27 – Geradverzahnte Stirnradgetriebestufe

 

Für einen Antriebsstrang gemäß Schema ist das einstufige Stirnradgetriebe zu dimensionieren. Das Getriebe soll in Geradverzahnung und Nullverzahnung ausgeführt werden. Der Antrieb erfolgt über einen Elektromotor, abtriebsseitig ist mit mäßigen Stößen zu rechnen. Das Getriebe ist für den Dauerbetrieb auszulegen.

getriebe-antrieb-motor-kupplung

Gegeben

Antriebsleistung: P = 30kW
Antriebsdrehzahl: {n_1} = 940{\min ^{-1}}
Soll-Abtriebsdrehzahl: {n_2} = 200{\min ^{-1}} \pm 0,5\%
Eingriffswinkel: \alpha = 20^\circ

Aufgaben

27.1 – Legen Sie die Ritzelzähnezahl fest und bestimmen Sie die Zähnezahl des Rades.
27.2 – Bestimmen Sie Modul, Teilkreisdurchmesser und Breite der beiden Zahnräder
27.3 – Ermitteln Sie die Drehmomente und Kräfte an den beiden Zahnrädern
27.4 – Wählen Sie auf Grundlage der Zahnfuß- und Grübchentragfähigkeit geeignete Zahnradwerkstoffe aus.

Lösung

27.1 – Anzahl der Zähne

Für eine Übersetzung mit dem Übersetzungsverhältnis i gilt allgemein:

i = \frac{{{n_{an}}}}{{{n_{ab}}}} = \frac{{{z_{ab}}}}{{{z_{an}}}}

mit den Drehzahlen n und den Zähnezahlen z.

Für das Zähnezahlverhältnis gilt allgemein:

u = \frac{{{z_{gross}}}}{{{z_{klein}}}} \geq 1

Bei Übersetzung ins Langsame ist i = u, ansonsten i = {u^{-1}}.

Für die Sollübersetzung gilt:

{i^\prime } = \frac{{{n_1}}}{{n_2^\prime }} = \frac{{940}}{{200}} = 4,7

Da wir die Zähnezahl bestimmen sollen, nutzen wir, dass gleichzeitig gilt:

{i^\prime } = \frac{{z_2^\prime }}{{{z_1}}}

Bei dem gegebenen Eingriffswinkel von 20° ist die Grenzzähnezahl 17 (braucht man mindestens), man kann diesen Wert durch konstruktive Maßnahmen bis auf 14 reduzieren (12 laut [RM]). Je mehr Zähne man verwendet, desto ruhiger ist der Lauf, desto höher ist aber auch die Empfindlichkeit. Zähnezahlen sollten keinen gemeinsamen Teiler haben, um stellenweise Abnutzung zu verhindern, daher sind Primzahlen ideal.

Hier nun eine Tabelle mit Richtwerten für die Ritzelzähnezahl abhängig von den Anforderungen an das Getriebe:

ritzelzahnezahl-anforderungen-getriebe

Da in der Aufgabenstellung nichts weiter angegeben ist, nehmen wir an, dass die Zahnfußtragfähigkeit und die Grübchentragfähigkeit ausgeglichen sind. Die Ritzelzähnezahl sollte also im Bereich [20, 30] liegen. Da unsere Drehzahl mit 940 kleiner ist als 1000, müssen wir den unteren Bereich dieses Intervalls wählen.

Ein anderes Kriterium wäre die Wärmebehandlung und die Übersetzung. Wir betrachten folgende Tabelle:

ritzelzahnezahl-warmebehandlung-ubersetzung

Wenn wir von einem einsatzgehärteten Zahnrad und einem Übersetzungsverhältnis von 4 ausgehen, erhalten wir das Intervall [16, 25], wobei wir wieder den unteren Bereich wählen müssen.

Da wir uns für eine Primzahl entscheiden sollten, kommen die Zähnezahlen 19 und 23 in Frage. Wir nehmen 19, da dies eher im unteren Bereich des Intervalls liegt.

Damit können wir die erforderliche Zähnezahl des Rades bestimmen:

z_2^\prime = {i^\prime } \cdot {z_1} = 4,7 \cdot 19 = 89,3

Wir wählen die Primzahl 89. Damit bestimmen wir die tatsächliche Übersetzung:

i = \frac{{{z_2}}}{{{z_1}}} = \frac{{89}}{{19}} = 4,684

Die tatsächliche Abtriebsdrehzahl ist damit:

{n_2} = \frac{{{n_1}}}{i} = 200,68\frac{1}{\min }\quad \Rightarrow \quad in Ordnung!

