18 – Freie Schwingungen mit zwei Freiheitsgraden

Im letzten Artikel wurde die Differentialgleichung der Bewegung der beiden Massen eines Systems mit zwei Freiheitsgraden bestimmt. Hier soll nun der Spezialfall der freien Schwingung vertieft werden.

Freie Schwingunge bedeutet: Es wirken keine Erregerkräfte, also

$F_{1, 2} \left( t \right) = 0$

Wir erhalten daher ein homogenes Gleichungssystem:

$m_1 \ddot x_1+\left( c_1+c_2 \right) x_1-c_2 x_2 = 0$

$m_2 \ddot x_2-c_2 x_1+c_2 x_2 = 0$

Teillösungen

Für die Lösung verwenden wir die Exponentialansätze:

$x_1 = \hat x_1 e^{i \omega t}$

und

$x_2 = \hat x_2 e^{i \omega t}$

Die zweiten Ableitungen sind

$\ddot x_1 =-\omega^2 \hat x_1 e^{i \omega t}$

$\ddot x_2 =-\omega^2 \hat x_2 e^{i \omega t}$

Wir setzen in das Gleichungssystem ein, wobei der Exponentialterm weggekürzt werden kann:

$-m_1 \omega^2 \hat x_1+\left( c_1+c_2 \right) \hat x_1-c_2 \hat x_2 = 0$

$- m_2 \omega^2 \hat x_2-c_2 \hat x_1+c_2 x_2 = 0$

Abschließend wird umsortiert und man erhält das “zeitfreie” Gleichungssystem:

$\left( c_1+c_2-\omega^2 m_1 \right) \hat x_1-c_2 \hat x_2 = 0$

$-c_2 \hat x_1+\left(c_2-\omega^2m_2 \right) \hat x_2 = 0$

Nichttriviale Lösungen für die komplexen Amplituden existieren nur dann, wenn die Determinante des Gleichungssystems verschwindet, d.h. für

$\left| {\begin{array}{*{20}{c}} c_1 +c_2 -\omega ^2 m_1 & {-c_2 } \\ {-c_2 } & {c_2 -\omega ^2 m_2 } \\ \end{array} } \right| = 0$

Daraus folgt die biquadratische Gleichung

$m_1m_2 \omega^4-\left( m_1 c_2+m_2 c_1+m_2 c_2 \right) \omega^2+c_1 c_2 = 0$

mit zwei Lösungen ω₁² und ω₂² für die Eigenkreisfrequenzen.

Gesamtlösung

Die Gesamtlösung ergibt sich als Summe der Einzellösungen zu

$x_1 = \hat x_{1a} e^{i\omega_1 t}+\hat x_{1b} e^{i\omega_2 t}$

$x_2 = \hat x_{2a} e^{i\omega_1 t}+\hat x_{2b} e^{i\omega_2 t}$

Die maximalen Amplituden (mit Dach) sind komplexe Amplituden mit Real- und Imaginärteil, d.h. es würden 4 · 2 = 8 Integrationskonstanten benötigt, um die Bewegungsgleichung vollständig zu bestimmen. Es liegen jedoch nur vier Anfangsbedingungen vor (Anfangsposition und -geschwindigkeit der beiden Massen). Um die vier überzähligen Konstanten zu eliminieren, müssen wir zwei der vier komplexen Amplituden loswerden. Dies ist möglich, indem wir je eine komplexe Amplitude als ein Vielfaches einer anderen ausdrücken. Das Verhältnis der Amplituden hängt nämlich ausschließlich von Systemgrößen ab. Um die Verhältnisse zu bestimmen, setzt man die nunmehr bekannten Eigenkreisfrequenzen in das “zeitfreie” Gleichungssystem ein.

Aus der Eigenkreisfrequenz ω₁ wird damit

$\left( c_1+c_2-\omega_1^2 m_1 \right) \hat x_{1a} = c_2 \hat x_{2a}$

umgestellt:

$\frac{\hat x_{2a}}{\hat x_{1a}} = \frac{c_1+c_2-\omega_1^2 m_1}{c_2} = \mu_1$

Alternativ kann μ₁ auch mit der zweiten Gleichung des zeitfreien Gleichungssystems bestimmt werden:

$c_2 \hat x_{1a} = \left( c_2-\omega_1^2 m_2 \right) \hat x_{2a}$

bzw umgestellt:

$\frac{\hat x_{2a}}{\hat x_{1a}} = \frac{c_2}{c_2-\omega_1^2 m_2} = \mu_1$

Für die Eigenkreisfrequenz ω₂ erhält man durch Einsetzen und umstellen:

$\mu _2 = \frac{{\hat x_{2b} }} {{\hat x_{1b} }} = \frac{{c_1 +c_2 -\omega _2^2 m_1 }} {{c_2 }} = \frac{{c_2 }} {{c_2 -\omega _2^2 m_2 }}$

Diese Verhältnisse der komplexen Amplituden setzen wir nun in die Gesamtlösung des Gleichungssystems ein:

$x_1 = \hat x_{1a} e^{i\omega _1 t} +\hat x_{1b} e^{i\omega _2 t}$

$x_2 = \hat x_{2a} e^{i\omega _1 t} +\hat x_{2b} e^{i\omega _2 t}$

$\frac{{\hat x_{2a} }} {{\hat x_{1a} }} = \mu _1 \quad \Rightarrow \quad \hat x_{2a} = \mu _1 \hat x_{1a}$

$\frac{{\hat x_{2b} }} {{\hat x_{1b} }} = \mu _2 \quad \Rightarrow \quad \hat x_{2b} = \mu _2 \hat x_{1b}$

$\Rightarrow x_1 = \hat x_{1a} e^{i\omega _1 t} +\hat x_{1b} e^{i\omega _2 t}$

$\Rightarrow x_2 = \mu _1 \hat x_{1a} e^{i\omega _1 t} +\mu _2 \hat x_{1b} e^{i\omega _2 t}$

Es gibt jetzt vier Anfangsbedingungen für vier Integrationskonstanten.

