09.1 – Hermite-Interpolation

 

Bei der {C^1}-Hermite-Interpolation werden neben den Funktionswerten f\left( x \right) auch die Werte der ersten Ableitung {f^\prime }\left( x \right) an den Stützstellen interpoliert. Es seien die Stützstellen {x_i},\:\:i = 1,2, \ldots ,n gegeben. Eine Inerpolante s\left( x \right) im Intervall \left[ {{x_0},{x_n}} \right] mit den Eigenschaften

s \in {C^1}\left( {\left[ {{x_0},{x_n}} \right]} \right)

{s^{\left( 4 \right)}}\left( x \right) = 0\quad \quad \forall {x_i} < x < {x_{i+1}},\quad i = 0,1, \ldots ,n-1

s\left( {{x_i}} \right) = f\left( {{x_i}} \right),\quad \quad {s^\prime }\left( {{x_i}} \right) = {f^\prime }\left( {{x_i}} \right),\quad \quad i = 0,1, \ldots ,n

heißt C1-Hermite Interpolante. In jedem Teilintervall \left[ {{x_i},{x_{i+1}}} \right] ist diese ein Polynom {s_i} der Form

{s_i}\left( x \right) = {a_i}+{b_i}\left( {x-{x_i}} \right)+{c_i}{\left( {x-{x_i}} \right)^2}+{d_i}{\left( {x-{x_i}} \right)^3}\quad \quad \quad \left( 2 \right)

mit noch zu bestimmenden Koeffizienten {a_i},{b_i},{c_i},{d_i}.

a )

Bestimmen Sie die Koeffizienten in Abhängigkeit von f\left( {{x_i}} \right),\:\:{f^\prime }\left( {{x_i}} \right),\:\:f\left( {{x_{i+1}}} \right),\:\:{f^\prime }\left( {{x_{i+1}}} \right).

b )

Ordnet man in (2) die rechte Seite nach den Koeffizienten f\left( {{x_i}} \right),\:\:{f^\prime }\left( {{x_i}} \right),\:\:f\left( {{x_{i+1}}} \right),\:\:{f^\prime }\left( {{x_{i+1}}} \right) und normiert das Teilintervall auf \left[ {0,1} \right], so ergibt sich für {s_i}\left( x \right) die Darstellung

{s_i}\left( x \right) = f\left( {{x_i}} \right){\phi _1}\left( t \right)+f\left( {{x_{i+1}}} \right){\phi _2}\left( t \right)+{f^\prime }\left( {{x_i}} \right){h_i}{\phi _3}\left( t \right)+{f^\prime }\left( {{x_{i+1}}} \right){h_i}{\phi _4}\left( t \right)

mit {h_i}: = {x_{i+1}}-{x_i},\quad t = \frac{{x-{x_i}}}{{{h_i}}}.

Bestimmen und skizzieren Sie die Basisfunktionen {\phi _1}\left( t \right), \ldots ,{\phi _4}\left( t \right)

Lösung

a )

{s_i}\left( x \right) = {a_i}+{b_i}\left( {x-{x_i}} \right)+{c_i}{\left( {x-{x_i}} \right)^2}+{d_i}{\left( {x-{x_i}} \right)^3}

s\left( {{x_i}} \right) = f\left( {{x_i}} \right),\quad i = 0,1, \ldots ,n

{s^\prime }\left( {{x_i}} \right) = {f^\prime }\left( {{x_i}} \right),\quad i = 0,1, \ldots ,n

Abkürzungen:

f\left( {{x_i}} \right) = {y_i},\quad {f^\prime }\left( {{x_i}} \right) = y_i^\prime ,\quad {h_i} = {x_{i+1}}-{x_i}

Gesucht: {a_i},{b_i},{c_i},{d_i}

Bestimmungsgleichungen:

\left( I \right)\quad \quad {s_i}\left( {{x_i}} \right) = {a_i} = {y_i}

\left( {II} \right)\quad \quad s_i^\prime \left( x \right) = {b_i}+2{c_i}\left( {x-{x_i}} \right)+3{d_i}{\left( {x-{x_i}} \right)^2}\quad \Rightarrow \quad s_i^\prime \left( {{x_i}} \right) = {b_i} = y_i^\prime

\left( {III} \right)\quad \quad {s_i}\left( {{x_{i+1}}} \right) = {a_i}+{b_i}{h_i}+{c_i}h_i^2+{d_i}h_i^3 = {y_{i+1}}

\left( {IV} \right)\quad \quad s_i^\prime \left( {{x_{i+1}}} \right) = {b_i}+2{c_i}{h_i}+3{d_i}h_i^2 = y_{i+1}^\prime

Dies ist ein lineares Gleichungssystem, das wir nun lösen wollen.