27.2 – Modul, Teilkreisdurchmesser und Breite

Erläuterung der Begriffe:

Bei dem Modul handelt es sich um eine wichtige Bezugsgröße bei Verzahnungen. Alle Abmessungen des Profils werden als Faktoren des Moduls angegeben. Der Modul gibt damit also die Größenkategorie des Zahnrads an. Ausschließlich Zahnräder mit gleichem Modul können miteinander kombiniert werden. Verändert man bei einem Zahnrad den Modul, erhält man ein geometrisch ähnliches Zahnrad.
Bei der Verwendung von Zahnrädern sind zwei Durchmesser besonders wichtig: Der Außendurchmesser und der Arbeitsdurchmesser. Der Außendurchmesser bestimmt den Platzbedarf des Zahnrades. Er wird in der Fachsprache oft Kopfkreisdurchmesser genannt. Der Arbeitsdurchmesser bestimmt den Abstand der Achsen zweier Zahnräder. Er ist der Kopfkreisdurchmesser, abzüglich des Teils, den die Zahnräder im eingebauten Zustand ineinander geschoben sind. Der Arbeitsdurchmesser wird in Zeichnungen mit einer gestrichelten Linie gekennzeichnet und oft auch Teilkreisdurchmesser genannt.

Vorgehen:

Da wir überhaupt keine Angaben haben, müssen wir zunächst den Wellendurchmesser bestimmen. Daraus können wir einen Richtwert für den Modul bestimmen, dann in einer Tabelle einen ähnlichen suchen. Daraus bestimmen wir dann den Teilkreisdurchmesser und die Zahnbreite.

Antriebsmoment:

{M_{an}} = \frac{P}{{2\pi {n_1}}} (wenn die Drehzahl in s-1 angegeben ist)

{M_{an}} = \frac{{P \cdot 30}}{{\pi {n_1}}} (wenn die Drehzahl in min-1 angegeben ist)

Einsetzen der Leistung und Drehzahl:

{M_{an}} = \frac{{30 \cdot {{10}^3}W \cdot 30s}}{{\pi \cdot 940}} = 305Nm = 305 \cdot {10^3}Nmm

Richtdurchmesser für die Ritzelwelle:

{d_{erf}} = \sqrt[3]{{\frac{{16 \cdot {M_{an}}}}{{\pi \cdot {\tau _{zul}}}}}}

Wir betrachten die folgende Übersicht:

Erfahrungswerte für zulässige Spannungen bei der Dimensionierung

Die zulässigen Spannungen sind abhängig von der vorliegenden Belastung.

Es liegt nur Biegung vor: {\sigma _{zul}} = \frac{{{\sigma _{D,N}}}}{{4 \ldots 5}},\quad {\sigma _{D,N}} = {\sigma _{bW,N}},{\sigma _{bSch,N}}

Es liegt annähernd nur Torsion vor: {\tau _{zul}} = \frac{{{\tau _{D,N}}}}{{4 \ldots 5}},\quad {\tau _{D,N}} = {\tau _{tW,N}},{\tau _{tSch,N}}

Es liegt Biegung und Torsion vor

Biegung und Torsion näher bekannt: {\sigma _{zul}} = \frac{{{\sigma _{D,N}}}}{{4 \ldots 5}}

Lediglich Torsion näher bekannt: {\tau _{zul}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{\tau _{D,N}}}}{{6 \ldots 7}}} & {f\ddot ur\:\:{M_b} \approx {M_t}} \\{\frac{{{\tau _{D,N}}}}{{12 \ldots 14}}} & {f\ddot ur\:\:{M_b} \approx 2{M_t}} \\ \end{array} } \right.

In unserem Fall liegt Biegung und Torsion vor. Die Torsion erfolgt durch das Zahnrad. Durch das Gewicht des Ritzels haben wir auch eine Durchbiegung. Da wir überhaupt nichts über die Durchbiegung wissen, nehmen wir den höheren Wert für die Sicherheit (also 12 statt 6):

{\tau _{zul}} = \frac{{{\tau _{t,sch}}}}{{12}}

An dieser Stelle brauchen wir also einen Werkstoff, dessen Kennwert wir benutzen können. Wir betrachten die Tabelle mit Festigkeitskennwerten von Vergütungsstählen für die Normabmessung {d_N} = 16mm:

festigkeitswerte-vergutungsstahl-schwingfest

Die Auswahl des Werkstoffes erfordert in der Vorlesung nicht vermitteltes Fachwissen. Diese Auswahl wäre daher in der Klausur vorgegeben.
Gewählter Werkstoff: 42CrMo4 (wird sowohl für Zahnräder als auch für Wellen verwendet).

Es gibt zwei Möglichkeiten, ein Ritzel zu fertigen. Es kann entweder als Ritzelwelle (aus Welle rausgefräst) hergestellt werden, oder mit Passfeder. Wir nutzen hier eine Ritzelwelle, daher haben Welle und Ritzel den gleichen Werkstoff. Es ergibt sich ein Wert von:

{\tau _{t,sch}} = 560\frac{N}{{m{m^2}}}

Daraus folgt für den erforderlichen Wellendurchmesser:

{d_{erf}} = \sqrt[3]{{\frac{{16 \cdot 305 \cdot {{10}^3}Nmm \cdot 12}}{{\pi \cdot 560\frac{N}{{m{m^2}}}}}}} = 32mm

Diese Formel gilt sowohl für schrägverzahnte, als auch für stirnverzahnte Getriebe.

