac{Q} {{\varepsilon _0 A}}

Kapazität: C = \frac{Q} {U} = \frac{{\varepsilon _0 A}} {d}

Spezifischer Widerstand: \rho = R\frac{A} {l}

Leitfähigkeit: \sigma = \frac{1} {\rho }

für Ohm’schen Widerstand: U = RI,\quad \quad P = UI = RI^2

Induktivität einer Spule: L = N^2 \frac{{\mu _0 \mu _r A}} {{2\pi r}}

Magnetische Feldstärke: W_m = \frac{1} {2}LI^2

Magnetfeld einer Spule: B = \frac{{\mu _0 N}} {l}I

Ladevorgang eines Kondensators: Q = \int_{}^{} {Idt}, \dot Q = I

Reihenschaltung: I const, Summe U = 0

Spannungen: U_R = IR, U_L = L\dot I, U_C = \frac{Q} {C}

Schwingungen

Harmonische Schwingung:

Kraft: F = -Dy

Beschleunigung: a = \frac{F} {m} = \frac{{d^2 y\left( t \right)}} {{dt^2 }}

resultierende Differentialgleichung: \frac{{d^2 y\left( t \right)}} {{dt^2 }} = -\frac{D} {m}y\left( t \right)

Lösung z.B. durch: y\left( t \right) = y_0 \sin \left( {\omega t} \right)

Geschwindigkeit: v\left( t \right) = \omega y_0 \cos \left( {\omega \,t+\phi _0 } \right)

Beschleunigung: a\left( t \right) = -\omega ^2 y_0 \sin \left( {\omega \,t+\phi _0 } \right)

Kreisfrequenz: \omega = 2\pi f = \sqrt {\frac{D} {m}}

Schwingdauer: {\text{ }}T = 2\pi \sqrt {\frac{m} {D}}

Pendelschwingung: T = 2\pi \sqrt {\frac{l} {g}} (gute Näherung)

Gedämpfte Schwingung

Differentialgleichung: m\ddot x+R\dot x+Dx = 0

Ansatz: x\left( t \right) = x_0 e^{i\alpha t}

allgemeine Lösung: x\left( t \right) = x_0 e^{-\frac{R} {{2m}}t} e^{ \mp i\sqrt {\frac{D} {m}-\frac{{R^2 }} {{4m^2 }}} t}

mit \frac{R} {{2m}} = \delta: x\left( t \right) = x_0 \,e^{-\delta t} \sin \left( {\omega \,t+\phi _0 } \right)

Abklingdauer: \tau = \frac{{2m}} {R}

andere Form der Lösung: x\left( t \right) = x_0 \,e^{-\frac{t} {\tau }} \sin \left( {\omega \,t+\phi _0 } \right)

Kreisfrequenz: \omega = \sqrt {\frac{D} {m}-\frac{{R^2 }} {{4m^2 }}}

Eigenfrequenz: \omega _0 = \sqrt {\frac{D} {m}}

Eigenfrequenz bei der erzwungenen Drehschwingung: \omega _0 = \sqrt {\omega _e ^2 -\frac{{J^2 }} {4}}

Interferrenz

Minima bei Spalt (d = Spaltbreite) bzw.
Maxima bei Doppelspalt und Gitter (d = Spaltabstand):

d \cdot \sin \varphi = n \cdot \lambda

Maxima bei Spalt (d = Spaltbreite) bzw.
Minima bei Doppelspalt und Gitter (d = Spaltabstand):

d \cdot \sin \varphi = \left( {2n+1} \right)\frac{\lambda } {2}

Konstanten

Atomare Masseneinheit: u = 1,66 \cdot 10^{-27} kg

Lichtgeschwindigkeit: c = 2,998 \cdot 10^8 \frac{m} {s}

Avogadro-Konstante: N_A = 6,022 \cdot 10^{23} \frac{1} {{mol}}

Bolzmannkonstante: k = 1,38 \cdot 10^{-23} \frac{J} {K}

Allgemeine Gaskonstante: R = 8,3144\frac{J} {{mol \cdot K}} = N_A k

Planksches Wirkungsquantum: h = 6,626 \cdot 10^{-34} Js,\quad \hbar = \frac{h} {{2\pi }}

elektrische Feldkonstante: \varepsilon _0 = 8,854 \cdot 10^{-12} \frac{{As}} {{Vm}}

magnetische Feldkonstante: \mu _0 = 4\pi \cdot 10^{-7} \frac{{Vs}} {{Am}} = 1,256 \cdot 10^{-6} \frac{{Vs}} {{Am}}

Ruhemasse Elektron: m_e = 9,109 \cdot 10^{-31} kg

Ruhemasse Neutron: m_n = 1,675 \cdot 10^{-27} kg

Ruhemasse Proton: m_p = 1,673 \cdot 10^{-27} kg

Ladung Elektron (Elementarladung): e = 1,602 \cdot 10^{-19} C

Dichten
Luft: \rho _L = 1,293\frac{{kg}} {{m^3 }}
Wasserstoff: \rho _H = 0,0899\frac{{kg}} {{m^3 }}

Einheiten

E-Technik

Stromstärke: \left[ I \right] = A = \frac{C} {s}

Ladung: \left[ Q \right] = C = As

Leistung: \left[ P \right] = W = \frac{J} {s} = VA = \frac{{kg \cdot m^2 }} {{s^3 }}

Spannung: \left[ U \right] = V = \frac{W} {A} = \frac{{kg \cdot m^2 }} {{s^3 A}}

Widerstand: \left[ R \right] = \Omega = \frac{V} {A} = \frac{{kg \cdot m^2 }} {{s^3 A^2 }}

Feldstärke: \left[ E \right] = \frac{V} {m} = \frac{N} {C} = \frac{{kg \cdot m}} {{s^3 A}}

Induktivität: \left[ L \right] = H = \frac{{Vs}} {A} = \frac{{m^2 kg}} {{s^2 A^2 }}

Kapazität: \left[ C \right] = F = \frac{{As}} {V}

Stromdichte: \left[ J \right] = \frac{A} {{m^2 }}

Magnetismus

Flussdichte: \left[ B \right] = T = \frac{{Vs}} {{m^2 }}

Feldstärke: \left[ H \right] = \frac{A} {m}

Kinetik

Kraft: \left[ F \right] = N = \frac{{kg \cdot m}} {{s^2 }}

Leistung: \left[ P \right] = W = VA = \frac{J} {s} = \frac{{kg \cdot m^2 }} {{s^3 }}

Impuls: \left[ p \right] = Ns = \frac{{kg \cdot m}} {s}

Drehimpuls: \left[ L \right] = Js = Nms = \frac{{kg \cdot m^2 }} {s}

Druck: \left[ p \right] = Pa = \frac{N} {{m^2 }} = \frac{{kg}} {{s^2 m}}

Dichte: \left[ \rho \right] = \frac{{kg}} {{m^3 }}

Energie, Arbeit, innere Wärme: \left[ E \right] = \left[ W \right] = \left[ Q \right] = J = Nm = Ws = \frac{{kg \cdot m^2 }} {{s^2 }}

Trägheitsmoment: \left[ J \right] = kgm^2

Umwandlung

1l = 10^{-3} m^3

1cm^2 = 10^{-4} m^2

1cm^3 = 10^{-6} m^3

0^\circ C = 273,15K