! Physik Formelsammlung für die Klausur

Geometrie

Trigonometrie

Sinussatz: $\frac{a} {b} = \frac{{\sin \alpha }} {{\sin \beta }}$

Kosinussatz: $a^2 = b^2 +c^2-2bc\;\cos \alpha$

Höhensatz: $h_a = b\sin \gamma = c\sin \beta = \frac{{2F}} {a} = 2r\sin \beta \sin \gamma$

Wichtige Zusammenhänge:

$\tan x = \frac{{\sin x}} {{\cos x}}$

$\sin ^2 x+\cos ^2 x = 1$

$1+\tan ^2 x = \frac{1} {{\cos ^2 x}} = \sec ^2 x$

Funktionswerte:
$\begin{array}{*{20}{c}} \alpha ^\circ & \alpha \left( {rad} \right) & \sin \alpha & \cos \alpha & \tan \alpha \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 30 & \frac{\pi } {6} & \frac{1} {2} & \frac{1} {2}\sqrt 3 & \frac{1} {3}\sqrt 3 \\ 45 & \frac{\pi } {4} & \frac{1} {2}\sqrt 2 & \frac{1} {2}\sqrt 2 & 1 \\ 60 & \frac{\pi } {3} & \frac{1} {2}\sqrt 3 & \frac{1} {2} & \sqrt 3 \\ 90 & \frac{\pi } {2} & 1 & 0 & \pm \infty \\ 120 & \frac{2} {3}\pi & \frac{1} {2}\sqrt 3 & -\frac{1} {2} & -\sqrt 3 \\ 180 & \pi & 0 & -1 & 0 \\ 270 & \frac{3} {2}\pi & -1 & 0 & \pm \infty \\ \end{array}$

Symmetrie:
$\sin (-x) = -\sin x\:$ , $\cos (-x) = +\cos x\:$ , $\tan (-x) = -\tan x\:$

Phasenverschiebung:
$\sin \left( {x+\frac{\pi } {2}} \right) = \cos x\:$ , $\cos \left( {x+\frac{\pi } {2}} \right) = -\sin x\:$ , $\tan \left( {x+\frac{\pi } {2}} \right) = -\cot x\:$

Additionstheoreme:

$\sin ( x+y ) = \sin x \; \cos y+\sin y \; \cos x$

$\sin (x-y) = \sin x\:\cos y-\sin y\:\cos x$

$\cos (x+y) = \cos x\:\cos y-\sin x\:\sin y$

$\cos (x-y) = \cos x\:\cos y+\sin x\:\sin y$

$\tan (x+y) = \frac{{\tan x+\tan y}} {{1-\tan x\:\tan y}} = \frac{{\sin (x+y)}} {{\cos (x+y)}}$

$\sin (x+y)\sin (x-y) = \cos ^2 y-\cos ^2 x$

Produkte:

$\sin x\:\sin y = \frac{1} {2}(\cos (x-y)-\cos (x+y))$

$\cos x\:\cos y = \frac{1} {2}(\cos (x-y)+\cos (x+y))$

$\sin x\:\cos y = \frac{1} {2}(\sin (x-y)+\sin (x+y))$

Potenzen:

$\sin ^2 x = \frac{1} {2}\;(1-\cos (2x))$

$\sin ^3 x = \frac{1} {4}\;(3\sin x-\sin (3x))$

$\cos ^2 x = \frac{1} {2}\;(1+\cos (2x))$

$\cos ^3 x = \frac{1} {4}\;(3\cos x+\cos (3x))$

Oberflächen und Volumen

Kreis: $U = d\pi ,\quad \quad A = \pi r^2$

Kugel: $A = 4\pi r^2 ,\quad \quad V = \frac{4} {3}\pi r^3$

Kugelkalotte: $A = 2\pi rh = 2\pi r^2 \left( {1-\cos \frac{\alpha } {2}} \right)$

Kegel: $A = \pi sr,\quad \quad V = \frac{1} {3}Gh = \frac{1} {3}\pi r^2 h$

Analysis

Differentialgleichungen

Standardansatz: $x = A_0 e^{\lambda t}$

Komplexer Ansatz für Schwingungen: $x = A_0 e^{i\omega t}$

Komplexer Ansatz für Kreisbewegungen: $\eta = i\dot x+\dot y$

Werte der Jakobideterminante

Umwandlung kartesische Koordinaten in Polarkoordinaten oder Zylinderkoordinaten: $r$