Wir wählen nun den Modul. Richtwert:

m_n^\prime = \frac{{1,1 \cdot {d_{erf}} \cdot \cos \beta }}{{{z_1}-2,5}}

(Formel für Ritzelwelle aus [RM])

\beta ist der Schrägungswinkel (bei gerader Verzahnung ist dieser Winkel 0, der Kosinus ist dann 1):

geradverzahnung-schragverzahnung

Erläuterung der Indizes:

t: Stirnschnitt senkrecht zu Radachse (bei Geradverzahnung das gleiche wie n)
n: Normalschnitt senkrecht zu Flankenlinie

Wir rechnen hier mit einer Geradverzahnung, daher ist:

m_n^\prime = \frac{{1,1 \cdot 32mm \cdot 1}}{{19-2,5}} = 2,13mm

Da Moduln genormt sind, müssen wir nun einen finden, der nahe an diesem Sollwert liegt. Wir betrachten dazu die folgende Tabelle (Normmodule Stirnräder nach DIN 780):

norm-moduln-din780-stirnrad

Reihe 1 ist gegenüber Reihe 2 zu bevorzugen. Wir wählen 2.5, da das Zahnrad dann stabiler wird:

{m_n} = 2,5mm

Damit können wir nun den Teilkreisdurchmesser bestimmen.

Ritzel: {d_1} = {z_1}{m_n} = 19 \cdot 2,5 = 47,5mm
Rad: {d_2} = {z_2}{m_n} = 89 \cdot 2,5 = 222,5mm

Es bleibt nun noch die Breite der Zahnräder zu bestimmen. Dabei gibt es verschiedene Dinge, die beachtet werden müssen. Zum einen ist relevant, wie die Lager realisiert sind und wie die Zahnräder Wärmebehandelt sind:

lager-realisierung-warmebehandlung-breite

Wir treffen folgende Annahmen:

  • Symmetrische Lagerung
  • Ritzel ist flamm- und induktionsgehärtet

Daraus folgt für das Durchmesser-Breiten-Verhältnis des Ritzels:

{\psi _d} = \frac{{b_1^\prime }}{d} \leq 1,1\quad \Rightarrow \quad b_1^\prime \leq 1,1 \cdot {d_1} = 52,25mm

Es spielt außerdem noch eine Rolle, wie die Lagerung ausgeführt ist. Hierzu betrachten wir die folgende Tabelle:

modul-breiten-verhaltnis-ausfuhrung-lagerung

Wir treffen folgende Annahme:

  • Gute Lagerung im Gehäuse

Daraus folgt für das Modul-Breitenverhältnis:

{\psi _m} = \frac{{b_1^{\prime \prime }}}{m} = \left[ {20 \ldots 30} \right]\quad \Rightarrow \quad b_1^{\prime \prime } = m \cdot \left[ {20 \ldots 30} \right] = \left[ {2,5 \cdot 20 \ldots 2,5 \cdot 30} \right] = \left[ {50 \ldots 75} \right]

Der untere Bereich erfüllt noch die geforderte Bedingung b_1^\prime \leq 52,25mm.

Wir wählen b = 50mm.

27.3 – Drehmomente und Kräfte

Wir gehen hier vereinfachend davon aus, dass der Wirkungsgrad des Getriebes 100\% ist.

Antriebsmoment (in Teilaufgabe 27.2 bereits berechnet):

{M_{an}} = 305Nm

Das Abtriebsmoment ergibt sich aus dem Übersetzungsverhältnis:

{M_{ab}} = i \cdot {M_{an}} = 4,68 \cdot 305Nm = 1427Nm

Aus den Momenten können wir nun die Kräfte berechnen.

Umfangskraft (Formeln finden sich im Skript):

{F_t} = \frac{{{M_t}}}{r} = \frac{{2{M_t}}}{d}

Index 1 steht immer für das Ritzel, 2 immer für das Rad.

{F_{t1}} = \frac{{2{M_{an}}}}{{{d_1}}} = 12,8kN

{F_{t2}} = \frac{{2{M_{ab}}}}{{{d_2}}} = 12,8kN

Die Durchmesser sind hier die Teilkreisdurchmesser des Ritzels bzw. des Rades. Es ist logisch, dass die beiden Kräfte gleich sind, da keine Kraft bei der Übertragung verloren geht.

Radialkraft (Formeln im Skript):

{F_r} = {F_t}\tan \alpha

Der Winkel \alpha ist der Eingriffswinkel. Gegeben: \alpha = 20^\circ

{F_{r1}} = 12,8kN \cdot \tan 20^\circ = 4,66kN

{F_{r2}} = 12,8kN \cdot \tan 20^\circ = 4,66kN

27.4 – Auswahl geeigneter Werkstoffe

Der Werkstoff ist von zwei Größen abhängig:
1. erforderlich zulässige Zahnfußspannung
2. erforderlich zulässige Flankenpressung

