13 – Heißdampf-Heizsystem für Wohnanlage

 

Die Wohnungen für Mitarbeiter einer Groß-Ziegelei sollen über das Heißdampfsystem (HDS), das für das Energiemanagement der Ziegelei eingerichtet wurde, beheizt werden. Im HDS zirkuliert Nassdampf bei einem Druck von {p_D} = 4.76bar und einer Temperatur {T_D} = 150^\circ C. Die Mitarbeiter wohnen in Häusern mit je 10 Wohnungen, jede Wohnung hat einen maximalen Heizenergiebedarf {\dot Q_{\max} } = 10kW.

Im Keller jedes Wohnhauses soll das Warmwasser-Heizungssystem der Wohnungen über einen nach außen wärmeisolierten Doppelrohr-Wärmeübertrager (WÜT) vom HDS mit Heizwärme versorgt werden. Durch das innere Rohr des WÜT strömt eine ausreichende Menge des Nassdampfes. Im konzentrischen Ringspalt zirkuliert das Wasser der Hausheizung. Eine Pumpe im Heizwasser vor dem WÜT sorgt für einen kontinuierlichen Wasserstrom \dot V = 1.0\frac{{d{m^3}}}{s}. Der WÜT soll so ausgelegt werden, dass er bei maximalem Heizbetrieb eine Vorlauftemperatur {T_V} = 80^\circ C sicherstellt.

  1. Mit welcher Temperatur fließt das Wasser bei Maximallast in den WÜT ein?
  2. Berechnen Sie die erforderliche Länge des WÜT für die Maximallast, wenn das innere Rohr einen Durchmesser {d_i} = 40mm und das äußere Rohr einen Durchmesser {d_a} = 50mm besitzt. Die Wandstärken sollen dabei vernachlässigt werden.

Für den turbulenten Wärmeübergang des Wassers auf der Innenseite des Ringspalts gilt für \operatorname{Re} > {10^4} die mittlere Nußelt-Zahl N{u_{m,T,i}} (siehe VDI Wärmeatlas, Seite Gb3)

\frac{{N{u_{m,T,i}}}}{{N{u_{Rohr}}}} = 0.86{\left( {\frac{{{d_i}}}{{{d_a}}}} \right)^{-0.16}}

N{u_{Rohr}} = \frac{{\frac{\xi }{8}\operatorname{Re} \Pr }}{{1+12.7\sqrt {\frac{\xi }{8}} \left( {{{\Pr }^{\frac{2}{3}}}-1} \right)}}\left[ {1+{{\left( {\frac{{{d_h}}}{L}} \right)}^{\frac{2}{3}}}} \right]

\xi = \frac{1}{{{{\left[ {1.8 \cdot {{\log }_{10}}\left( {\operatorname{Re} } \right)-1.5} \right]}^2}}}

Reynoldszahl und Nußeltzahl sind dabei mit dem hydraulischen Durchmesser {d_h} = {d_a}-{d_i} zu bilden. Die Stoffwerte des Wassers können der folgenden Tabelle (aus dem VDI-Wärmeatlas) entnommen werden.

stoffwerte-wasser

Lösung

Das im Aufgabentext beschriebene Problem lässt sich folgendermaßen zusammenfassen. Es soll ein Doppelrohr-Wärmeübertrager ausgelegt werden, in dessen Innenrohr kondensierender Dampf von 150°C strömt, und in dessen Ringspalt Wasser von der noch unbekannten Rücklauftemperatur bei maximaler Last T_W^{in} auf die geforderten 80°C Vorlauftemperatur {T_V} = T_W^{out} aufgeheizt werden soll.

Skizze des Problems:

warmwasser-heizsystem-skizze

a )

Es handelt sich wegen des kondensierenden Dampfes und der damit unveränderlichen Dampftemperatur um einen Einstromwärmeübertrager.

