! Grundlagen zum Verständnis von PDGL

 

In diesem Artikel sollen die folgenden Begriffe erläutert und an Beispielen verdeutlicht werden:

  1. Skalarfunktion
  2. Vektorfunktion
  3. Skalarfeld, Vektorfeld
  4. Nabla-Operator
  5. Gradient
  6. Jacobi-Matrix
  7. Divergenz
  8. Hesse-Matrix
  9. Laplace-Operator

1. Skalarfunktion

Eine Skalarfunktion bildet von {\mathbb{R}^n} nach \mathbb{R} ab. Man unterscheidet skalare Funktionen einer Veränderlichen und skalare Funktionen mehrerer Veränderlichen.

Bei skalaren Funktionen einer Veränderlichen gilt n = 1, die Funktion bildet also von \mathbb{R} nach \mathbb{R} ab.

Beispiele:

f\left( x \right) = {x^2}+3x+5

f\left( x \right) = \sin \left( x \right)

Bei skalaren Funktionen mehrerer Veränderlichen ist n die Dimension des betrachteten Raumes, also z.B. n = 3 für den dreidimensionalen Raum. Entscheidend ist jedoch, dass auch hier wieder nur auf einen Skalar abgebildet wird.

Beispiele:

f\left( {x,y} \right) = \cos \left( x \right)\sin \left( {{y^2}} \right)

f\left( {x,y,z} \right) = xyz+3{e^x}

2. Vektorfunktion

Eine Vektorfunktion bildet von {\mathbb{R}^n} nach {\mathbb{R}^m} ab. Auch hier kann zwischen Funktionen einer und mehrerer Veränderlichen unterschieden werden. Die Funktionswerte sind aber immer Vektoren.

Beispiele:

f\left( x \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{2x}  \\{{x^2}}  \\\end{array} } \right)

u\left( {x,y,z} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{3x+y}  \\{{y^2}+xz}  \\{xy{z^3}}  \\\end{array} } \right)

3. Skalarfeld, Vektorfeld

Ein Skalarfeld ist eine Funktion, die jedem Ort im Raum einen skalaren Wert zuordnet. Ein Beispiel ist das Skalarfeld der Temperatur. Jedem Punkt im dreidimensionalen Raum wird eine reelle Zahl, nämlich die Temperatur, zugeordnet.

Ein Vektorfeld ist eine Funktion, die jedem Ort im Raum einen Vektor zuordnet. Ein Beispiel ist das Magnetfeld. Dieses ordnet jedem Punkt im Raum nicht nur die Stärke des dort wirkenden Feldes zu, sondern auch die Richtung, in die das Feld wirkt.

4. Nabla-Operator

Der Nabla-Operator ist ein Symbol, das benutzt wird, um die drei Differentialoperatoren Gradient, Divergenz und Rotation zu bezeichnen. Das Nabla-Symbol \nabla stammt von der Bezeichnung eines hebräischen Saiteninstruments, das eine ähnliche Form hatte.

Formal ist der Nabla-Operator definiert als:

\nabla  = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{\partial }{{\partial {x_1}}}}  \\ \vdots   \\{\frac{\partial }{{\partial {x_n}}}}  \\ \end{array} } \right)

also als Vektor der partiellen Ableitungen. Im dreidimensionalen Raum, deren Dimensionen als x,y,z bezeichnet werden, ist der Nabla-Operator also beispielsweise:

\nabla  = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{\partial }{{\partial x}}}  \\{\frac{\partial }{{\partial y}}}  \\{\frac{\partial }{{\partial z}}}  \\ \end{array} } \right)

5. Gradient

Der Gradient ist ein mathematische Operator, der einem Skalarfeld ein Vektorfeld zuordnet. Dabei wird jedem Punkt des Skalarfeldes die Änderungsrate und die Richtung der stärksten Änderung zugeordnet. Interpretiert man zum Beispiel die Höhenkarte einer Landschaft als eine Funktion h\left( {x,y} \right), dann ordnet der Gradient jedem Punkt \left( {x,y} \right) einen Vektor zu, dessen Richtung die des steilsten Anstiegs des Geländes ist, und deren Länge die Änderungsrate widerspiegelt.