Die beiden Größen hängen von vielen Konstanten ab. Es folgt eine Übersicht, in der der Rechenweg zusammengefasst wird. Dabei steht links die zu berechnende Größe und nach rechts die Aufspaltung, bis hin zu den Größen ganz rechts, die entweder in der Aufgabenstellung gegeben, schon berechnet oder in einem Diagramm zu finden sind.

erforderlich zulässige Zahnfußspannung:

\sigma _{F,zul}^{\prime}\quad \Leftarrow \quad \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\sigma _F}\quad \Leftarrow \quad \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\sigma _{F0}}\quad \Leftarrow \quad \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{F_t}} \\ b \\{{m_n}} \\{{Y_{FS}}} \\{{Y_\varepsilon }\quad \Leftarrow \quad {\varepsilon _{\alpha n}}\quad \Leftarrow \quad \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{P_{et}}\quad \Leftarrow \quad \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{m_n}} \\{{\alpha _n}} \\ \end{array} } \right.} \\{{d_{a1,2}}\quad \Leftarrow \quad \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} d \\{{m_n}} \\{{h_{aP}}} \\ x \\ k \\ \end{array} } \right.} \\{{d_{b1,2}}\quad \Leftarrow \quad \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} d \\{{\alpha _t}} \\ \end{array} } \right.} \\{{z_2}} \\{a\quad \Leftarrow \quad \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{d_1}} \\{{d_2}} \\ \end{array} } \right.} \\{{\alpha _{\omega t}}} \\ \end{array} } \right.} \\{{Y_\beta }} \\ \end{array} } \right.} \\{{K_{ges}}\quad \Leftarrow \quad \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{K_A}} \\{{K_V}\quad \Leftarrow \quad \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{K_1}} \\{{K_2}} \\{{K_3}\quad \Leftarrow \quad \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{z_1}} \\ v \\ u \\ \end{array} } \right.} \\{{K_A}} \\{{F_t}} \\ b \\ \end{array} } \right.} \\{{K_{F\alpha }}} \\{{K_{F\beta }}} \\ \end{array} } \right.} \\ \end{array} } \right.} \\{{S_{F,\min }}} \\ \end{array} } \right.

erforderlich zulässige Flankenpressung:

p_{zul}^{\prime}\quad \Leftarrow \quad \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\sigma _H}\quad \Leftarrow \quad \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\sigma _{H0}}\quad \Leftarrow \quad \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{F_t}} \\ b \\{{d_1}} \\ u \\{{Z_H}} \\{{Z_E}} \\{{Z_\varepsilon }} \\{{Z_\beta }} \\ \end{array} } \right.} \\{{K_{Hges}}\quad \Leftarrow \quad \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{K_A}} \\{{K_V}\quad \Leftarrow \quad \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{K_1}} \\{{K_2}} \\{{K_3}\quad \Leftarrow \quad \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{z_1}} \\ v \\ u \\ \end{array} } \right.} \\{{K_A}} \\{{F_t}} \\ b \\ \end{array} } \right.} \\{{K_{H\alpha }}} \\{{K_{H\beta }}} \\ \end{array} } \right.} \\ \end{array} } \right.} \\{{S_{H,\min }}} \\ \end{array} } \right.

Übersicht Variablenbezeichnungen (alphabetisch):

a: Achsabstand, kann durch Profilverschiebung variieren

{a_d}: Nullachsabstand, wenn es keine Profilverschiebung gibt, oder wenn ausgeglichen

{\alpha _n}: Normaleingriffswinkel, laut Aufgabenstellung 20°

{\alpha _t}: Stirneingriffswinkel

{\alpha _{wt}}: Betriebseingriffswinkel

\beta: Schrägungswinkel am Teilzylinder, genormt durch DIN 3978, bei Geradverzahnung 0°

b: Breite der Räder

{d_1},{d_2}: Teilkreisdurchmesser von Ritzel und Rad

{d_{a1}},{d_{a2}}: Kopfkreisdurchmesser von Ritzel und Rad

{d_{b1}},{d_{b2}}: Grundkreisdurchmesser von Ritzel und Rad

{\varepsilon _\gamma }: Gesamtüberdeckung, {\varepsilon _\gamma } = {\varepsilon _\alpha }+{\varepsilon _\beta }

{\varepsilon _\alpha }: Profilüberdeckung

{\varepsilon _\beta }: Sprungüberdeckung, ergibt sich durch schraubenförmige Anordnung der Zähne

{F_t}: Tangentialkraft, oben als Umfangskraft bezeichnet

{h_{aP}}: Kopfhöhe der Zähne (von Teilkreis bis Kopfkreis), ist im Normalfall gleich dem Modul

{h_f}: Fußhöhe (vom Fußkreis bis zum Teilkreis)

k: Kopfkürzungsfaktor (folgt aus Profilverschiebung)

{K_A}: Anwendungsfaktor, von Stößen abhängig, aus Diagramm ablesen

{K_{ges}}: Gesamteinflussfaktor

{K_V}: Dynamikfaktor, aus Diagramm ablesen

{K_{F\alpha }}: Stirnfaktor für Zahnfußnennspannung, aus Diagramm ablesen

{K_{F\beta }}: Breitenfaktor, folgt aus Fehlern in der Verzahnung. In der Übung immer 1