Umwandlung kartesische Koordinaten in Kugelkoordinaten: $r^2 \sin \vartheta$ (Theta geht direkt zu r)

Sonstiges

Gradient: $grad\left( \varphi \right) = \left( {\frac{{\partial \varphi }} {{\partial x}},\frac{{\partial \varphi }} {{\partial y}},\frac{{\partial \varphi }} {{\partial z}}} \right)$

Taylorreihenentwicklung: $P_f \left( x \right) = \sum\limits_0^\infty {\frac{{f^{\left( n \right)} \left( a \right)}} {{n!}}\left( {x-a} \right)^n }$

PQ-Formel: $x_{1,2} = -\frac{p} {2} \pm \sqrt {\frac{{p^2 }} {4}-q}$

Mitternachtformel: $x_{1,2} = \frac{{-b \pm \sqrt {b^2 -4ac} }} {{2a}}$

Euler-Formel: $e^{ \pm i\phi } = \cos \phi \pm i\sin \phi$

Mechanik

Kräfte

Zentrifugalkraft: $F_Z = \frac{m} {r}v^2$

Federkraft: $F_F = cx$

Auftriebskraft:
statisch: $F_A = \rho vg$
dynamisch: $F_A = \frac{1} {2}\rho v^2 A$ (auch für Luftwiderstand-Kraft)

Stokes Reibung: $F_S = 6\pi \eta Rv$

Elektrische Feldkraft: $F_{el} = qE$

Lorentzkraft: $\vec F_L = q\left( {\vec v \times \vec B} \right)$ , wenn senkrecht aufeinander: $F_L = qvB$

Energien

Potentielle Energie: $E_{pot} = mgh$ , bei Feder: $E_F = \frac{c} {2}x^2$ (x: Amplitude)

Kinetische Energie: (Rotation)+(Translation)
$E_{kin} = E_{trans} +E_{rot} = \frac{1} {2}mv^2 +\frac{1} {2}J\omega ^2$

Thermische Energie: $E_{th} = \frac{f} {2}kT$

Erhaltungssätze

Impulserhaltung: $p = mv = const$ (Vorsicht: vektorielle Addition beim dezentralen Stoß)

Energieerhaltung: $E_{kin} = \frac{m} {2}v^2 = const$

unelastischer Stoß: $m_1 v_1 = \left( {m_1 +m_2 } \right)v_2$

Bewegungen

Schwerpunktsatz: $F_x = m\ddot x$

Kreisbewegung:

$\omega = \frac{v} {r} = \frac{\varphi } {t} = \frac{{2\pi }} {T}$ , Bogenlänge: $s = \alpha r$

Kreis, wenn $x = c\sin \omega t,\quad \quad y = c\cos \omega t$ , Radius: $r^2 = x^2 +y^2$

Drehimpuls: $\vec L = \vec r \times m\vec v,\quad \quad \vec M = \vec r \times \vec F = \vec r \times m\ddot x = \dot{ \vec L}$

$L = J\omega$

Präzession: $\omega _p = \frac{M} {L} = \frac{{Rmg}} {L}$

Trägheitsmomente

$J = \int_m^{} {r^2 dm} = \rho \int_V^{} {r^2 dV}$

Satz von Steiner: $J_1 = J_0 +m \cdot \Delta r^2$ , J₁ muss sich auf Schwerpunkt beziehen!