Der Gradient entspricht dabei der normalen Ableitung, die im eindimensionalen Fall die Steigung einer Funktion bestimmt.

Formal ist der Gradient definiert als das Produkt aus dem Nabla-Operator und dem betrachteten Skalarfeld.

Beispiel:

f:{\mathbb{R}^3} \to \mathbb{R},\quad f\left( {x,y,z} \right) = xy{z^3}

\nabla  = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{\partial }{{\partial x}}}  \\{\frac{\partial }{{\partial y}}}  \\{\frac{\partial }{{\partial z}}}  \\ \end{array} } \right)

grad\left( f \right) = \nabla f = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{\partial }{{\partial x}}}  \\{\frac{\partial }{{\partial y}}}  \\{\frac{\partial }{{\partial z}}}  \\ \end{array} } \right)xy{z^3} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{\partial }{{\partial x}}xy{z^3}}  \\{\frac{\partial }{{\partial y}}xy{z^3}}  \\{\frac{\partial }{{\partial z}}xy{z^3}}  \\ \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{y{z^3}}  \\{x{z^3}}  \\{3xy{z^2}}  \\ \end{array} } \right)

6. Jacobi-Matrix

Der Gradient ist nur für Skalarfelder definiert! In der Physik braucht man allerdings häufig ein entsprechendes Element für Vektorfelder. In solchen Fällen benutzt man die Matrix, deren Elemente die partiellen Ableitungen aller Funktionen nach allen Variablen sind. Diese Matrix nennt man auch Jacobi-Matrix.

Beispiel:

Vektorfeld: u\left( {x,y,z} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {3x+y}  \\ {{y^2}+xz}  \\ {xy{z^3}}  \\ \end{array} } \right)

Jacobi-Matrix: {J_u} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{\partial _x}{u_1}} & {{\partial _y}{u_1}} & {{\partial _z}{u_1}}  \\ {{\partial _x}{u_2}} & {{\partial _y}{u_2}} & {{\partial _z}{u_2}}  \\ {{\partial _x}{u_3}} & {{\partial _y}{u_3}} & {{\partial _z}{u_3}}  \\ \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3 & 1 & 0  \\ z & {2y} & x  \\ {y{z^3}} & {x{z^3}} & {3xy{z^2}}  \\ \end{array} } \right)

7. Divergenz

Die Divergenz ist ein Funktional eines Vektorfeldes. Interpretiert man dieses Feld als Strömungsfeld, so gibt die Divergenz für jede Stelle die Tendenz an, ob ein Teilchen in der Nähe eher zu diesem Punkt hin- oder von dem Punkt wegfließt. Die Divergenz sagt damit aus, wo es in dem Vektorfeld Quellen und Senken gibt.

Formal ist die Divergenz als das Skalarprodukt aus dem Nabla-Operator und der Funktion des Vektorfeldes definiert:

div\left( f \right) = \nabla  \cdot  f

Beispiel:

u:{\mathbb{R}^3} \to {\mathbb{R}^3}

u\left( {x,y,z} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{3x+y}  \\ {{y^2}+xz}  \\ {xy{z^3}}  \\ \end{array} } \right)

div\left( u \right) = \nabla  \cdot  u = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{\partial }{{\partial x}}}  \\{\frac{\partial }{{\partial y}}}  \\ {\frac{\partial }{{\partial z}}}  \\ \end{array} } \right) \cdot  \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{3x+y}  \\ {{y^2}+xz}  \\ {xy{z^3}}  \\ \end{array} } \right)

div\left( u \right) = \frac{\partial }{{\partial x}}\left( {3x+y} \right)+\frac{\partial }{{\partial y}}\left( {{y^2}+xz} \right)+\frac{\partial }{{\partial z}}\left( {xy{z^3}} \right) = 3+2y+3xy{z^2}

Die Divergenz ist damit die Spur der Jacobi-Matrix.

