02.1 – Gradient, Divergenz, Laplace-Operator (Begriffserklärung)

 

Wiederholen Sie grad\left( u \right) = \nabla u, div\left( u \right) = \nabla \cdot u, \Delta u = \nabla \cdot\nabla u

Lösung

Genauere Ausführungen zu diesen und anderen Begriffen finden sich in diesem Artikel.

Gradient

grad\left( u \right) = \nabla u = \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{\partial u}} {{\partial x_i }}e_i }  = \left( {\begin{array}{*{20}c}    {\frac{{\partial u}} {{\partial x_1 }}}  \\     \vdots   \\    {\frac{{\partial u}} {{\partial x_n }}}  \\   \end{array} } \right)

Der Gradient ist ein Vektor, der als Einträge die partiellen Ableitungen einer Funktion in Richtung xi, an der Stelle u\left( a \right),\quad a \in \mathbb{R}^n enthält.
Der Gradient bildet also von einem Skalarfeld auf ein Vektorfeld ab.
Wenn man sich eine Landkarte vorstellt, so zeigt der Gradient in Richtung der größten Steigung, wobei seine Länge ein Maß für die Steigung ist.

Divergenz

div\left( {\vec u} \right) = \nabla \cdot\vec u = \sum\limits_{i = 1}^n \, \frac{{\partial u_i }} {{\partial x_i }}\, = \frac{{\partial u_1 }} {{\partial x_1 }}+ \ldots +\frac{{\partial u_n }} {{\partial x_n }}

Dabei ist u ein Vektorfeld \mathbb{R}^n  \to \mathbb{R}^n.

Stellt man sich dieses Vektorfeld als ein Strömungsfeld vor, so gibt der Gradient für jeden Punkt die Tendenz an, ob sich ein Teilchen in der Nähe zu ihm hin oder von ihm fort bewegt. Bei einer Divergenz > 0 besitzt das Feld Quellen. Im Falle < 0 besitzt dagegen Senken. Ist die Divergenz 0, so ist das Feld quellenfrei.

Laplace-Operator

Beispiel im \mathbb{R}^3:

\Delta u = \nabla ^2 u = \nabla \cdot\nabla u = div\:grad\:u = div\left( {\begin{array}{*{20}c}    {\frac{{\partial u}} {{\partial x_1 }}}  \\    {\frac{{\partial u}} {{\partial x_2 }}}  \\    {\frac{{\partial u}} {{\partial x_3 }}}  \\   \end{array} } \right) = \frac{{\partial ^2 u}} {{\partial x_1^2 }}+\frac{{\partial ^2 u}} {{\partial x_2^2 }}+\frac{{\partial ^2 u}} {{\partial x_3^2 }} = u_{xx} +u_{yy} +u_{zz}

In kartesischen Koordinaten lässt sich der Operator auch wie folgt darstellen:

\Delta  = \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{\partial ^2 }} {{\partial x_k^2 }}}

Damit ist der Laplace-Operator übrigens die Spur der Hessematrix.

Der Laplace-Operator findet u.a. in der Physik Anwendung bei der Beschreibung des elektrostatischen Potentials im Vakuum außerhalb leitender, geladener Körper.

Weitere Beispiele:

\Delta f(x,y) = \frac{{\partial ^2 f}} {{\partial x^2 }}+\frac{{\partial ^2 f}} {{\partial y^2 }}

\Delta f(x,y,z) = \frac{{\partial ^2 f}} {{\partial x^2 }}+\frac{{\partial ^2 f}} {{\partial y^2 }}+\frac{{\partial ^2 f}} {{\partial z^2 }}

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\mathcal{J}\mathcal{K}