{K_{H\alpha }}: Stirnfaktor für Flankenpressung, aus Diagramm ablesen

{K_{H\beta }}: Breitenfaktor, folgt aus Fehlern in der Verzahnung. In der Übung immer 1

{K_1}: Hilfsfaktor, von Verzahnungsqualität abhängig

{K_2}: Hilfsfaktor, von Verzahnung abhängig

{K_3}: zusammengefasster Hilfsfaktor

{m_n}: Normmodul

{p_t}: Stirnteilung, {p_t} = {m_t} \cdot \pi = \frac{{{m_n}}}{{\cos \beta }} \cdot \pi

{p_{et}}: Stirneingriffsteilung, {p_{et}} = {p_t}\cos {\alpha _t}

{p_n}: Normalteilung, {p_n} = {m_n} \cdot \pi

{p_{en}}: Normaleingriffsteilung, {p_{en}} = {p_n}\cos {\alpha _n}

{S_{F,\min }}: Mindestsicherheit gegen Zahnbruch

{S_{H,\min }}: Mindestsicherheit gegen Grübchenbildung

\sigma _{F,zul}^{\prime}: erforderlich zulässige Zahnfußspannung

{\sigma _F}: überhöhte Zahnfußnennspannung

{\sigma _{F0}}: Zahnfußnennspannung

u: Zähnezahlverhältnis u = \frac{{{z_{gross}}}}{{{z_{klein}}}} \geq 1, oben schon berechnet

v: Umfangsgeschwindigkeit v = d\pi n, muss noch bestimmt werden

x: Profilverschiebungsfaktor

{Y_{FS}}: Kopffaktor für Außenverzahnung nach DIN 3990, aus Diagramm

{Y_\varepsilon }: Profilüberdeckungsfaktor, rechnet Kraftangriffspunkt um, aus Diagramm ablesen

{Y_\beta }: Schrägungsfaktor, {Y_\beta } = 1-{\varepsilon _\beta } \cdot \frac{\beta }{{120^\circ }}, ist bei Geradverzahnung 1

{z_1}: Zähnezahl des Ritzels

{z_2}: Zähnezahl des Rades

{z_n}: Ersatzzähnezahl

{Z_H}: Zonenfaktor, nach DIN 3990, aus Diagramm ablesen

{Z_E}: Elastizitätsfaktor, nach DIN 3990, materialabhängig, aus Diagramm ablesen

{Z_\varepsilon }: Überdeckungsfaktor, nach DIN 3990, aus Diagramm ablesen

{Z_\beta }: Schrägungsfaktor, {Z_\beta } = \sqrt {\cos \left( \beta \right)}, ist bei Geradverzahnung 1

Wir berechnen als erstes die Zahnfußnennspannung (Formel aus [RM]):

{\sigma _{F0}} = \frac{{{F_t}}}{{b \cdot {m_n}}}\underbrace {{Y_{Fa}} \cdot {Y_{Sa}}}_{{Y_{FS}}} \cdot {Y_\varepsilon } \cdot {Y_\beta }

Man kann die Werte der Konstanten Y auch analytisch bestimmen, dies kostet jedoch in der Klausur zu viel Zeit.

Die beiden Werte {Y_{Fa}} und v (Formfaktor für Kraftangriff am Kopf und Spannungskorrekturfaktor) können zu einem Wert zusammengefasst werden. Man muss dann ein Diagramm weniger benutzen und spart sich Zeit beim Nachschlagen.

Kopffaktor:

Wir betrachten das folgende Diagramm (Kopffaktor für Außenverzahnung nach DIN 3990)

kopffaktor-yfs

Um einen Wert abzulesen, brauchen wir die die Zähnezahl z und den Profilverschiebungsfaktor x. Da wir ohne Profilverschiebung rechnen, ist x = 0.

Kopffaktor Ritzel ({z_1} = 19): {Y_{FS1}} = 4,58

Kopffaktor Rad ({z_1} = 89): {Y_{FS2}} = 4,13

(ja, die Werte sind in dem Diagramm nicht besonders genau abzulesen…)

Profilüberdeckungsfaktor:

Diesen können wir mit einer Formel aus [RM] berechnen:

{Y_\varepsilon } = 0,25+\frac{{0,75}}{{{\varepsilon _\alpha }}}

Wir müssen also zunächst die Profilüberdeckung bestimmen:

{\varepsilon _\alpha } = \frac{1}{{{p_{et}}}} \cdot \left( {\sqrt {{{\left( {\frac{{{d_{a1}}}}{2}} \right)}^2}-{{\left( {\frac{{{d_{b1}}}}{2}} \right)}^2}} +\frac{{{z_2}}}{{\left| {{z_2}} \right|}}\sqrt {{{\left( {\frac{{{d_{a2}}}}{2}} \right)}^2}-{{\left( {\frac{{{d_{b2}}}}{2}} \right)}^2}} -a\sin \left( {{\alpha _{\omega t}}} \right)} \right)

Stirneingriffsteilung bei Geradverzahnung:

{p_{et}} = {p_{en}} = {m_n}\pi \cos \left( {{\alpha _n}} \right) = 7,38mm

Nun brauchen wir die Kopfkreisdurchmesser und Grundkreisdurchmesser.