Punktmasse / Zylindermantel: $J = mr^2$

Vollzylinder: $J = \frac{m} {2}r^2$ , Querachse: $J = \frac{1} {4}mr^2 +\frac{1} {{12}}ml^2$

Hohlzylinder: $J = \frac{m} {2}(r_2 ^2 +r_1 ^2 )$

dünner Stab: $J = \frac{1} {{12}}ml^2$ , am Ende: $J = \frac{1} {3}ml^2$

Kugel: $J = \frac{2} {5}mr^2$

Quader um Achse c: $J = \frac{1} {{12}}m\left( {a^2 +b^2 } \right)$

Kegel: $J = \frac{3} {{10}}mr^2$

Wärmelehre

Spezifische Gaskonstante: $R_s = \frac{R} {M}$

Spezifische Wärmekapazität: $c = f \cdot \frac{{R_s }} {2}$ , um 1kg um 1° zu erwärmen

$\Delta Q = cm\Delta T$

Diffusion: $j = D\nabla \left( n \right)$

Freiheitsgrade:
für ein Molekül mit n Atomen:
linear: 3 trans, 2 rot, 3n-5 vib
nicht linear: 3 trans, 3 rot, 3n-6 vib

Barometrische Höhenformel:
$p\left( h \right) = p_0 \exp \left( {-\frac{{Mgh}} {{RT}}} \right)$ (M in kg / mol einsetzen)
$p\left( h \right) = p_0 \exp \left( {-\frac{{mgh}} {{kT}}} \right)$
$p\left( h \right) = p_0 \exp \left( {-\frac{{\rho gh}} {{p_0 }}} \right)$

Maxwell’sche Geschwindigkeitsverteilung:
$\frac{{dp}} {{dv}} = 4\pi v^2 \left( {\frac{m} {{2\pi kT}}} \right)^{\frac{3} {2}} \exp \left( {-\frac{{mv^2 }} {{2kT}}} \right)$
oder
$F\left( v \right) = \sqrt {\frac{2} {\pi }} v^2 \left( {\frac{m} {{kT}}} \right)^{\frac{3} {2}} \exp \left( {-\frac{{mv^2 }} {{2kT}}} \right)$

Thermische Zustandsgleichung

Ideale Gase: $pV = nRT$ (n: Molanzahl, $n = \frac{N} {{N_A }} = \frac{m} {M}$ (M: Molmasse, m: Gesamtmasse)

Spezialfälle

Boyle-Mariotte (T und n konstant): $pV = const$

Gay-Lussac (p und n konstant): $\frac{V} {T} = {\text{const}}\quad \frac{{V_1 }} {{V_2 }} = \frac{{T_1 }} {{T_2 }}$

Amontons (V und n konstant): $\frac{p} {T} = {\text{const}}\quad \frac{{p_1 }} {{p_2 }} = \frac{{T_1 }} {{T_2 }}$

Strömung

Teilchenstrom: $I = \frac{N} {T},\quad \quad \dot N = \rho vA,\quad \quad \rho = \frac{N} {V}$
wenn nur eine Richtung betrachtet wird: $\dot N = \frac{1} {2}\rho vA$

Teilchenstromdichte: $j = \frac{I} {A}$

Intensität: $I = \frac{P} {A}$ , für bestimmte Messfläche: $I = \frac{P} {{A_{ges} }}A_{mess}$

Bernoulli-Formel: $\frac{1} {2}\rho v_0 ^2 +p_0 = \frac{1} {2}\rho v_1 ^2 +p_1$

mit Höhenunterschied: $\frac{1} {2}\rho v_0 ^2 +\rho gh_0 +p_0 = \frac{1} {2}\rho v_1 ^2 +\rho gh_1 +p_1$

Gauß’scher Satz: $\int_A^{} {jdA} = Q = \dot N$

Kontinuitätsgleichung (Q=0): $A_0 v_0 = A_1 v_1$

Strömungsfeld: $j = \frac{Q} {{4\pi r^2 }}\frac{{\vec r}} {{\left| {\vec r} \right|}}$

E-Technik

Gauß’sche Ladungsverteilung: $\int_V^{} {\rho dV} = \int_A^{} {\vec E\varepsilon _0 dA}$

für Kugel: $\rho \int_0^x {x^2 dx} = E\varepsilon _0 x^2$

Potential: $\varphi = \frac{1} {{4\pi \varepsilon _0 }}\frac{q} {r}$

Coulomb’sches Gesetz: $F = \frac{1} {{4\pi \varepsilon _0 }}\frac{{q_1 q_2 }} {{r^2 }}$

