.02.4 – gedämpft schwingende Drehscheibe

 

Eine um S drehbar gelagerte Scheibe (Masse m, Massenträgheitsmoment Θ = 0,5 m a2 ) ist durch eine Feder mit der Federkonstante c und einen geschwindigkeitsproportionalen Dämpfer mit der Dämpfungskonstante r wie skizziert in A gefesselt. Die Ausschlagserregung wirkt mit

y\left( t \right) = y_0 \cos \left( {\Omega t} \right)

auf den Fußpunkt B der Feder. Es sollen Schwingungen mit kleinen Auslenkungen angenommen werden.

Aufgabenstellung gedämpft schwingende Drehscheibe

Aufgaben:

  1. Man ermittle die Schwingungsdifferentialgleichung für φ(t)
  2. Wie groß ist die Eigenkreisfrequenz ωD der gedämpften bzw. ω1 der ungedämpften Schwingung?
  3. Wie lautet die allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung?
  4. Für r = 0 bestimme man mit dem Ansatz φp = A cos ( Ω t ) eine partikuläre Lösung der Differentialgleichung.

Gegeben: a = 0,1 m, m = 20 kg, c = 4000 N/m, r = 200 Ns/m, Ω = 10 s-1, y0 = 0,01 m

Lösung

Als erstes schneiden wir die Scheibe frei:

Freigeschnittenes schwingfähiges System

Schwerpunktsatz: entfällt, da sich die Scheibe bei kleinen Auslenkungen nur dreht und der Schwerpunkt keine translative Bewegung ausführt

Drallsatz:

\Theta \ddot \varphi  = F_c a-F_D a

Für die beiden auftretenden Kräfte gilt:

F_c  = \left( {y-x} \right)c

F_D  = r\dot x

Kinematische Beziehungen:

(Linearisierung wegen kleiner Auslenkung)

x = a\varphi

\dot x = a\dot \varphi

Einsetzen:

\Theta \ddot \varphi  = \left( {y-x} \right)ca-r\dot xa

\Theta \ddot \varphi  = \left( {y-a\varphi } \right)ca-ra^2 \dot \varphi

Umformen ergibt:

\Theta \ddot \varphi  = cay-ca^2 \varphi -ra^2 \dot \varphi

\Theta \ddot \varphi +ra^2 \dot \varphi +ca^2 \varphi  = cay

\ddot \varphi +\frac{{ra^2 }} {\Theta }\dot \varphi +\frac{{ca^2 }} {\Theta }\varphi  = \frac{{cay}} {\Theta }

Das Massenträgheitsmoment ist laut Aufgabenstellung

\Theta  = \frac{1} {2}ma^2

Eingesetzt:

\ddot \varphi +\frac{{ra^2 }} {{\frac{1} {2}ma^2 }}\dot \varphi +\frac{{ca^2 }} {{\frac{1} {2}ma^2 }}\varphi  = \frac{{cay}} {{\frac{1} {2}ma^2 }}

\ddot \varphi +2\frac{r} {m}\dot \varphi +2\frac{c} {m}\varphi  = 2\frac{c} {{ma}}y_0 \cos \left( {\Omega t} \right)

a )

Mit Konstanten lautet die Differentialgleichung:

\ddot \varphi +2\delta \dot \varphi +\omega _1^2 \varphi  = f_0 \cos \left( {\Omega t} \right)

b )

Koeffizientenvergleich ergibt:

\omega _1^2  = 2\frac{c} {m}\quad \quad  \Rightarrow \quad \quad \omega _1  = \sqrt {2\frac{c} {m}}  = 20\frac{1} {s}

\delta  = \frac{r} {m} = 10\frac{1} {s}

Die Kreisfrequenz des gedämpften Systems:

\omega _D  = \sqrt {\omega _1^2 -\delta ^2 }  = \sqrt {300}  \approx 17,32

c )

Homogene DGL:

\ddot \varphi +2\delta \dot \varphi +\omega _1^2 \varphi  = 0

Lösungsansatz und Ableitungen:

\varphi  = Ae^{-\alpha t}

\dot \varphi  = -\alpha Ae^{-\alpha t}

\ddot \varphi  = \alpha ^2 Ae^{-\alpha t}

Eingesetzt und aufgelöst:

\alpha ^2 Ae^{-\alpha t} -2\delta \alpha Ae^{-\alpha t} +\omega _1^2 Ae^{-\alpha t}  = 0

\alpha ^2 -2\delta \alpha +\omega _1^2  = 0

\alpha _{1,2}  = \delta  \pm \sqrt {\delta ^2 -\omega _1^2 }

Wir wissen, dass das System schwach gedämpft ist, die Wurzel ist daher negativ. Wir schreiben:

\alpha _{1,2}  = \delta  \pm \sqrt {\left( {\omega _1^2 -\delta ^2 } \right)\left( {-1} \right)}  = \delta  \pm i\sqrt {\omega _1^2 -\delta ^2 }

mit der Kreisfrequenz des gedämpften Systems:

\alpha _{1,2}  = \delta  \pm i\omega _D

In den Ansatz eingesetzt:

\varphi  = Ae^{-\left( {\delta  \pm i\omega _D } \right)t}

In trigonometrischer Schreibweise:

\varphi  = Ae^{-\delta t} e^{ \mp i\omega _D t}  = Ae^{-\delta t} \cos \left( {\omega _D t} \right) \mp Ae^{-\delta t} i\sin \left( {\omega _D t} \right)

Da das Problem nicht selbst komplex ist, sondern wir nur für die Berechnung den Umweg über die komplexen Zahlen gewählt haben, müssen wir das noch eine allgemeine reelle Lösung finden.
Dazu nehmen wir den Realteil (mit beliebiger Konstante) und addieren einen Imaginärteil (also entweder+oder -, wieder mit beliebiger Konstante und ohne das i):

\varphi  = A_1 e^{-\delta t} \cos \left( {\omega _D t} \right)+A_2 e^{-\delta t} \sin \left( {\omega _D t} \right) = e^{-\delta t} \left( {A_1 \cos \left( {\omega _D t} \right)+A_2 \sin \left( {\omega _D t} \right)} \right)

d )

Gesucht ist eine partikuläre Lösung für das ungedämpfte angeregte System.

DGL:

\ddot \varphi +\omega _1^2 \varphi  = f_0 \cos \left( {\Omega t} \right)

In der Aufgabenstellung vorgeschlagener Ansatz:

\varphi _p  = A\cos \left( {\Omega t} \right)

mit der zweiten Ableitung

\ddot \varphi _p  = -\Omega ^2 A\cos \left( {\Omega t} \right)

Einsetzen:

-\Omega ^2 A\cos \left( {\Omega t} \right)+\omega _1^2 A\cos \left( {\Omega t} \right) = f_0 \cos \left( {\Omega t} \right)

Ausklammern:

\cos \left( {\Omega t} \right)\left[ {-\Omega ^2 A+\omega _1^2 A-f_0 } \right] = 0

Im trivialen Fall ist die Anregungskraft (also der cosinus) konstant 0. Im nicht trivialen Fall ist die eckige Klammer gleich 0:

-\Omega ^2 A+\omega _1^2 A-f_0  = 0

A\left( {\omega _1^2 -\Omega ^2 } \right) = f_0

A = \frac{{f_0 }} {{\omega _1^2 -\Omega ^2 }}

Wir setzen die Konstante in den Ansatz ein:

\varphi _p  = A\cos \left( {\Omega t} \right) = \frac{{f_0 }} {{\omega _1^2 -\Omega ^2 }}\cos \left( {\Omega t} \right)