Kopfkreisdurchmesser:

{d_a} = d+2{m_n}\left( {\frac{{{h_{aP}}}}{{{m_n}}}+x+k} \right)

Dabei ist die Zahnkopfhöhe {h_{aP}} = {m_n} und der Profilverschiebungsfaktor wieder 0. Auch eine Kopfhöhenänderung gibt es nur, wenn Profilverschiebung vorliegt, es ist also k = 0.

Daraus folgt für die Kopfkreisdurchmesser:

{d_{a1}} = {d_1}+2{m_n} = 52,5mm

{d_{a2}} = {d_2}+2{m_n} = 227,5mm

Grundkreisdurchmesser:

Wir nutzen die Formel

{d_b} = d\cos \left( {{\alpha _t}} \right)

Bei Geradverzahnung ist der Stirneingriffswinkel gleich dem Normaleingriffswinkel, der in der Aufgabenstellung gegeben ist: {\alpha _t} = {\alpha _n} = 20^\circ

Daraus folgt für die Grundkreisdurchmesser:

{d_{b1}} = {d_1}\cos \left( {{\alpha _n}} \right) = 44,6mm

{d_{b2}} = {d_2}\cos \left( {{\alpha _n}} \right) = 209,1mm

Betriebseingriffswinkel:

Bei Nullverzahnung gilt:

{\alpha _{\omega t}} = {\alpha _t}

Wenn außerdem eine Geradverzahnung vorliegt (wie im Fall dieser Aufgabe), gilt

{\alpha _{\omega t}} = {\alpha _n}

Der Achsabstand ist bei Nullverzahnung gleich dem Nullachsabstand:

a = {a_d} = \frac{{{d_1}+{d_2}}}{2} = 135mm

Damit folgt für die Profilüberdeckung:

{\varepsilon _\alpha } = \frac{1}{{{p_{et}}}} \cdot \left( {\sqrt {{{\left( {\frac{{{d_{a1}}}}{2}} \right)}^2}-{{\left( {\frac{{{d_{b1}}}}{2}} \right)}^2}} +\frac{{{z_2}}}{{\left| {{z_2}} \right|}}\sqrt {{{\left( {\frac{{{d_{a2}}}}{2}} \right)}^2}-{{\left( {\frac{{{d_{b2}}}}{2}} \right)}^2}} -a\sin \left( {{\alpha _{\omega t}}} \right)} \right)

{\varepsilon _\alpha } = 1,69

Es muss gelten:

{\varepsilon _\alpha } > 1,1, oder besser {\varepsilon _\alpha } > 1,25

Unser Wert ist also mit 1,69 auf jeden Fall in Ordnung.

Wir erhalten für den Profilüberdeckungsfaktor:

{Y_\varepsilon } = 0,25+\frac{{0,75}}{{{\varepsilon _\alpha }}} = 0,69

Der Stirnfaktor ist bei Geradverzahnungen gleich 1: {Y_\beta } = 1,0

Es folgt für die Zahnfußnennspannungen:

{\sigma _{FS1}} = 324\frac{N}{{m{m^2}}}

{\sigma _{FS2}} = 292\frac{N}{{m{m^2}}}

Überhöhte Zahnfußnennspannung:

{\sigma _F} = {\sigma _{F0}} \cdot {{\text{K}}_{ges}} = {\sigma _{F0}} \cdot {{\text{K}}_A} \cdot {{\text{K}}_V} \cdot {K_{F\alpha }} \cdot {K_{F\beta }}

Wir betrachten nun die einzelnen Faktoren.

Anwendungsfaktor:

Hier brauchen wir die folgende Tabelle:

anwendungsfaktor-ka

Relevant ist also, wie stark die Stöße von Antrieb und Arbeitsmaschine sind. In unserem Fall arbeitet die Antriebsmaschine gleichmäßig, die Arbeitsweise ist in der Aufgabenstellung gegeben als „es ist mit mäßigen Stößen zu rechnen“. Daraus folgt:

{K_A} = 1,25

Dynamikfaktor:

Die Formel für den Dynamikfaktor lautet:

{K_V} = 1+\left( {\frac{{{K_1}}}{{{K_A} \cdot \left( {\frac{{{F_t}}}{b}} \right)}}+{K_2}} \right) \cdot \underbrace {\frac{{{z_1} \cdot v}}{{100}} \cdot \sqrt {\frac{{{u^2}}}{{\left( {1+{u^2}} \right)}}} }_{{K_3}}

Um die Hilfsfaktoren {K_1} und {K_2} zu bestimmen, betrachten wir folgende Tabelle:

hilfsfaktoren-k1-k2

Mit einer Geradverzahnung der Verzahnungsqualität DIN IT7 erhalten wir

{K_1} = 15,3

{K_2} = 0,0193

Für den Hilfsfaktor {K_3} müssen wir noch die Umfangsgeschwindigkeit bestimmen:

v = \frac{{{d_1}}}{2} \cdot 2\pi \cdot n = 2,3\frac{m}{s}

Damit wir diese Berechnungsmethode (Methode C im Skript) anwenden können, muss gelten:

{K_3} \leq 10\frac{m}{s}

{K_3} = \frac{{19 \cdot 2,3\frac{m}{s}}}{{100}} \cdot \sqrt {\frac{{{{4,49}^2}}}{{\left( {1+{{4,49}^2}} \right)}}} = 0,43\frac{m}{s} \leq 10\frac{m}{s}\quad \Rightarrow \quad in Ordnung!