Die Divergenz eines Skalarfeldes entspricht dem Gradienten, da das Skalarprodukt aus Nabla-Operator und skalarer Funktion dem normalen Produkt entspricht.

Beispiel:

f:{\mathbb{R}^3} \to \mathbb{R},\quad f\left( {x,y,z} \right) = xy{z^3}

div\left( f \right) = \nabla  \cdot  f = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{\partial }{{\partial x}}}  \\ {\frac{\partial }{{\partial y}}}  \\ {\frac{\partial }{{\partial z}}}  \\ \end{array} } \right) \cdot  xy{z^3} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{\partial }{{\partial x}}xy{z^3}}  \\ {\frac{\partial }{{\partial y}}xy{z^3}}  \\ {\frac{\partial }{{\partial z}}xy{z^3}}  \\ \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {y{z^3}}  \\ {x{z^3}}  \\ {3xy{z^2}}  \\ \end{array} } \right) = \nabla f

8. Hesse-Matrix

Die Hesse-Matrix fasst die zweiten partiellen Ableitungen einer skalaren Funktion mehrerer Veränderlicher zusammen. Sie ist nicht für Vektorfunktionen definiert:

H\left( f \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {x_1}\partial {x_1}}}} &  \cdots  & {\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {x_1}\partial {x_n}}}}  \\ \vdots  &  \ddots  &  \vdots   \\ {\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {x_n}\partial {x_1}}}} &  \cdots  & {\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {x_n}\partial {x_n}}}}  \\ \end{array} } \right)

Die Hesse-Matrix entspricht dem Transponierten der Ableitung des Gradienten, ist aber bei stetigen zweiten Ableitungen wegen der Vertauschbarkeit der Differentiationsreihenfolge symmetrisch, so dass das Transponieren der Matrix keine Änderung bewirkt.

Beispiel:

u\left( {x,y,z} \right) = \sin \left( x \right)+{y^2}+y{z^2}

{\partial _x}u = \cos \left( x \right)

{\partial _y}u = 2y+{z^2}

{\partial _z}u = 2yz

H\left( u \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{\partial _{xx}}u} & {{\partial _{xy}}u} & {{\partial _{xz}}u}  \\{{\partial _{yx}}u} & {{\partial _{yy}}u} & {{\partial _{yz}}u}  \\{{\partial _{zx}}u} & {{\partial _{zy}}u} & {{\partial _{zz}}u}  \\ \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{-\sin \left( x \right)} & 0 & 0  \\ 0 & 2 & {2z}  \\ 0 & {2z} & {2y}  \\ \end{array} } \right)

9. Laplace-Operator

Der Laplace-Operator \Delta ist ein mathematischer Operator, der in vielen physikalischen Theorien eine Rolle spielt. Im Vakuum beschreibt die Laplace-Gleichung \Delta u = 0 etwa das elektrostatische Potential außerhalb leitender, geladener Körper. Der Laplace-Operator ist für Skalar- und Vektorfelder unterschiedlich definiert. Er bildet aber immer auf einen Vektor ab.

