.01.1 – Fouriertransformation und Fourieranalyse

 

Entwickeln Sie die Stufenfunktion mit der Periode T

f\left( t \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}    C & \forall  & 0 < t < \frac{T} {2}  \\    -C & \forall  & \frac{T} {2} < t < T  \\   \end{array} } \right.

in einer FOURIER-Reihe.

Stellen Sie f(t) sowie die Approximationsfunktion mit n = 1 und n = 7 grafisch dar für den Fall C = 1 und T = 2π

Lösung

Vorgehen bei der Berechnung von Fourier-Reihen:

  1. Grafik zeichnen
  2. (abschnittsweise) Definition f(t) für ein Intervall
  3. Symmetrie prüfen (ungerade / Punktsymmetrie, gerade / Achsensymmetrie)
  4. Ermittlung der Fourier-Koeffizienten

Formeln für die Koeffizienten:

a_k  = \frac{\Omega } {\pi }\int_0^T {f\left( t \right)\cos \left( {k\Omega t} \right)dt}

b_k  = \frac{\Omega } {\pi }\int_0^T {f\left( t \right)\sin \left( {k\Omega t} \right)dt}

Schritt 1:

Zeitfunktion zur Fouriertransformation

Schritt 2:

f\left( t \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}    C & \forall  & 0 < t < \frac{T} {2}  \\    -C & \forall  & \frac{T} {2} < t < T  \\   \end{array} } \right.

Schritt 3:

Die Funktion ist ursprungssymmetrisch, also ungerade. Es gilt daher:

f\left( t \right) = \sum\limits_{k = 1}^\infty  {b_k \sin } \left( {k\Omega t} \right)dt

Schritt 4:

Wir müssen nur die Koeffizienten b berechnen. Die Funktion ist auf dem Intervall in Abschnitte unterteilt, wir müssen daher auch abschnittweise integrieren:

b_k  = \frac{\Omega } {\pi }\int_0^T {f\left( t \right)\sin \left( {k\Omega t} \right)dt}

= \frac{\Omega } {\pi }\left[ {\int_0^{\frac{T} {2}} {C\sin \left( {k\Omega t} \right)dt} +\int_{\frac{T} {2}}^T {-C\sin \left( {k\Omega t} \right)dt} } \right]

= \frac{\Omega } {\pi }\left[ {-\frac{C} {{k\Omega }}\left[ {\cos \left( {k\Omega t} \right)} \right]_0^{\frac{T} {2}} +\frac{C} {{k\Omega }}\left[ {\cos \left( {k\Omega t} \right)} \right]_{\frac{T} {2}}^T } \right]

= \frac{C} {{k\pi }}\left[ {-\cos \left( {k\Omega \frac{T} {2}} \right)+1+\cos \left( {k\Omega T} \right)-\cos \left( {k\Omega \frac{T} {2}} \right)} \right]

= \frac{C} {{k\pi }}\left[ {-2\cos \left( {k\pi } \right)+1+\cos \left( {k2\pi } \right)} \right]

= \frac{C} {{k\pi }}\left[ {-2\cos \left( {k\pi } \right)+2} \right] = \frac{{2C}} {{k\pi }}\left[ {1-\cos \left( {k\pi } \right)} \right]

Hier haben wir den Zusammenhang

\Omega = \frac{2 \pi}{T}

genutzt.

Wir betrachten die Cosinusfunktion:

Cosinusfunktion

Damit können wir das Ergebnis für die b-Koeffizienten weiter vereinfachen:

b_k  = \frac{{2C}} {{k\pi }}\left( {1-\left( {-1} \right)^k } \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}    0 & \forall  & {{\text{k gerade}}}  \\    {\frac{{4C}} {{k\pi }}} & \forall  & {{\text{k ungerade}}}  \\   \end{array} } \right.

Die Fourierreihe ist somit

\sum\limits_{k = 1}^\infty  {\left( {b_k \sin \left( {k\Omega t} \right)} \right)}  = \sum\limits_{k = 1}^\infty  {\left( {\frac{{2C}} {{k\pi }}\left[ {1-\left( {-1} \right)^k } \right]\sin \left( {k\Omega t} \right)} \right)}

ausgeschrieben:

f\left( t \right) = \frac{{4C}} {\pi }\left( {\sin \left( {\Omega t} \right)+\frac{1} {3}\sin \left( {3\Omega t} \right)+\frac{1} {5}\sin \left( {5\Omega t} \right)+\ldots} \right)

Grafische Darstellung:

Fourier-Synthese