Funktionalanalysis

 

Codename: FUN

Qualifikationsziele

Die lineare Funktionalanalysis untersucht die Struktur von Funktionenräumen und die Eigenschaften stetiger linearer Abbildungen zwischen diesen Räumen. Sie entwickelte sich aus der grundlegenden Beobachtung, dass Funktionen als Elemente von Vektorräumen betrachtet werden können und dass sich die topologischen Begriffe des Euklidischen Raumes aus dem Endlichdimensionalen auch auf Funktionenräume übertragen lassen. Als Synthese von Algebra und Analysis ist die Funktionalanalysis ein wesentliches Instrument für die Behandlung von Integral- und Differentialgleichungen, insbesondere von partiellen Differentialgleichungen. Sie ist somit unerlässlich für die mathematische Modellierung vieler Aufgabenstellungen in Naturwissenschaft und Technik. Das Modul vermittelt die wichtigsten Begriffsbildungen, Strukturen und Methoden der linearen Funktionalanalysis. Die so bereitgestellten Methoden werden in ausgesuchten Beispielen aus der Physik und Mechanik angewandt, um den Studierenden die mathematische Modellierung von naturwissenschaftlich-technischen Aufgabenstellungen näher zu bringen. Darüber hinaus lernen die Studierenden strukturelle Zusammenhänge erkennen, die die Grenzen zwischen verschiedenen Anwendungsgebieten in den technischen Disziplinen überbrücken.

Inhalte

Das Modul “Funktionalanalysis” behandelt den klassischen Stoff der Banach- und Hilberträume, lineare Operatoren und lineare Funktionale mit dem Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit, sowie mit dem Fortsetzungs- und Trennsatz von Hahn-Banach, ferner schwache Konvergenz mit den zentralen Kompaktheitssätzen, bis hin zur Spektraltheorie kompakter Operatoren. Diese Entwicklung der Theorie wird begleitet durch die Anwendung auf die Analysis in konkreten Funktionenräumen, insbesondere in den Sobolevräumen als natürliche Lösungsräume partieller Differentialgleichungen.

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