1.1 – Grundaufgabe, Problemstellung

 

Auszug aus dem Skript der Vorlesung Finite Elemente bei Dr.-Ing Philipp Höfer an der UniBw München.

Die folgenden Bücher können vorlesungsbegleitend zum besseren Verständnis gelesen werden:

  • FEM, B. Klein, Vieweg Verlag
  • Finite Elemente für Ingenieure, J. Better, Springer-Verlag
  • Finite Elemente, Knothe und Wessels, Springer Verlag
  • Methode der finiten Elemente, H. R. Schwarz, Teubners Studienbücher
  • Finite Elemente in der Statik und Dynamik, M. Link, Teubners Verlag
  • FEM für Praktiker, Müller u. Groth, Expert Verlag
  • Methode der finiten Elemente, O. C. Zienkiewicz, Hansa Verlag
  • Vorlesungsskript FEM, F. A. Emmerling, UniBw München

Typische Problemstellungen und Aufgabenfelder bei der Entwicklung neuer Bauteile sind zum Beispiel:

  • Optimale Dimensionierung hinsichtlich der Werkstoffkennwerte, Bauteilstärken, etc.
  • Topologieoptimierung
  • Nachweisführung für die Zulassung

Bauteilversuche sind nicht für alle Aufgabenstellungen geeignet und darüber hinaus zu kostenintensiv. Daher sind geeignete Rechenverfahren notwendig, um diese Themen zu bewältigen.

Auftretende Schwierigkeiten bei der Modellierung

Häufig treten komplexe Randbedingungen und physikalische Phänomene auf:

nichtlinear-problemstellung-reibung-temperatur-material-belastung-lager

Dieses Gebilde zu berechnen, wäre zu schwierig und zeitaufwändig. Die Komplexität ist bedingt durch

  • Randbedingungen
  • Kontakt, Reibung (wird in der Vorlesung nicht besprochen, da nichtlinear)
  • Nichtlineares Materialverhalten (Nichtelastische Elastizität, Plastizität, Dämpfung, Beschädigungen, Ermüdung)
  • Inhomogenitäten

Ziel der Betrachtungen ist die möglichst ganzheitliche und realistische Erfassung und Abbildung eines Systems. Da die Methoden der klassischen technischen Mechanik zumeist nicht ausreichend sind, ist die Definition eines geeigneten idealisierten Ersatzsystems notwendig. Wir müssen das Problem also zunächst auf das Wesentliche konzentrieren und soweit vereinfachen, dass wir es mit möglichst einfachen Methoden möglichst effizient beschreiben können. Die Modellbildung und Vereinfachung kann erfolgen durch:

  • Diskrete Systeme mit einer endlichen Zahl von Zustandsgrößen, die zumeist durch einen Satz gekoppelter linearer Gleichungen beschrieben werden
  • Kontinuierliche Systeme, dessen Zustandsgrößen (Felder) durch Differentialgleichungen (DGL) beschrieben werden

Abhängig von den getroffenen Vereinfachungen und Modellannahmen können noch analytische und halbanalytische Verfahren (z.B. Handbuchmethode) ausreichend sein. Andernfalls ist die Anwendung numerischer Methoden notwendig.

Problemstellung

Gesucht wird eine Funktion oder mehrere Funktionen über einem Gebiet A. Analytische Lösungen existieren zumeist nur für einfache Berandungen und / oder spezielle Belastungen. Für beliebige Berandungen und / oder Belastungen sind jedoch numerische Lösungen erforderlich.

Numerische Verfahren zur Lösung dieser und anderer Problemstellungen:

  • Ritz Verfahren
  • Differenzenverfahren
  • Randelemente Methoden
  • Finite Elemente Methode
  • Finite Volumen Methode

Entwicklung der Finiten Elemente

  • Erste Anwendungen und Erfolge in der Strukturanalyse Mitte der fünfziger Jahre
  • Durchbruch mit der Entwicklung erster gebrauchsfähiger Computer und der Formulierung rechnergeeigneter Matrizenmethoden
  • Wesentliche Arbeiten: J.H. Argyris: Matrizentheorie der Statik (1954-57), Programm ASKA und O.C. Zienkiewicz: Erste umfassende Theorie (1967)
  • Mittlerweile eines der wichtigsten Näherungsverfahren zur Lösung von Differentialgleichungen
  • Vorteile der Methode: Bereitstellung systematischer Regeln, Entwicklung universeller Programme, Berücksichtigung komplizierter Geometrien einfach möglich

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