01.3 – Funktionenräume

 
  1. Wiederholen Sie den Begriff linearer Raum (linearer Vektorraum) und Dimension.
  2. Welche Funktionen können einen linearen Raum bilden?
  3. Welche Normen kennen Sie in Funktionenräumen?

    L^p \left( \Omega  \right)\quad mit\quad 1 \leq p \leq \infty \quad ;\quad C\left( \Omega  \right)\quad ;\quad C^k \left( \Omega  \right)\quad mit\quad k \in \mathbb{N}

  4. Warum C^k \left( {\overline \Omega  } \right) und nicht C^k \left( \Omega  \right) ?
  5. Gibt es in diesen Räumen ein Skalarprodukt?

Lösung

a)

Linearer Raum (Vektorraum): Siehe: dieser Artikel.

Dimension: Anzahl der unabhängigen Elemente der Basis (im endlichdimensionalen)

b)

  • Polynome vom Grad \leq n
  • 2π-Periodische Funktionen

c)

Ein Funktionenraum ist eine Menge von Funktionen, die alle denselben Definitionsbereich besitzen.
Ist diese Menge ein Vektorraum, so spricht man von einem linearen Funktionenraum.
Wenn man einen Funktionenraum mit einer Norm versieht, so erhält man einen normierten Raum.
Ist dieser auch noch vollständig, so spricht man von einem Banachraum.

Funktionenräume sind z.B. die Lp-Räume (spezielle Banachräume):

L^2 \left( \Omega  \right) = \left\{ {f\:Lebesgue\:integrierbar\:und\:\int\limits_\Omega  {f^2 d\omega }  < \infty } \right\} = alle quadratintegrierbaren Funktionen

L^p \left( \Omega  \right) = \left\{ {\int\limits_\Omega  {\left| f \right|^p d\omega }  < \infty \quad ,\quad 1 \leq p < \infty } \right\} = alle p-fach integrierbaren Funktionen

L^\infty  \left( \Omega  \right) = \left\{ {f:\:ess\sup f\: < \infty } \right\}, esssup = essentielles Supremum

Normen für diese Funktionenräume sind:
in L^p :\quad \left\| f \right\|_p  = \left( {\int\limits_\Omega  {\left| f \right|^p d\omega } } \right)^{\frac{1} {p}}

in L^2 :\quad \left\| f \right\|_2  = \left( {\int\limits_\Omega  {\left| f \right|^2 d\omega } } \right)^{\frac{1} {2}}

in L^\infty  :\quad \left\| f \right\|_\infty   = ess\sup \left| f \right|

Nun betrachten wir noch eine Norm für die Menge der stetigen Funktionen:

C\left( {\overline \Omega  } \right) = \left\{ {stetige\:Funktion\:auf\:\overline \Omega  } \right\}

bzw.

C^k \left( {\overline \Omega  } \right) = \left\{ {stetige\:Funktion\:auf\:\overline \Omega  ,\:die\:k-mal\:stetig\:differenzierbar\:sind} \right\}

(Siehe auch: Siehe auch: 2.c): glatt berandet )

Hier definieren wir die Maximum-Norm:

\left\| f \right\|_c  = \max \left| f \right|

und

{\left\| f \right\|_c} = \max \left| f \right|+\max \left| {{f^\prime }} \right|+ \ldots +\max \left| {{f^{\left( k \right)}}} \right|

d)

Warum C^k \left( {\overline \Omega  } \right) und nicht C^k \left( \Omega  \right) ?

Das liegt daran, dass Ω (evtl.) nicht abgeschlossen ist und daher das Problem auftaucht, eine Norm zu definieren.

Beispiel:

\frac{1} {{x^2 }}, \ldots ,\frac{1} {x} \in C\left( {\left] {0,1} \right[} \right)

In diesem Fall ist es nicht möglich, das Maximum explizit anzugeben, da die Intervallgrenzen des offenen Intervalls nicht mit enthalten sind.

e)

In endlichdimensionalen Räumen, wie dem \mathbb{R}^n gibt es immer ein Skalarprodukt.

In unendlichdimensionalen Räumen dagegen, gibt es nicht immer ein Skalarprodukt.

Im L^2 \left( \Omega  \right) lässt sich ein Skalarprodukt definieren als:

\left\langle {f,g} \right\rangle  = \int\limits_\Omega  {f\cdotgd\omega } < \infty

Dieses Skalarprodukt gibt es allerdings nur im L^2 \left( \Omega  \right). Für p \ne 2 gibt es kein Skalarprodukt in L^p \left( \Omega  \right).
Auch in C^k \left( {\overline \Omega  } \right) gibt es kein Skalarprodukt.

——
\mathcal{JK}

Ähnliche Artikel

Kommentar verfassen