Feld: $\frac{F}{q} = E = -\nabla \left( \varphi \right)$

Feldstärkevektor: $\vec E = \frac{q} {{4\pi \varepsilon _0 \varepsilon _r }}\frac{{\vec r}} {{r^3 }}$ (von allen Punktladungen vektoriell addieren)

Faraday: $E = \frac{U} {d} = \frac{Q} {{Cd}} = \frac{{It}} {{\varepsilon _0 A}}$

für langen Draht: $E = \frac{Q} {{2\pi \varepsilon _0 r}}\frac{{\vec r}} {{\left| {\vec r} \right|}}$

Plattenkondensator: $E_x = \frac{Q} {{\varepsilon _0 A}}$

Kapazität: $C = \frac{Q} {U} = \frac{{\varepsilon _0 A}} {d}$

Spezifischer Widerstand: $\rho = R\frac{A} {l}$

Leitfähigkeit: $\sigma = \frac{1} {\rho }$

für Ohm’schen Widerstand: $U = RI,\quad \quad P = UI = RI^2$

Induktivität einer Spule: $L = N^2 \frac{{\mu _0 \mu _r A}} {{2\pi r}}$

Magnetische Feldstärke: $W_m = \frac{1} {2}LI^2$

Magnetfeld einer Spule: $B = \frac{{\mu _0 N}} {l}I$

Ladevorgang eines Kondensators: $Q = \int_{}^{} {Idt}$ , $\dot Q = I$

Reihenschaltung: I const, Summe U = 0

Spannungen: $U_R = IR$ , $U_L = L\dot I$ , $U_C = \frac{Q} {C}$

Schwingungen

Harmonische Schwingung:

Kraft: $F = -Dy$

Beschleunigung: $a = \frac{F} {m} = \frac{{d^2 y\left( t \right)}} {{dt^2 }}$

resultierende Differentialgleichung: $\frac{{d^2 y\left( t \right)}} {{dt^2 }} = -\frac{D} {m}y\left( t \right)$

Lösung z.B. durch: $y\left( t \right) = y_0 \sin \left( {\omega t} \right)$

Geschwindigkeit: $v\left( t \right) = \omega y_0 \cos \left( {\omega \,t+\phi _0 } \right)$

Beschleunigung: $a\left( t \right) = -\omega ^2 y_0 \sin \left( {\omega \,t+\phi _0 } \right)$

Kreisfrequenz: $\omega = 2\pi f = \sqrt {\frac{D} {m}}$

Schwingdauer: ${\text{ }}T = 2\pi \sqrt {\frac{m} {D}}$

Pendelschwingung: $T = 2\pi \sqrt {\frac{l} {g}}$ (gute Näherung)

Gedämpfte Schwingung

Differentialgleichung: $m\ddot x+R\dot x+Dx = 0$

Ansatz: $x\left( t \right) = x_0 e^{i\alpha t}$

allgemeine Lösung: $x\left( t \right) = x_0 e^{-\frac{R} {{2m}}t} e^{ \mp i\sqrt {\frac{D} {m}-\frac{{R^2 }} {{4m^2 }}} t}$

mit $\frac{R} {{2m}} = \delta$ : $x\left( t \right) = x_0 \,e^{-\delta t} \sin \left( {\omega \,t+\phi _0 } \right)$

Abklingdauer: $\tau = \frac{{2m}} {R}$

andere Form der Lösung: $x\left( t \right) = x_0 \,e^{-\frac{t} {\tau }} \sin \left( {\omega \,t+\phi _0 } \right)$

Kreisfrequenz: $\omega = \sqrt {\frac{D} {m}-\frac{{R^2 }} {{4m^2 }}}$

Eigenfrequenz: $\omega _0 = \sqrt {\frac{D} {m}}$

Eigenfrequenz bei der erzwungenen Drehschwingung: $\omega _0 = \sqrt {\omega _e ^2 -\frac{{J^2 }} {4}}$

Interferrenz

Minima bei Spalt (d = Spaltbreite) bzw.
Maxima bei Doppelspalt und Gitter (d = Spaltabstand):

$d \cdot \sin \varphi = n \cdot \lambda$

Maxima bei Spalt (d = Spaltbreite) bzw.
Minima bei Doppelspalt und Gitter (d = Spaltabstand):

