u06.2 – Hermite-Polynome und Orthonormalbasis im L2

 

Wir betrachten {\left\{ {{{\tilde e}_k}} \right\}_{k \in {\mathbb{N}_0}}} \subset {L^2}\left( \mathbb{R} \right) mit {{\tilde e}_k}\left( t \right): = {t^k}\exp \left\{ {-\frac{{{t^2}}} {2}} \right\}.

a )

Mit Hilfe des Gram-Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahrens konstruiere man aus {\left\{ {{{\tilde e}_k}} \right\}_{k \in {\mathbb{N}_0}}} induktiv eine Orthonormalbasis {\left\{ {{e_k}} \right\}_{k \in {\mathbb{N}_0}}} von {L^2}\left( \mathbb{R} \right).

b )

Die orthogonalisierten Funktionen

{e_k}\left( t \right) = \sqrt {\frac{1} {{{2^k}k!\sqrt \pi  }}} {H_k}\left( t \right)\exp \left\{ {-\frac{{{t^2}}} {2}} \right\},\quad k \in {\mathbb{N}_0}

aus a) werden als Hermite-Funktionen bezeichnet. Dabei steht

{H_k}\left( t \right) = {\left( {-1}\right)^k}\exp \left\{ {{t^2}} \right\}\frac{{{d^k}}}{{d{t^k}}}\left[ {\exp \left\{ {-{t^2}} \right\}} \right]

für ein Hermite-Polynom vom Grad k. Prüfen Sie die Identitäten für die Fälle k=0,1,2.

c )

Zeigen Sie, dass die Hermite-Polynome die Rekursion H_k^\prime  = 2k{H_{k-1}},\quad k \geq 1 erfüllen.

Lösung

a )

Gegeben: {\tilde e_0},{\tilde e_1}, \ldots ,{\tilde e_k}, \ldots

{{\tilde e}_k}\left( t \right) = {t^k}{e^{-\frac{{{t^2}}} {2}}}\quad  \in {L^2}\left( \mathbb{R} \right)

Gesucht: {e_0},{e_1}, \ldots ,{e_k}, \ldots

Verfahren von Gram Schmidt:

{{\tilde e}_0}\left( t \right) = {e^{-\frac{{{t^2}}} {2}}},\quad {f_0}\left( t \right): = {{\tilde e}_0}\left( t \right)

{e_0} = \frac{{{f_0}\left( t \right)}} {{{{\left\| {{f_0}} \right\|}_{{L^2}\left( \mathbb{R} \right)}}}},\quad \left\| {{{\tilde e}_0}} \right\|_{{L^2}\left( \mathbb{R} \right)}^2 = \int_{-\infty }^\infty  {{{\left( {{e^{-\frac{{{t^2}}} {2}}}} \right)}^2}dt}  = \int_{-\infty }^\infty  {{e^{-{t^2}}}dt}  = \sqrt \pi

\quad  \Rightarrow \quad {e_0} = \frac{{{e^{-\frac{{{t^2}}} {2}}}}} {{\sqrt {\sqrt \pi  } }} = \frac{{{e^{-\frac{{{t^2}}} {2}}}}} {{\sqrt[4]{\pi }}}

{f_1}\left( t \right) = {{\tilde e}_1}-{\left\langle {{{\tilde e}_1},{e_0}} \right\rangle _{{L^2}\left( \mathbb{R} \right)}}{e_0}

{e_1}\left( t \right) = \frac{{{f_1}\left( t \right)}} {{{{\left\| {{f_1}} \right\|}_{{L^2}\left( \mathbb{R} \right)}}}}

{\left\langle {{{\tilde e}_1},{e_0}} \right\rangle _{{L^2}\left( \mathbb{R} \right)}} = \int_{-\infty }^\infty  {t{e^{-\frac{{{t^2}}} {2}}}{e^{-\frac{{{t^2}}} {2}}}\frac{1} {{\sqrt[4]{\pi }}}dt}  = \frac{1} {{\sqrt[4]{\pi }}}\int_{-\infty }^\infty  {t{e^{-{t^2}}}dt}  = 0

{f_1}\left( t \right) = {{\tilde e}_1} = t{e^{-\frac{{{t^2}}} {2}}}

{e_1}\left( t \right) = \frac{{{f_1}\left( t \right)}} {{{{\left\| {{f_1}} \right\|}_{{L^2}\left( \mathbb{R} \right)}}}}

