3.3 – Fourier-Transformation

 

Der Hilbert-Raum {L^2}\left[ {0,2\pi } \right] ist die Vervollständigung des Raumes C\left[ {0,2\pi } \right] der 2\pi-periodischen komplexwertigen stetigen Funktionen auf \left[ {0,2\pi } \right] mit der Norm, die durch das {L^2}-Skalarprodukt definiert ist:

\left\langle {f,g} \right\rangle : = \int\limits_0^{2\pi } {f\left( x \right)\bar g\left( x \right)dx}.

Jede Funktion \varphi \in {L^2}\left[ {0,2\pi } \right] kann in eine Fourier-Reihe expandiert werden:

\sum\limits_{k = -\infty }^\infty {{a_k}{e^{ikt}}} ,\quad {a_k}: = \frac{1}{{2\pi }}\int\limits_0^{2\pi } {\varphi \left( t \right){e^{-ikt}}dt}

Dabei brauchen wir die Trigonometrischen Monome

{\chi _k}\left( t \right): = {e^{ikt}},\quad t \in \mathbb{R},\:\:k \in \mathbb{Z}.

{\left\{ {{\chi _k}} \right\}_{k \in \mathbb{Z}}} bildet ein orthogonales System in {L^2}\left[ {0,2\pi } \right]:

\left\langle {{\chi _k},{\chi _l}} \right\rangle = \int\limits_0^{2\pi } {{e^{i\left( {k-l} \right)t}}dt} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0,}&{k \ne l} \\ {2\pi ,}&{k = l} \end{array}} \right..

Erinnerung: Satz von Weierstraß
Der Approximationssatz von Stone-Weierstraß sagt aus, unter welchen Voraussetzungen man jede stetige Funktion durch einfachere Funktionen beliebig gut approximieren kann.

Aus dem Satz von Stone-Weierstraß folgt, dass die trigonometrischen Polynome dicht in C\left[ {0,2\pi } \right] liegen bezüglich der Maximum-Norm. Wegen der Konstruktion von {L^2}\left[ {0,2\pi } \right] ist das orthogonale System {\left\{ {{\chi _k}} \right\}_{k \in \mathbb{Z}}} vollständig und die Fourier-Reihe (oben) konvergiert im quadratischen Mittel gegen \varphi. Wegen \left\| {{\chi _k}} \right\|_2^2 = 2\pi wird die Parsevalsche Gleichung für jede Funktion \varphi \in {L^2}\left[ {0,2\pi } \right] zu

\frac{1}{{2\pi }}\left\| \varphi \right\|_2^2 = \frac{1}{{2\pi }}\int\limits_0^{2\pi } {{{\left| {\varphi \left( t \right)} \right|}^2}dt} = \frac{1}{{2\pi }}\sum\limits_{k,l} {\left\langle {{a_k}{\chi _k},{a_l}{\chi _l}} \right\rangle } = \sum\limits_{k = -\infty }^\infty {{{\left| {{a_k}} \right|}^2}}.

Weiterhin konvergiert die Fourier-Reihe einer stetig differenzierbaren 2\pi-periodischen Funktion absolut und uniform. Integration liefert für k \ne 0

2\pi {a_k} = \int\limits_0^{2\pi } {\varphi \left( t \right){e^{-ikt}}dt} = \frac{1}{{ik}}\int\limits_0^{2\pi } {{\varphi ^\prime }\left( t \right){e^{-ikt}}dt}

und für k = 0

\frac{1}{{2\pi }}\int\limits_0^{2\pi } {{\varphi ^\prime }\left( t \right)dt} = 0.

Das führt zu

\sum\limits_{k = -\infty }^\infty {{k^2}{{\left| {{a_k}} \right|}^2}} = \frac{1}{{2\pi }}\int\limits_0^{2\pi } {{{\left| {{\varphi ^\prime }\left( t \right)} \right|}^2}dt} < \infty.

Es scheint günstig, Funktionenräume für 2\pi-periodische Funktionen zu definieren, indem wir einen bestimmten Abfall der Fourier-Koeffizienten für \left| k \right| \to \infty vorschreiben.