$d \cdot \sin \varphi = \left( {2n+1} \right)\frac{\lambda } {2}$

Konstanten

Atomare Masseneinheit: $u = 1,66 \cdot 10^{-27} kg$

Lichtgeschwindigkeit: $c = 2,998 \cdot 10^8 \frac{m} {s}$

Avogadro-Konstante: $N_A = 6,022 \cdot 10^{23} \frac{1} {{mol}}$

Bolzmannkonstante: $k = 1,38 \cdot 10^{-23} \frac{J} {K}$

Allgemeine Gaskonstante: $R = 8,3144\frac{J} {{mol \cdot K}} = N_A k$

Planksches Wirkungsquantum: $h = 6,626 \cdot 10^{-34} Js,\quad \hbar = \frac{h} {{2\pi }}$

elektrische Feldkonstante: $\varepsilon _0 = 8,854 \cdot 10^{-12} \frac{{As}} {{Vm}}$

magnetische Feldkonstante: $\mu _0 = 4\pi \cdot 10^{-7} \frac{{Vs}} {{Am}} = 1,256 \cdot 10^{-6} \frac{{Vs}} {{Am}}$

Ruhemasse Elektron: $m_e = 9,109 \cdot 10^{-31} kg$

Ruhemasse Neutron: $m_n = 1,675 \cdot 10^{-27} kg$

Ruhemasse Proton: $m_p = 1,673 \cdot 10^{-27} kg$

Ladung Elektron (Elementarladung): $e = 1,602 \cdot 10^{-19} C$

Dichten
Luft: $\rho _L = 1,293\frac{{kg}} {{m^3 }}$
Wasserstoff: $\rho _H = 0,0899\frac{{kg}} {{m^3 }}$

Einheiten

E-Technik

Stromstärke: $\left[ I \right] = A = \frac{C} {s}$

Ladung: $\left[ Q \right] = C = As$

Leistung: $\left[ P \right] = W = \frac{J} {s} = VA = \frac{{kg \cdot m^2 }} {{s^3 }}$

Spannung: $\left[ U \right] = V = \frac{W} {A} = \frac{{kg \cdot m^2 }} {{s^3 A}}$

Widerstand: $\left[ R \right] = \Omega = \frac{V} {A} = \frac{{kg \cdot m^2 }} {{s^3 A^2 }}$

Feldstärke: $\left[ E \right] = \frac{V} {m} = \frac{N} {C} = \frac{{kg \cdot m}} {{s^3 A}}$

Induktivität: $\left[ L \right] = H = \frac{{Vs}} {A} = \frac{{m^2 kg}} {{s^2 A^2 }}$

Kapazität: $\left[ C \right] = F = \frac{{As}} {V}$

Stromdichte: $\left[ J \right] = \frac{A} {{m^2 }}$

Magnetismus

Flussdichte: $\left[ B \right] = T = \frac{{Vs}} {{m^2 }}$

Feldstärke: $\left[ H \right] = \frac{A} {m}$

Kinetik

Kraft: $\left[ F \right] = N = \frac{{kg \cdot m}} {{s^2 }}$

Leistung: $\left[ P \right] = W = VA = \frac{J} {s} = \frac{{kg \cdot m^2 }} {{s^3 }}$

Impuls: $\left[ p \right] = Ns = \frac{{kg \cdot m}} {s}$

Drehimpuls: $\left[ L \right] = Js = Nms = \frac{{kg \cdot m^2 }} {s}$

Druck: $\left[ p \right] = Pa = \frac{N} {{m^2 }} = \frac{{kg}} {{s^2 m}}$

Dichte: $\left[ \rho \right] = \frac{{kg}} {{m^3 }}$

Energie, Arbeit, innere Wärme: $\left[ E \right] = \left[ W \right] = \left[ Q \right] = J = Nm = Ws = \frac{{kg \cdot m^2 }} {{s^2 }}$

Trägheitsmoment: $\left[ J \right] = kgm^2$

Umwandlung

$1l = 10^{-3} m^3$

$1cm^2 = 10^{-4} m^2$

$1cm^3 = 10^{-6} m^3$

$0^\circ C = 273,15K$

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