Linienbelastung:

{p_L} = {K_A} \cdot \frac{{{F_t}}}{b} = 1,25 \cdot \frac{{12,8 \cdot {{10}^3}N}}{{50mm}} = 320\frac{N}{{mm}}

damit folgt für den Dynamikfaktor:

{K_V} = 1+\left( {\frac{{{K_1}}}{{{p_L}}}+{K_2}} \right) \cdot {K_3} = 1,03

Stirnfaktor:

Wir betrachten folgende Tabelle:

stirnfaktor-kha-kfa

Bei einer Geradverzahnung mit DIN IT7 erhalten wir:

{K_{F\alpha }} = 1,0

Breitenfaktor:

{K_{F\beta }} = 1,0 für fehlerfreie Verzahnung, wovon wir in dieser Übung ausgehen und das auch im Rahmen der Vorlesung weiter beibehalten. In der Praxis wird über diesen Faktor z.B. der Verschleiß der Zahnräder und die damit verbunden Änderung in der Mechanik (die Kraft ist z.B. nicht über die komplette Fläche verteilt, …) mit einbezogen.

Gesamteinflussfaktor:

{K_{F,ges}} = {K_A} \cdot {{\text{K}}_V} \cdot {K_{F\alpha }} \cdot {K_{F\beta }} = 1,29

damit ist die erhöhte Zahnfußspannung:

{\sigma _F}_1 = 418\frac{N}{{m{m^2}}}

{\sigma _F}_2 = 377\frac{N}{{m{m^2}}}

Mindestsicherheit gegen Zahnbruch:

{S_F} = \left( 1 \right) \ldots 1,4 \ldots 1,6 aus Roloff Matek.

Wir wählen:

{S_{F\min }} = 1,5

Damit erhalten wir eine erforderlich zulässige Zahnfußspannung

für das Ritzel: {\sigma ^\prime }_{F1zul} = {S_{Fmin}} \cdot {\sigma _{{F_1}}} = 627\frac{N}{{m{m^2}}}
für das Rad: {\sigma ^\prime }_{F2zul} = 567\frac{N}{{m{m^2}}}

erforderlich zulässig meint hier, dass dies die Mindestwerte sind, die der gewählte Werkstoff aushalten muss, um unseren Ansprüchen zu genügen.

Wir berechnen jetzt noch die Grübchentragfähigkeit, danach können wir dann den Werkstoff auswählen.

Nominelle Flankenpressung:

{\sigma _{H0}} = \sqrt {\frac{{{F_t}}}{{b \cdot {d_1}}}\cdot\frac{{u+1}}{u}} \cdot {Z_H} \cdot {{\text{Z}}_E} \cdot {{\text{Z}}_\varepsilon } \cdot {Z_\beta }

Zonenfaktor:

Wir betrachten das folgende Diagramm:

zonenfaktor-zh

Da wir keine Profilverschiebung haben, ist \beta = 0^\circ und {x_1}+{x_2} = 0. Daraus folgt:

{Z_H} = 2,5

Elastizitätsfaktor:

Wir betrachten folgende Tabelle:

elastizitatsfaktor-ze

Für eine Stahl/Stahl Kombination gilt:

{Z_E} = 189,8\sqrt {\frac{N}{{m{m^2}}}}

Überdeckungsfaktor:

Wir betrachten folgendes Diagramm:

profiluberdeckungsfaktor-ze

Wir brauchen also {\varepsilon _\alpha } und {\varepsilon _\beta }, also die Profilüberdeckung und die Sprungüberdeckung.

{\varepsilon _\alpha } haben wir oben berechnet: {\varepsilon _\alpha } = 1,69

Für {\varepsilon _\beta } gilt:

{\varepsilon _\beta } = \frac{{b \cdot \sin \left( {\left| \beta \right|} \right)}}{{{m_n} \cdot \pi }} = 0 für \beta = 0^\circ

Wir erhalten:

{Z_\varepsilon } = 0,88

Schrägungsfaktor:

{Z_\beta } = \sqrt {\cos \left( \beta \right)} = 1,0

damit können wir nun die nominelle Flankenpressung berechnen:

{\sigma _{H0}} = \sqrt {\frac{{{F_t}}}{{b \cdot {d_1}}}+\frac{{u+1}}{u}} \cdot {Z_H} \cdot {{\text{Z}}_E} \cdot {{\text{Z}}_\varepsilon } \cdot {Z_\beta } = 1068\frac{N}{{m{m^2}}}

Jetzt brauchen wir noch die überhöhte Flankenpressung.