3 \cdot III-{h_i}IV:

3{a_i}+3{b_i}{h_i}+3{c_i}h_i^2+3{d_i}h_i^3-{b_i}{h_i}-2{c_i}h_i^2-3{d_i}h_i^3 = 3{y_{i+1}}-{h_i}y_{i+1}^\prime

I,II:

3{y_i}+2y_i^\prime {h_i}+{c_i}h_i^2 = 3{y_{i+1}}-{h_i}y_{i+1}^\prime

\quad \Rightarrow \quad {c_i} = \frac{{3{y_{i+1}}-3{y_i}}}{{h_i^2}}-\frac{{y_{i+1}^\prime +2y_i^\prime }}{{{h_i}}}

III:

{d_i}h_i^3 = {y_{i+1}}-{y_i}-y_i^\prime {h_i}-3{y_{i+1}}+3{y_i}+{h_i}y_{i+1}^\prime +2y_i^\prime h

\quad \Rightarrow \quad {d_i} = \frac{{2\left( {{y_i}-{y_{i+1}}} \right)}}{{h_i^3}}+\frac{{y_{i+1}^\prime +y_i^\prime }}{{h_i^2}}

Es können also alle Koeffizienten einzeln bestimmt werden. Bei der Hermite-Interpolation hängen die Koeffizienten der verschiedenen Splines nicht zusammen.

b )

Wir formen das Ergebnis der ersten Teilaufgabe um, nachdem wir die oben bestimmten Koeffizienten eingesetzt haben:

{s_i}\left( x \right) = {y_i}+y_i^\prime \left( {x-{x_i}} \right)+\left( {\frac{{3\left( {{y_{i+1}}-{y_i}} \right)}}{{h_i^2}}-\frac{{y_{i+1}^\prime +2y_i^\prime }}{{{h_i}}}} \right){\left( {x-{x_i}} \right)^2}

+\left( {\frac{{2\left( {{y_i}-{y_{i+1}}} \right)}}{{h_i^3}}+\frac{{y_{i+1}^\prime +y_i^\prime }}{{h_i^2}}} \right){\left( {x-{x_i}} \right)^3}

= {y_i}\left( {1-\frac{3}{{{h^2}}}{{\left( {x-{x_i}} \right)}^2}+\frac{2}{{h_i^3}}{{\left( {x-{x_i}} \right)}^3}} \right)+{y_{i+1}}\left( {\frac{3}{{h_i^2}}{{\left( {x-{x_i}} \right)}^2}-\frac{2}{{h_i^3}}{{\left( {x-{x_i}} \right)}^3}} \right)

+y_i^\prime \left( {\left( {x-{x_i}} \right)-\frac{2}{{{h_i}}}{{\left( {x-{x_i}} \right)}^2}+\frac{1}{{h_i^2}}{{\left( {x-{x_i}} \right)}^3}} \right)

+y_{i+1}^\prime \left( {-\frac{1}{{{h_i}}}{{\left( {x-{x_i}} \right)}^2}+\frac{1}{{h_i^2}}{{\left( {x-{x_i}} \right)}^3}} \right)

Mit t = \frac{{x-{x_i}}}{{{h_i}}} wird auf \left[ {0,1} \right] normiert. Daraus folgen die Polynome:

{\phi _1}\left( t \right) = 1-3{t^2}+2{t^3}

{\phi _2}\left( t \right) = 3{t^2}-2{t^3}

{\phi _3}\left( t \right) = t-2{t^2}+{t^3}

{\phi _4}\left( t \right) = -{t^2}+{t^3}

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