03.3 – Geschwindigkeit und Energie einer Rakete

 

Eine Rakete habe zum Zeitpunkt t=0 die Geschwindigkeit {v_0}=0 und die Startmasse {m_0}=8000kg. Das Raketentriebwerk liefert den konstanten Schub F=9,2kN. Die Ausströmgeschwindigkeit des Gasstrahles sei {c_e}=2,8\frac{km}{s} und die Brenndauer betrage 2300 Sekunden.

a )

Bestimmen Sie die Geschwindigkeit als Funktion der Zeit t!

b )

Geben Sie die kinetische Energie der Rakete als Funktion der Zeit an!

c )

Wie ändert sich die kinetische Energie während der Brennzeit des Triebwerkes!

d )

Geben Sie Zahlenwerte an für t=0, 500,1.000,1.500,2.000 und 2.300 Sekunden!

Lösung

a )

Gegeben:

Startgeschwindigkeit: {v_0}=0

Startmasse: {m_0}=8000kg

Ausströmgeschwindigkeit des Gasstrahls: {c_e}=2,8\frac{{km}}{s}

Schub (konstant): F=9,2kN

Gesucht:

v\left(t\right)?Geschwindigkeit der Rakete als Funktion der Zeit

Für die Geschwindigkeitsänderung der Rakete folgt aus der Ziolkowsky-Gleichung:

\Delta v={c_e}\cdot\ln\left({\frac{m_0}{m_B}}\right)

Da die Beobachtung zum Zeitpunkt t=0 beginnt, und die Rakete zu Beginn die Geschwindigkeit {v_0}=0 hat, gilt:

v={c_e}\cdot\ln\left({\frac{m_0}{m_B}}\right)

Um diese Gleichung jetzt noch Abhängig von der Zeit auszudrücken, setzt man statt der Brennschlussmasse die Raketenmasse in Abhängigkeit von der Zeit ein d.h. m\left(t\right)={m_0}-\dot m\cdot t

v\left(t\right)={c_e}\cdot\ln\left({\frac{m_0}{{{m_0}-\dot m\cdot t}}}\right)

Dies lässt sich wiederum umformen, da der Massenstrom \dot m ja unbekannt ist mit: \dot m=\frac{F}{{{c_e}}}

v\left(t\right)={c_e}\cdot\ln\left({\frac{m_0}{{{m_0}-\frac{F}{{{c_e}}}\cdot t}}}\right)={c_e}\cdot\ln\left({\frac{m_0}{{\frac{{{m_0}\cdot{c_e}-F\cdot t}}{{{c_e}}}}}}\right)

={c_e}\cdot\ln\left({\frac{{{m_0}\cdot{c_e}}}{{{m_0}\cdot{c_e}-F\cdot t}}}\right)={c_e}\cdot\ln{\left({\frac{{{m_0}\cdot{c_e}-F\cdot t}}{{{m_0}\cdot{c_e}}}}\right)^{-1}}

=-{c_e}\cdot\ln\left({\frac{{{m_0}\cdot{c_e}-F\cdot t}}{{{m_0}\cdot{c_e}}}}\right)=-{c_e}\cdot\ln\left({\frac{{{m_0}\cdot{c_e}}}{{{m_0}\cdot{c_e}}}-\frac{{F\cdot t}}{{{m_0}\cdot{c_e}}}}\right)=\underline{\underline{-{c_e}\cdot\ln\left({1-\frac{{F\cdot t}}{{{c_e}\cdot{m_0}}}}\right)}}

b )

Gegeben:

Geschwindigkeit der Rakete als Funktion der Zeit: v\left(t\right)=-{c_e}\cdot\ln\left({1-\frac{{F\cdot t}}{{{c_e}\cdot{m_0}}}}\right)

Masse als Funktion der Zeit: m\left(t\right)={m_0}-\dot m\cdot t

Gesucht:

Kinetische Energie als Funktion der Zeit: {E_{kin}}\left(t\right)

Für die kinetische Energie eines Körpers gilt, was ja allgemein bekannt sein dürfte:

{E_{kin}}=\frac{1}{2}\cdot m\cdot{v^2}

Und damit ergibt sich eingesetzt und mit \dot m=\frac{F}{{{c_e}}}:

{E_{kin}}\left(t\right)=\frac{1}{2}\cdot m\left(t\right)\cdot v{\left(t\right)^2}=\frac{1}{2}\cdot\left({{m_0}-\dot m\cdot t}\right)\cdot c_e^2\cdot{\ln ^2}\left({1-\frac{{F\cdot t}}{{{c_e}\cdot{m_0}}}}\right)

=\underline{\underline{\frac{1}{2}\cdot\left({{m_0}-\frac{{F\cdot t}}{{{c_e}}}}\right)\cdot c_e^2\cdot{{\ln}^2}\left({1-\frac{{F\cdot t}}{{{c_e}\cdot{m_0}}}}\right)}}

c )

Die Änderung der kinetischen Energie während der Brennzeit des Triebwerks der Rakete bestimmt man, indem man das Ergebnis aus Aufgabenteil b) nach der Zeit ableitet:

\frac{{\partial{E_{kin}}}}{{\partial t}}=\frac{1}{2}\cdot\left({\frac{{\partial m\left(t\right)}}{{\partial t}}{v^2}+m\left(t\right)\cdot 2\cdot v\left(t\right)\cdot\frac{{\partial v\left(t\right)}}{{\partial t}}}\right)

\frac{{\partial m\left(t\right)}}{{\partial t}}=\frac{\partial}{{\partial t}}\left({{m_0}-\dot mt}\right)=-\dot m

und:

\frac{{\partial v}}{{\partial t}}=\dot v={c_e}\cdot\frac{1}{{\left({\frac{m_0}{{{m_0}-\dot m\cdot t}}}\right)}}\cdot\frac{{\left({0\cdot\left({{m_0}-\dot m\cdot t}\right)}\right)-\left({{m_0}\cdot\left({-\dot m}\right)}\right)}}{{{{\left({{m_0}-\dot m\cdot t}\right)}^2}}}={c_e}\cdot\frac{{}}{{}}\cdot\frac{{\cdot\dot m}}{{\left({{m_0}-\dot m\cdot t}\right)}}=\frac{{\dot m\cdot{c_e}}}{{{m_0}-\dot m\cdot t}}

Damit:

\frac{{\partial{E_{kin}}}}{{\partial t}}=-\frac{1}{2}\cdot\dot m\cdot{v^2}+m\cdot v\cdot\dot v=-\frac{1}{2}\cdot\dot m\cdot{v^2}+\left({{m_0}-\dot m\cdot t}\right)\cdot v\cdot\frac{{{c_e}\cdot\dot m}}{{{m_0}-\dot m\cdot t}}

=-\frac{1}{2}\cdot\dot m\cdot{v^2}+{c_e}\cdot v\cdot\dot m=\underline{\underline{\dot m\cdot v\cdot\left({-\frac{1}{2}\cdot v+{c_e}}\right)}}

d )

Auswertung aus Seminarübung:

In der Excel-Tabelle ist auf dem ersten Diagramm (Zeit über Geschwindigkeit) zu erkennen:

Geschwindigkeit nimmt stark zu, vor allem gegen Ende der Beobachtung.

Ursache: Der Massenstrom des Triebwerks ist über die gesamte Zeit konstant. Die Masse nimmt jedoch mit zunehmender Laufzeit ab.

Im zweiten Diagramm ist zu sehen (Zeit über Energie):

Die kinetische Energie erreicht ein Maximum, nimmt dann aber in der weiteren Laufzeit wieder ab.

Ursache: Sobald die Geschwindigkeit der Rakete v die effektive Ausstoßgeschwindigkeit {c_e} der Triebwerksgase überschritten hat (besser zu erkennen im dritten Diagramm), werden die ausgestoßenen Gasteilchen, die dem Triebwerk entweichen abgebremst, d.h. die kinetische Energie wird ab diesem Punkt insgesamt wieder kleiner.

geschwindigkeit-zeit-diagramm

energie-zeit-diagramm

anderung-energie-zeit-diagramm

\mathcal{T}\mathcal{H}