{\sigma _H} = {K_{Hges}} \cdot {\sigma _{H0}} = \sqrt {{K_A} \cdot {{\text{K}}_V} \cdot {{\text{K}}_{H\alpha }} \cdot {K_{H\beta }}} \cdot {\sigma _{H0}}

Stirnfaktor:

{K_{H\alpha }} = 1,0 (aus dem gleichen Diagramm wie der Stirnfaktor für die Zahnfußspannung)

Breitenfaktor:

{K_{H\beta }} = 1,0 (ist immer 1)

Gesamteinflussfaktor:

{K_{Hges}} = \sqrt {1,29} = 1,14

Damit folgt für die überhöhte Flankenpressung:

{\sigma _H} = {K_{Hges}} \cdot {\sigma _{H0}} = 1213\frac{N}{{m{m^2}}}

Mindestsicherheit gegen Grübchenbildung:

laut Roloff Matek ist die geforderte Sicherheit:

{S_{Hmin}} = \left( 1 \right) \ldots 1,3

Wir wählen: {S_{H,min}} = 1,2

Damit haben wir die erforderlich zulässige Flankenpressung:

{p^\prime }_{zul} = {S_{Hmin}} \cdot {\sigma _H} = 1,2 \cdot {\text{1213}}\frac{N}{{m{m^2}}} = 1455,6\frac{M}{{m{m^2}}}

Mit diesen Werten können wir nun den Werkstoff auswählen.

Wir wählen anhand der Tabelle „Ertragbare Zahnfußbiegespanungen und Hertzsche Pressung an der Zahnflanke“:

ertragbare-spannunge-herzsche-pressung

Aufgrund Daten in der Hertzschen Pressung können wir die Auswahl schon auf die drei Werkstoffe, Nummer 30-32 eingrenzen. Nach Betrachtung der anderen Werte benutzten wir dann die Nummer 30, einen Einsatzstahl nach DIN 17210, 16MnCr5, welcher einsatzgehärtet ist.

{p_{zul}} = 1470\frac{N}{{m{m^2}}} und {\sigma _{zul}} = 860\frac{N}{{m{m^2}}}

Dieses Verfahren an sich ist sehr ungenau gewesen, deswegen mussten sehr viele Sicherheitsfaktoren eingesetzt werden. Auch müsste noch überprüft werden, ob die ausgewählte Welle mit diesem Zahnrad überhaupt zusammenpasst.

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12 Kommentare zu “27 – Geradverzahnte Stirnradgetriebestufe”

Die wohl längste Aufgabe des Universums :D

Autsch :D Wer sagt den Maschinenelemente macht keinen Spass?

Sobald ich in der Klausur sowas wie 27.4 lese, steh ich auf und kack vor Freude in die Ecke.

Update: Bei der Berechnung von K3 war beim Einsetzen von u=4,49 ein Tippfehler übersehen worden. Wurde korrigiert.

    \[\alpha_{wt}=\alpha_n\]

gilt nur bei Geradverzahnung. Bei Nullverzahnung gilt:

    \[\alpha_{wt}=\alpha_t\]

.
Macht in diesem Fall zwar nichts, weil es Null- und Geradverzahnung ist, aber z.B. in der Musterklausur klappts so nicht mehr. :-)

Fehler bei der Formel für die nominelle Flankenpressung: Unter der Wurzel steht ein Produkt, keine Summe.
Zum Vergleich die Instituts-Formelsammlung unter 4.2.1

@ Student & Student 2:
Danke, habe beides korrigiert.

Was ist mit den Lagern für die Welle?

27.2 – Modul, Teilkreisdurchmesser und Breite

Bei der Berechnung des Richtdurchmessers der Antriebwelle:

{\tau _{t,sch}} = 560\frac{N}{{m{m^2}}}

Daraus folgt für den erforderlichen Wellendurchmesser:

{d_{erf}} = \sqrt[3]{{\frac{{16 \cdot 305 \cdot {{10}^3}Nmm \cdot 12}}{{\pi \cdot 560\frac{N}{{m{m^2}}}}}}} = 32mm

Allerdings muss im Nenner unter der Wurzel das {\tau _{t,zul}} = eingesetzt werden

@ znipp: Wird es ja auch. Darum steht im Zähler die 12 ;)

@ Benny: Was soll mit den Lagern sein?

Hallo.

Bin über google auf diese Ausarbeitung gestoßen. Finde ich klasse. Bin bei meinen eigenen Berechnungen jetzt allerdings auf ein Problem gestoßen, bei dem ich noch nicht sicher bin, wie man es am sinnvollsten löst. Bei mir ist df < als der Wellendurchmesser, wobei df = d + 2hf und hf = m ist.

Jemand auf die schnelle einen passenden Denkanstoß?

Grüße
CJ

df= d+2*hf
hf=ha+c
ha=m
c=0,25*m

df=d+2*(m+(m*0,25))

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