3.17 – Erklärung des Gipfelpunktes bei subsonischem Strahlflugzeug

 
  1. Erklären Sie anschaulich, weshalb ein Flugzeug einen Gipfelpunkt hat. Gehen Sie dabei gesondert auf den Einfluss von Triebwerksschub und Luftwiderstand ein.
  2. Leiten Sie einen Ausdruck her, der es gestattet, die Gipfelhöhe für ein subsonisches Strahlflugzeug mit geschwindigkeitsunabhängigem Schub (F \sim {\rho ^{{n_\rho }}}) zu berechnen (Bestimmung der Luftdichte genügt).
  3. Stellen Sie den zugehörigen Auftriebsbeiwert in der Polaren dar.
  4. Wie ändert sich die Gipfelhöhe qualitativ, wenn die Flügelfläche S (bei konstanter Flügelstreckung \Lambda) vergrößert wird? (Begründung!)
  5. Wie ändert sich dabei die Fluggeschwindigkeit qualitativ? (Begründung!)

Lösung 3.17

a)

Für den stationären Horizontalflug gilt:

F = W = {F_{0,\max }} \cdot {\left( {\frac{\rho } {{{\rho _0}}}} \right)^{{n_\rho }}} = \frac{W} {{m \cdot g}} = \varepsilon \to {\left( {\frac{{{\rho _{min}}}} {{{\rho _0}}}} \right)^{{n_\rho }}} = \frac{{{\varepsilon _{min}} \cdot m \cdot g}} {{{F_{0,max}}}} \to {\rho _{min}}

Je höher man nun steigt, desto kleiner wird die Dichte \rho und desto kleiner wird der erzeugbare Schub. Diesem erzeugten Schub wirkt jedoch der mehr oder weniger konstante Widerstand entgegen. Ab einem bestimmten Punkt wird der Schub kleiner sein, als der Widerstand. Ein weiteres Steigen des Flugzeuges ist nun nicht mehr möglich. Das Flugzeug hat seinen Gipfelpunkt erreicht.

Anschaulich kann dies in folgendem Diagramm gezeigt werden.

geschwindigkeit-widerstand-schub

Der Schub sinkt mit zunehmender Höher von seinem Maximalwert am Boden {F_{0,\max }} ab. Ab einer gewissen Höhe ist der Schub jedoch genauso groß, wie der minimal „erfliegbare“ Widerstand. Es ist folglich bei einer Höheren Höhe nicht mehr möglich die Grundvoraussetzung für den stationären Horizontalflug, nämlich die Bedingung Widerstand gleich Schub zu erfüllen. Das Flugzeug kann nicht mehr steigen und hat seinen Gipfelpunkt erreicht.

b)

Für den stationären Horizontalflug gilt:

F = W \Rightarrow {F_{0,\max }} \cdot {\left( {\frac{\rho } {{{\rho _0}}}} \right)^{0,7}} = {C_W} \cdot \frac{\rho } {2} \cdot {V^2} \cdot S

Aus Aufgabenteil a) wird ersichtlich, dass am Gipfelpunkt folgendes gelten muss:

{F_{max}} = {W_{min}} = m \cdot g \cdot {\varepsilon _{min}} = {F_{0,\max }} \cdot {\left( {\frac{\rho } {{{\rho _0}}}} \right)^{0,7}} \Rightarrow {\rho _{Gipfel}} = {\rho _0} \cdot {\left( {\frac{{m \cdot g \cdot {\varepsilon _{min}}}} {{{F_{0,\max }}}}} \right)^{\frac{1} {{0,7}}}}

(Bei einer Flughöhe H \leq 11km!!!)

Die Gipfelhöhe {H_{Gipfel}} kann dann mittels Gleichung für die Normatmosphäre im Bereich 0-11km ermittelt werden.

c)

Für den stationären Horizontalflug bei erreichter Gipfelhöhe muss ein Strahlflugzeug also mit minimalem Widerstand fliegen. Das bedeutet mit der Gleitzahl {\varepsilon _{min}} bzw. mit dem Auftriebsbeiwert C_A^* (und damit auch mit dem Widerstandsbeiwert C_W^*). Diese Tatsache lässt sich folgendermaßen in der Polaren darstellen:

gleitzahl-epsilon-minimalwert-steigung

d)

Wie bereits hergeleitet gilt für die Gipfelhöhe beim Strahlflugzeug:

{F_{max}} = {W_{min}} = m \cdot g \cdot {\varepsilon _{min}} = {F_{0,\max }} \cdot {\left( {\frac{\rho } {{{\rho _0}}}} \right)^{0,7}} \Rightarrow {\rho _{Gipfel}} = {\rho _0} \cdot {\left( {\frac{{m \cdot g \cdot {\varepsilon _{min}}}} {{{F_{0,\max }}}}} \right)^{\frac{1} {{0,7}}}}

Es ist erkennbar, dass die Gipfelhöhe nicht von der Flügelfläche abhängt. \Rightarrow {\rho _{Gipfel}} \ne f\left( S \right)
Damit ändert sich die Gipfelhöhe qualitativ überhaupt nicht bei Vergrößerung der Flügelfläche S.

e)

Wie bereits hergeleitet muss ein Strahlflugzeug am Gipfelpunkt die Geschwindigkeit {V^*}, also die Geschwindigkeit für den minimalen Widerstand fliegen.
Für die Geschwindigkeit {V^*} gilt:

{V^*} = {V_{Gipfel}} = \sqrt {\frac{{2 \cdot m \cdot g}} {{S \cdot \rho \cdot C_A^*}}} = \sqrt {\frac{{2 \cdot m \cdot g}} {{S \cdot \rho \cdot \sqrt {\frac{{{C_{W0}}}} {k}} }}}

Damit ergibt sich die Proportionalitätsbeziehung:

{V^*} = {V_{Gipfel}} \sim \frac{1} {{\sqrt S }}

Bei Vergrößerung der Flügelfläche wird die Fluggeschwindigkeit am Gipfelpunkt geringer.

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2 Kommentare zu “3.17 – Erklärung des Gipfelpunktes bei subsonischem Strahlflugzeug”

Wie ändert sich die Gipfelhöhe qualitativ, wenn die Flügelfläche (bei konstanter Flügelstreckung ) vergrößert wird? (Begründung!)

Die Gipfelhöhe steigt natürlich mit zunehmender Flügelfläche an, da die Gleitzahl zunimmt. Die Gleitzahl hängt direkt von der Flügelfläche ab. Sonst bräuchte ein Flugzeug keine Flügel, um zu fliegen, bzw. könnte auf der Gipfelhöhe seine Flügel absprengen und würde dennoch ohne Höhenverlust weiterfliegen.

@Dierk:
In dieser Teilaufgabe wird explizit darauf hingewiesen, dass die Flügelstreckung konstant bleibt. Daher ändert sich auch nicht der K-Faktor und folglich auch nicht die Gleitzahl, bzw. die minimale Gleitzahl. Der erforderliche Schub entspricht somit noch immer dem Produkt aus minimaler Gleitzahl und “mg”. Wie bereits bekannt, lässt sich im stat. Horizontalflug “mg” mit dem Auftrieb gleichsetzen. Mit Erhöhung der Flügelfläche wird daher der Ausdruck “mg” durch direkte Proportionalität größer. Wird dieser Ausdruck größer, muss auch der erforderliche Schub größer werden, und den gibt es nur bei größeren Luftdichten. Demnach müsste bei erhöter Flügelfläche mit gleicher Streckung die Gipfelhöhe abnehmen.

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