\left\| {{f_1}} \right\|_{{L^2}\left( \mathbb{R} \right)}^2 = \int_{-\infty }^\infty  {{t^2}{e^{-{t^2}}}dt}  = 2\int_0^\infty  {{t^2}{e^{-{t^2}}}dt}  = \frac{{\sqrt \pi  }} {2}

{e_1}\left( t \right) = \frac{{t{e^{-\frac{{{t^2}}}{2}}}}}{{\sqrt {\frac{{\sqrt \pi  }}{2}} }}

{f_2}\left( t \right) = {{\tilde e}_2}-{\left\langle {{{\tilde e}_2},{e_0}} \right\rangle _{{L^2}\left( \mathbb{R} \right)}}{e_0}-{\left\langle {{{\tilde e}_2},{e_1}} \right\rangle _{{L^2}\left( \mathbb{R} \right)}}{e_1}

{e_2}\left( t \right) = \frac{{{f_2}\left( t \right)}} {{{{\left\| {{f_2}} \right\|}_{{L^2}\left( \mathbb{R} \right)}}}}

allgemein:

{f_k}\left( t \right) = {{\tilde e}_k}-\sum\limits_{i = 0}^{k-1} {{{\left\langle {{{\tilde e}_k},{e_i}} \right\rangle }_{{L^2}\left( \mathbb{R} \right)}}{e_i}}

mit

{e_k} = \frac{{{f_k}\left( t \right)}}{{{{\left\| {{f_k}} \right\|}_{{L^2}\left( \mathbb{R} \right)}}}}

b )

{e_k}\left( t \right) = \sqrt {\frac{1} {{{2^k}k!\sqrt \pi  }}} {H_k}\left( t \right){e^{-\frac{{{t^2}}} {2}}},\quad k \in {\mathbb{N}_0}

mit

{H_k}\left( t \right) = {\left( {-1} \right)^k}{e^{{t^2}}}\frac{{{d^k}}} {{d{t^k}}}{e^{-{t^2}}}

also

{e_k}\left( t \right) = \sqrt {\frac{1} {{{2^k}k!\sqrt \pi  }}} {\left( {-1} \right)^k}{e^{{t^2}}}\left( {\frac{{{d^k}}} {{d{t^k}}}{e^{-{t^2}}}} \right){e^{-\frac{{{t^2}}} {2}}},\quad k \in {\mathbb{N}_0}

Es ergeben sich die Funktionen

{H_0}\left( t \right) = 1

{H_1}\left( t \right) = 2t

{H_2}\left( t \right) = 4{t^2}-2

Wir müssen die folgenden beiden Eigenschaften nachweisen:

{\left\langle {{e_k},{e_m}} \right\rangle _{{L^2}\left( \mathbb{R} \right)}} = 0,\quad k \ne m,\quad \left\langle {{e_k},{e_k}} \right\rangle  = 1

Für das Skalarprodukt von zwei unterschiedlichen Funktionen ergibt sich:

\int_{-\infty }^\infty  {\sqrt {\frac{1} {{{2^k}k!\sqrt \pi  }}} {H_k}\left( t \right){e^{-\frac{{{t^2}}} {2}}}\sqrt {\frac{1} {{{2^m}m!\sqrt \pi  }}} {H_m}\left( t \right){e^{-\frac{{{t^2}}} {2}}}dt}  = 0

\quad  \Rightarrow \quad \int_{-\infty }^\infty  {{H_k}\left( t \right){H_m}\left( t \right){e^{-{t^2}}}dt}  = 0

Die erste Voraussetzung ist also erfüllt. Also sind {H_k}\left( t \right) und {H_m}\left( t \right) orthogonal mit dem Gewicht {{e^{-{t^2}}}}.

Für die zweite Voraussetzung setzen wir ein:

\int_{-\infty }^\infty  {{e_k}{e_k}dt}  = \int_{-\infty }^\infty  {\frac{1} {{{2^k}k!\sqrt \pi  }}H_k^2\left( t \right){e^{-{t^2}}}dt}

=\frac{1}{{{2^k}k!\sqrt \pi  }}\int_{-\infty }^\infty  {H_k^2\left( t \right){e^{-{t^2}}}dt}=1\quad\quad\forall k

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2 Kommentare zu “u06.2 – Hermite-Polynome und Orthonormalbasis im L2”

Bei der rekursiven Orthogonalisierung muss in den Koeffizienten noch durch das Skalarprodukt der zugehörigen Vektoren geteilt werden.

Hallo, danke für den Hinweis… Ich habe die Aufgabe eben noch einmal überflogen und konnte leider nicht ganz nachvollziehen, welche Koeffizienten du meinst. Bei a) wird doch schon durch die Norm geteilt.

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