Für den Wärmestrom im Wärmeübertrager gilt:

{{\dot Q}_V} = 10 \cdot {{\dot Q}_{\max} } = {{\dot m}_W}{c_W}\left( {T_W^{out}-T_W^{in}} \right)

{{\dot m}_W} = {\rho _W}{{\dot V}_W}

T_W^{in} = T_W^{out}-\frac{{10 \cdot {{\dot Q}_{\max} }}}{{{\rho _W}{{\dot V}_W}{c_W}}}

Neu ist in dieser Aufgabe, dass die Stoffwerte des Wassers nicht unabhängig von der Temperatur gewählt werden, sondern aus der gegebenen Tabelle interpoliert werden sollen. Die Lösung der Gleichung für T_W^{in} muss daher iterativ erfolgen. Zur Lösung dieser Aufgabe werden zwei Iterationen ausgeführt. In der Prüfung werden keine temperaturabhängigen Stoffwerte vorkommen!

Laut VDI-Wärmeatlas müssen die Stoffdaten der Tabelle bei der mittleren Wassertemperatur, also

{\bar T_W} = \frac{1}{2}\left( {T_W^{in}+T_W^{out}} \right)

ausgewertet werden. Dies ist bei der iterativen Lösung zu beachten.

Da wir die Eintrittstemperatur noch nicht kennen, müssen wir im ersten Schritt schätzen. Wir nehmen an, dass sie genau der Austrittstemperatur entspricht. Dies ist natürlich in Wirklichkeit nicht der Fall, denn das Wasser wird im Wärmetauscher aufgeheizt und die Eintrittstemperatur müsste demnach deutlich unter der Austrittstemperatur liegen.

T_W^{out} = 80^\circ C\quad \Rightarrow \quad {\bar T_W} = \frac{1}{2}\left( {T_W^{in}+T_W^{out}} \right) = 80^\circ C

Die Tabelle aus dem VDI Wärmeatlas liefert:

{\rho _W} = 971,8\frac{{kg}}{{{m^3}}}

{c_W} = 4,196\frac{{kJ}}{{kgK}}

Dies setzen wir in die iterative Gleichung ein:

T_W^{in} = T_W^{out}-\frac{{10 \cdot {{\dot Q}_{\max} }}}{{{\rho _W}{{\dot V}_W}{c_W}}}

{\left\{ {T_W^{in}} \right\}_1} = 80^\circ C-\frac{{10 \cdot 10kW}}{{971,8\frac{{kg}}{{{m^3}}} \cdot {{10}^{-3}}\frac{m}{s} \cdot 4,196\frac{{kJ}}{{kgK}}}} = 55,48^\circ C

Wir bestimmen die neue mittlere Wassertemperatur:

{\left\{ {{{\bar T}_W}} \right\}_1} = \frac{1}{2}\left( {{{\left\{ {T_W^{in}} \right\}}_1}+T_W^{out}} \right) = \frac{{55,48^\circ C+80^\circ C}}{2} = 67,74^\circ C

Für diese Werte gibt es keinen Eintrag in der Tabelle mit Stoffwerten.

Lineare Interpolation:

lineare-interpolation

\frac{{{y_2}-{y_1}}}{{{x_2}-{x_1}}} = \frac{{{y_m}-{y_1}}}{{{x_m}-{x_1}}}\quad \Rightarrow \quad \left( {{x_m}-{x_1}} \right)\frac{{{y_2}-{y_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}+{y_1} = {y_m}

Angewandt auf die Tabelle aus dem VDI Wärmeatlas:

{\rho _{W,65^\circ C}} = 980,57\frac{{kg}}{{{m^3}}},\quad \quad {\rho _{W,70^\circ C}} = 977,78\frac{{kg}}{{{m^3}}}

{\rho _{W,67,74^\circ C}} = \left( {67,74^\circ C-65^\circ C} \right)\frac{{977,78\frac{{kg}}{{{m^3}}}-980,57\frac{{kg}}{{{m^3}}}}}{{70^\circ C-65^\circ C}}+980,57\frac{{kg}}{{{m^3}}} = 979,04\frac{{kg}}{{{m^3}}}