Anfangsbedingungen:

$x_1 \left( 0 \right) = \hat x_{1a} +\hat x_{1b}$

$x_2 \left( 0 \right) = \mu _1 \hat x_{1a} +\mu _2 \hat x_{1b}$

$\dot x_1 \left( 0 \right) = i\omega _1 \hat x_{1a} +i\omega _2 \hat x_{1b}$

$\dot x_2 \left( 0 \right) = i\omega _1 \mu _1 \hat x_{1a} +i\omega _2 \mu _2 \hat x_{1b}$

Beispielrechnung

Auslenkung zur statischen Ruhelage

$m_1 = m, \quad \quad m_2 = 2m$

$c_1 = c_2 = c$

In das zeitfreie Gleichungssystem eingesetzt:

$\left( 2c-\omega^2m \right) \hat x_1-c \hat x_2 = 0$

$- c \hat x_1+\left( c-\omega^2 2 m \right) \hat x_2 = 0$

Die Determinante muss 0 werden, also

$\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2c-\omega ^2 m & {-c} \\ {-c} & {c-\omega ^2 2m} \\ \end{array} } \right| = 0$

wir erhalten die biquadratische Gleichung:

$\left( {2c-\omega ^2 m} \right)\left( {c-\omega ^2 2m} \right)-c^2 = 0$

$2c^2 -4c\omega ^2 m-c\omega ^2 m+2\omega ^4 m^2 -c^2 = 0$

$\omega ^4 \cdot 2m^2 -\omega ^2 \cdot 5cm+c^2 = 0$

Wir lösen durch Substitution und mit Hilfe der PQ-Formel:

$\lambda = \omega ^2$

$\lambda ^2 -\lambda \frac{{5c}} {{2m}}+\frac{{c^2 }} {{2m^2 }} = 0$

$\lambda _{1,2} = \frac{{5c}} {{4m}} \pm \sqrt {\left( {\frac{{5c}} {{4m}}} \right)^2 -\frac{{c^2 }} {{2m^2 }}} = \frac{{5c}} {{4m}} \pm \sqrt {\left( {\frac{{25}} {{16}}-\frac{1} {2}} \right)\frac{{c^2 }} {{m^2 }}} = \frac{5} {4}\frac{c} {m} \pm \frac{{\sqrt {17} }} {4}\frac{c} {m}$

$\omega _1^2 = \frac{{5-\sqrt {17} }} {4}\frac{c} {m}\quad \quad \approx \quad \quad 0,2192\frac{c} {m}$

$\omega _2^2 = \frac{{5+\sqrt {17} }} {4}\frac{c} {m}\quad \quad \approx \quad \quad 2,2808\frac{c} {m}$

Für die Gesamtlösung gilt

$x_1 = \hat x_{1a} e^{i\omega_1 t}+\hat x_{1b} e^{i\omega_2 t}$

$x_2 = \hat x_{2a} e^{i\omega_1 t}+\hat x_{2b} e^{i\omega_2 t}$

bzw

$\Rightarrow x_1 = \hat x_{1a} e^{i\omega _1 t} +\hat x_{1b} e^{i\omega _2 t}$

$\Rightarrow x_2 = \mu _1 \hat x_{1a} e^{i\omega _1 t} +\mu _2 \hat x_{1b} e^{i\omega _2 t}$

Die Amplitudenverhältnisse sind

$\mu _1 = \frac{{c+c-m\frac{{5+\sqrt {17} }} {4}\frac{c} {m}}} {c} = 1+1-\frac{{5+\sqrt {17} }} {4}\quad \quad \approx \quad \quad 1,781$

$\mu _2 = \frac{{c+c-m\frac{{5+\sqrt {17} }} {4}\frac{c} {m}}} {c} = 1+1-\frac{{5+\sqrt {17} }} {4}\quad \quad \approx \quad \quad -0,281$

eingesetzt:

$x_1 = \hat x_{1a} e^{i \omega_1 t}+ \hat x_{1b} e^{i \omega_2 t}$

$x_2 = 1,781 \hat x_{1a} e^{i \omega_1 t}-0,281 \hat x_{1b} e^{i \omega_2 t}$

Mögliche Schwingungsformen

Bei bestimmten Anfangsbedingungen

Schwingt das System nur mit ω₁ (erste Hauptschwingung). Da μ₁ positiv ist, schwingen die Massen gleichphasig
Schwingt das System nur mit ω₁ (erste Hauptschwingung). Da μ₂ negativ ist, schwingen die Massen gegenphasig
Überlagern sich die beiden Schwingungen

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