04.1 – Geschwindigkeit auf Erdkreisbahnen

 

a )

Berechnen Sie die Umlaufgeschwindigkeiten v für Erdkreisbahnen unter der Annahme eines Einkörperproblems in den folgenden Höhen H über der Erdoberfläche:

h = r-{R_E} = 100;\:200;\:500;\:1000;\:10000km

Welche Näherung wird hierbei gegenüber dem klassischen Newtonschen „Zweikörperproblem“ vorgenommen?

Was ist der Unterschied zum Zweikörperproblem?

b )

Berechnen Sie die Höhe h und die Geschwindigkeit v für eine Kreisbahn mit der Umlaufzeit P = 24h \cdot \frac{{364}}{{365}} = 23h\:56m\:04s. Diese Umlaufzeit ist ein astronomischer Tag, d.h. die Zeit, in der die Erde eine volle Umdrehung im Inertialsystem ausführt.

Lösung

a )

Man kann diese Aufgabe mit der Vis-Viva Gleichung oder einfach mit einem Kräftegleichgewicht lösen.

Kräftegleichgewicht:

Auf einer Kreisbahn um die Erde ist die Zentrifugalkraft genauso groß wie die Gravitationskraft:

{F_Z} = {F_G}

\frac{{m{v^2}}}{r} = \gamma \frac{{m{M_E}}}{{{r^2}}}

v = \sqrt {\frac{{\gamma {M_E}}}{r}} = \sqrt {\frac{{{\mu _E}}}{r}} = \sqrt {\frac{{{\mu _E}}}{{{R_E}+h}}}

Die Masse des Körpers ist also nicht relevant! Wir benötigen die folgenden Konstanten:

Gravitationsparameter: {\mu _E} = \gamma {M_E} = 3,986 \cdot {10^{14}}\frac{{{m^3}}}{{{s^2}}}
Radius der Erde: {R_E} = 6,378 \cdot {10^6}m

Die gesuchten Geschwindigkeiten sind:

\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{h}{{{{10}^3}m}}} &\vline & {100} & {200} & {500} & {1000} & {10000} \\\hline{\frac{v}{{\frac{m}{s}}}} &\vline & {7844} & {7784} & {7613} & {7350} & {4933} \\ \end{array}

Mit der Vis-Viva Gleichung:

\frac{{{v^2}}}{2}-\frac{\mu }{r} = -\frac{\mu }{{2a}}

Bei einer Kreisbahn ist a = r = {r_K}, also:

\frac{{{v^2}}}{2}-\frac{\mu }{{{r_K}}} = -\frac{\mu }{{2{r_K}}}

v = \sqrt {\frac{\mu }{{{r_K}}}}

Da wir hier bei beiden Ansätzen mit einem Einkörperproblem rechnen, ist unsere Näherung, dass die Masse des Zentralkörpers viel größer als die des Satelliten ist. Der Unterschied zum Zweikörperproblem ist, dass sich bei der Näherungslösung der Satellit um den Schwerpunkt des Zentralkörpers bewegt, sich beim Zweikörperproblem aber beide Körper um einen gemeinsamen Schwerpunkt bewegen.

b )

Wir wählen den gleichen Ansatz (Kräftegleichgewicht) wie bei der ersten Teilaufgabe:

{F_Z} = {F_G}

v = \omega r

m\frac{{{v^2}}}{r} = m{\omega ^2}r = \gamma \frac{{mM}}{{{r^2}}},\quad \quad T = P

r = \sqrt[3]{{\frac{{\gamma M}}{{{\omega ^2}}}}},\quad \quad \omega = 2\pi f = \frac{{2\pi }}{T} = \frac{{2\pi }}{P}

r = \sqrt[3]{{\frac{{\mu {P^2}}}{{4{\pi ^2}}}}} = 42164km

h = r-{R_E} = 35786km

v = \omega r = \frac{{2\pi }}{P}r = 3075\frac{m}{s}