{c_{W,65^\circ C}} = 4,185\frac{{kJ}}{{kg \cdot K}},\quad \quad {c_{W,70^\circ C}} = 4,188\frac{{kJ}}{{kg \cdot K}}

{c_{W,67,74^\circ C}} = \left( {67,74^\circ C-65^\circ C} \right)\frac{{4,188\frac{{kJ}}{{kg \cdot K}}-4,185\frac{{kJ}}{{kg \cdot K}}}}{{70^\circ C-65^\circ C}}+4,185\frac{{kJ}}{{kg \cdot K}} = 4,187\frac{{kJ}}{{kg \cdot K}}

Dies setzen wir in die iterative Gleichung ein:

T_W^{in} = T_W^{out}-\frac{{10 \cdot {{\dot Q}_{\max} }}}{{{\rho _W}{{\dot V}_W}{c_W}}}

{\left\{ {T_W^{in}} \right\}_2} = 80^\circ C-\frac{{10 \cdot 10kW}}{{979,04\frac{{kg}}{{{m^3}}} \cdot {{10}^{-3}}\frac{m}{s} \cdot 4,187\frac{{kJ}}{{kgK}}}} = 55,61^\circ C

Dies weicht nur wenig von dem Ergebnis des ersten Iterationsschrittes ab, daher ist es in Ordnung, hier abzubrechen.

b )

Nun ist die erforderliche Länge des Wärmeübertragers gesucht. Diese berechnen wir wie immer mit der Gleichung
{{\dot Q}_V} = \frac{{\Delta {T_{\log }}}}{{{R_{ges}}}},\quad {R_{ges}} = \frac{1}{{{h_i}{A_i}}}

\quad \Rightarrow \quad {{\dot Q}_V} = \Delta {T_{\log }} \cdot {h_i} \cdot {A_i} = \Delta {T_{\log }} \cdot {h_i} \cdot {d_i} \cdot \pi \cdot L

\quad \Rightarrow \quad L = \frac{{{{\dot Q}_V}}}{{\Delta {T_{\log }} \cdot {h_i} \cdot {d_i} \cdot \pi }}

Dabei wurde berücksichtigt, dass die Wandstärke des Innenrohres vernachlässigt werden soll.

Für die logarithmische Temperaturdifferenz gilt:

\Delta {T_{\log }} = \frac{{\Delta {T_L}-\Delta {T_0}}}{{\ln \left( {\frac{{\Delta {T_L}}}{{\Delta {T_0}}}} \right)}}

Die Temperaturdifferenzen sind:

\Delta {T_0} = {T_D}-T_W^{in} = 150^\circ C-55,61^\circ C = 94,39K

\Delta {T_L} = {T_D}-T_W^{out} = 150^\circ C-80^\circ C = 70K

\Delta {T_{\log }} = \frac{{\Delta {T_L}-\Delta {T_0}}}{{\ln \left( {\frac{{\Delta {T_L}}}{{\Delta {T_0}}}} \right)}} = 81,59^\circ C

Wir müssen nun nur noch den Wärmeübergangskoeffizienten {h_i} bestimmen. Diesen erhalten wir aus der Nußeltzahl:

N{u_{m,T,i}} = \frac{{{h_i} \cdot {d_h}}}{{{k_W}}}\quad \Rightarrow \quad {h_i} = \frac{{N{u_{m,T,i}} \cdot {k_W}}}{{{d_h}}}

Leider kennen wir die relevante Nußeltzahl nicht und können sie auch nicht ohne weiteres bestimmen. Wir kennen allerdings die Nußelt-Beziehung für ein allgemeines Rohr:

N{u_{Rohr}} = \frac{{\frac{\xi }{8}\operatorname{Re} \Pr }}{{1+12.7\sqrt {\frac{\xi }{8}} \left( {{{\Pr }^{\frac{2}{3}}}-1} \right)}}\left[ {1+{{\left( {\frac{{{d_h}}}{L}} \right)}^{\frac{2}{3}}}} \right]

\xi = \frac{1}{{{{\left[ {1.8 \cdot {{\log }_{10}}\left( {\operatorname{Re} } \right)-1.5} \right]}^2}}}

Wenn wir diese Nußeltzahl nicht mit dem normalen Rohrdurchmesser bilden, sondern mit dem hydraulischen Durchmesser, können wir sie in die benötigte Nußeltzahl umrechnen. Dazu ist folgende Relation gegeben:

\frac{{N{u_{m,T,i}}}}{{N{u_{Rohr}}}} = 0.86{\left( {\frac{{{d_i}}}{{{d_a}}}} \right)^{-0.16}}

Wir bestimmen die Reynolds-Zahl:

{\operatorname{Re} _{{d_h}}} = \frac{{{d_h} \cdot w}}{{{\nu _W}}}

{d_h} = {d_a}-{d_i} = 0,01m

w = \frac{{\dot V}}{{{A_q}}} = \frac{{\dot V}}{{\frac{\pi }{4}\left( {d_a^2-d_i^2} \right)}} = 1,415\frac{m}{s}

\quad \Rightarrow \quad {\operatorname{Re} _{{d_h}}} = \frac{{0,01m \cdot 1,415\frac{m}{s}}}{{0,426 \cdot {{10}^{-6}}\frac{{{m^2}}}{s}}} = 33216

Wir brauchen nun noch die Prandtlzahl. Diese entnehmen wir der Tabelle mit Stoffdaten:

\Pr = 2,642

Wir bestimmen noch den Verlustfaktor:

\xi = \frac{1}{{{{\left( {1,8{{\log }_{10}}\left( {\operatorname{Re} } \right)-1,5} \right)}^2}}} = 2,27 \cdot {10^{-2}}

Die Nußeltzahl für das einfache Rohr ist dann:

N{u_{Rohr}} = \frac{{\frac{\xi }{8}\operatorname{Re} \Pr }}{{1+12,7 \cdot \sqrt {\frac{\xi }{8}} \left( {{{\Pr }^{\frac{2}{3}}}-1} \right)}} \cdot \underbrace {\left( {1+{{\left( {\frac{{{d_h}}}{L}} \right)}^{\frac{2}{3}}}} \right)}_{ \approx 1} = 154,1

Dabei wurde die hintere Klammer vernachlässigt, da die Länge noch nicht bekannt ist und wir vermuten, dass sie viel größer als der Durchmesser sein wird. Wir bestimmen nun die relevante Nußeltzahl:

N{u_{m,T,i}} = N{u_{Rohr}} \cdot 0,86{\left( {\frac{{{d_i}}}{{{d_a}}}} \right)^{-0,16}} = 137,3

Mit der Wärmeleitfähigkeit des Wassers aus der Tabelle mit Stoffdaten

{k_W} = 661,2 \cdot {10^{-3}}\frac{W}{{mK}}

können wir nun den Wärmeübergangskoeffizienten für die Außenrohrinnenseite bestimmen:

{h_i} = \frac{{N{u_{m,T,i}} \cdot {k_W}}}{{{d_h}}} = 9078,3\frac{W}{{{m^2}K}}

Schließlich erhalten wir die notwendige Länge des Wärmeübertragers:

L = \frac{{{{\dot Q}_V}}}{{\Delta {T_{\log }} \cdot {h_i} \cdot {d_i} \cdot \pi }} = \frac{{10 \cdot {{10}^4}W}}{{81,59K \cdot 9078,3\frac{W}{{{m^2}K}} \cdot 40 \cdot {{10}^{-3}}m \cdot \pi }} = 1,074m

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