1.1 – Grundlegende Approximationsprobleme

 

Zunächst sollen hier ein paar Anwendungsbeispiele für die in den folgenden Kapiteln besprochenen Verfahren angegeben werden.

Problem 1: Passendes Element im Definitionsbereich finden

Sei A:X \to Y ein stetiger linearer Operator zwischen separablen Banach-Räumen X und Y.

Erinnerung:
Linearer Operator: Strukturerhaltende Abbildung zwischen Vektorräumen über einem gemeinsamen Körper, entsteht durch lineare Modellierung oder Linearisierung nichtlinearer Probleme (z.B. Newton Methode)
Separabel: Ein Vektorraum ist genau dann separabel, wenn es eine abzählbare Teilmenge gibt, sodass der davon erzeugte Untervektorraum dicht liegt. Dadurch wird der Raum beherrschbarer, Beweise einfacher.
Banach-Raum: Vollständiger (jede Cauchy-Folge konvergiert), normierter Vektorraum

Frage: Wie finden wir ein u \in X, so dass für ein gegebenes f \in Y gilt Au = f?

Lösungsidee 1: Projektionsmethode

Die Gleichung Au = f wird in Unterräumen {X_N} \subset X, {Y_N} \subset Y gelöst:

{A_N}{u_N} = {f_N},\quad N \in \mathbb{N}

Dabei ist {A_N} eine Approximation an A. Man hofft, dass {u_N} gegen u konvergiert.

Bedingungen für eine erfolgreiche Approximation

  1. Die gestörte rechte Seite {f_N} muss gegen die gegebene rechte Seite f konvergieren.
  2. Die Unterräume {X_N} müssen den ganzen Raum X ausfüllen: \overline {\bigcup\limits_{N \in \mathbb{N}} {{X_N}} } = X.
  3. Die Operatoren {A_N} auf den Unterräumen {X_N}müssen passend definiert werden. Die einfache Möglichkeit {A_N}: = \left. A \right|{X_N} funktioniert in Anwendungen meistens nicht.

Problem 2: Variationsproblem ohne Nebenbedingungen

Sei A:X \to {X^\prime } ein stetiger linearer Operator zwischen dem Banach-Raum X und seinem Dualraum {X^\prime }, die quadratische Form \left\langle {Ax,x} \right\rangle nicht-negativ und l \in {X^\prime } gegeben.

Erinnerung
Der Dualraum eines Vektorraums V über einem Körper K ist der Vektorraum aller linearen Abbildungen von V nach K. Ist der Vektorraum V endlich-dimensional, so hat er dieselbe Dimension wie sein Dualraum, die beiden Vektorräume sind somit isomorph.

Frage: Wie finden wir eine Funktion u \in X, so dass das Funktional F\left( x \right) = \frac{1}{2}\left\langle {Ax,x} \right\rangle -l\left( x \right) minimiert wird?

Lösungsidee 2

Eine mögliche Approximationsmethode (sogenannte Ritz-Methode) ist die Lösung des obigen Variationsproblems in Unterräumen {X_N} \subset X. Man hofft dann, dass die approximierten Lösungen {u_N} gegen u konvergieren.

Analog zu diesem Problem ist das Variationsproblem mit Nebenbedingung: Sei J:X \to \mathbb{R} ein stetiges Funktional auf einem Banach-Raum X und M eine geschlossene Teilmenge von X. Hier lautet die Frage: Wie finden wir ein u \in M, das J in M minimiert?

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