Formal ist der Laplace-Operator für Skalarfelder definiert als die Divergenz des Gradienten:

\Delta f = div\left( {grad\left( f \right)} \right) = \nabla  \cdot  \nabla f

Beispiel:

f:{\mathbb{R}^3} \to \mathbb{R},\quad f\left( {x,y,z} \right) = \sin \left( x \right)+{y^2}+y{z^2}

\Delta f = div\left( {grad\left( f \right)} \right) = \nabla  \cdot  \nabla f

\Delta f = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{\partial }{{\partial x}}}  \\ {\frac{\partial }{{\partial y}}}  \\ {\frac{\partial }{{\partial z}}}  \\ \end{array} } \right) \cdot  \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{\partial }{{\partial x}}}  \\ {\frac{\partial }{{\partial y}}}  \\ {\frac{\partial }{{\partial z}}}  \\ \end{array} } \right)f = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{\partial }{{\partial x}}}  \\ {\frac{\partial }{{\partial y}}}  \\ {\frac{\partial }{{\partial z}}}  \\ \end{array} } \right) \cdot  \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{\partial }{{\partial x}}f}  \\{\frac{\partial }{{\partial y}}f}  \\{\frac{\partial }{{\partial z}}f}  \\ \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{\partial _{xx}}f}  \\ {{\partial _{yy}}f}  \\ {{\partial _{zz}}f}  \\ \end{array} } \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{-\sin \left( x \right)}  \\ 2  \\ {2y}  \\ \end{array} } \right)

Dies ist die Spur der Hesse-Matrix.

Für Vektorfelder ist der Laplace-Operator definiert als der Gradient der Divergenz:

\Delta \vec u = grad\left( {div\left( f \right)} \right) = \nabla \left( {\nabla  \cdot  \vec u} \right)

Beispiel:

u:{\mathbb{R}^3} \to {\mathbb{R}^3}

u\left( {x,y,z} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{3x+y}  \\{{y^2}+xz}  \\ {xy{z^3}}  \\ \end{array} } \right)

div\left( u \right) = \nabla  \cdot  u = \frac{\partial }{{\partial x}}\left( {3x+y} \right)+\frac{\partial }{{\partial y}}\left( {{y^2}+xz} \right)+\frac{\partial }{{\partial z}}\left( {xy{z^3}} \right) = 3+2y+3xy{z^2}

\Delta u = \nabla \left( {\nabla  \cdot  u} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{\partial }{{\partial x}}}  \\{\frac{\partial } {{\partial y}}}  \\{\frac{\partial }{{\partial z}}}  \\ \end{array} } \right)\left( {\nabla  \cdot  u} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{\partial }{{\partial x}}\left( {3+2y+3xy{z^2}} \right)}  \\ {\frac{\partial }{{\partial y}}\left( {3+2y+3xy{z^2}} \right)}  \\ {\frac{\partial }{{\partial z}}\left( {3+2y+3xy{z^2}} \right)}  \\ \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {3y{z^2}}  \\ {2+3x{z^2}}  \\ {6xyz}  \\ \end{array} } \right)

Ähnliche Artikel

4 Kommentare zu “! Grundlagen zum Verständnis von PDGL”

Lieber Autor, wenn man als Ingenieur nur sehr sporadisch mit Feldtheorie zu tun hat, dann empfindet man es als höchstes Glück, diese – Ihre – Seite gefunden zu haben, um schnell mal rekapitulieren zu können:

http://me-lrt.de/grundlagen-zum-verstandnis-von-pdgl

Was ich allerdings nicht verstehe: Warum sind die anderen Seiten so entsetzlich anders und unverständlich?

Danke für das Lob :)
Die anderen Seiten (zu PDGL) beschäftigen sich nicht mit Grundlagen, sondern mit der Theorie partieller Differentialgleichungen. Daher sind sie nur verständlich, wenn man über ausreichende Kenntnisse der Funktionalanalysis und der gewöhnlichen Differentialgleichungen verfügt.

Kann mich dem Posting von Heinz nur anschliessen. Ich arbeite im Bereich der hydraulischen Strömungsmaschinen und habe noch keine kompaktere und/oder verständlichere Darstellung des Stoffgebietes gefunden. Diese Homepage als Buch würde großen Absatz unter Technikstudenten finden.

Dankeschön!

auch ich, ein spät berufener Student, danke Ihnen.

Kommentar verfassen