11 – Hitzedrahtanemometrie im Windkanal

 

Zur Messung der Luftgeschwindigkeit in einem Hochtemperatur-Windkanal wird senkrecht zur Strömungsrichtung ein mit Gleichstrom beheizter Draht aufgespannt. Der Draht besitzt einen Durchmesser d = 0,1mm und eine Länge L = 10mm. An ihn ist eine Gleichspannung von U = 6V bei einer Stromstärke von I = 50mA angelegt.
Wie groß ist die Luftgeschwindigkeit {w_\infty }, wenn sich bei einer Lufttemperatur {T_L} = 260^\circ C eine Drahttemperatur {T_D} = 340^\circ C einstellt?
Für den Wärmeübergang am quer angeströmten Rohr mit dem Durchmesser d soll die Beziehung

N{u_d} = 1,1 \cdot \operatorname{Re} _d^{0,4}{\Pr ^{0,75}}

gelten. Die mittleren Stoffwerte für Luft sind in folgender Tabelle angegeben:

Dichte: \rho = 0,62\frac{{kg}}{{{m^3}}}
Wärmeleitfähigkeit: k = 0,046\frac{W}{{mK}}
Spez. Wärmekapazität: {c_p} = 1,05 \cdot {10^3}\frac{J}{{kgK}}
Kinematische Viskosität: \nu = 48 \cdot {10^{-6}}\frac{{{m^2}}}{s}

Lösung

Dieser Aufgabe liegt das Prinzip der Hitzedrahtanemometrie (HDA), also der Geschwindigkeitsmessung durch einen heißen Draht, zugrunde.

Skizze des Problems:

hitzedrahtanemometrie-warmeubertragung

Gesucht ist die Strömungsgeschwindigkeit. Berechnen können wir diese mit der Reynoldszahl. Die Reynoldszahl berechnet sich aus der Strömungsgeschwindigkeit, dem Durchmesser des Drahts und der kinematischen Viskosität des Fluids:

\operatorname{Re} = \frac{{{w_\infty } \cdot d}}{\nu }\quad \Rightarrow \quad {w_\infty } = \frac{{\operatorname{Re} \: \cdot \nu }}{d}

Leider kennen wir die Reynoldszahl nicht. Diese lässt sich durch Umstellen aus einer Nußelt-Beziehung der Form

Nu = f\left( {\operatorname{Re} ,\Pr } \right) = \frac{{h \cdot l}}{{{k_{Fluid}}}}

bestimmen. Dabei ist \operatorname{Re} die Reynoldszahl und \Pr die Prandtlzahl. l bezeichnet eine charakteristische Länge (z.B. die Länge des Systems oder ein dort auftretender Durchmesser). {k_{Fluid}} ist die Wärmeleitfähigkeit des Fluids.

Die Nußeltzahl darf nicht mit der Biotzahl verwechselt werden:

Bi = \frac{{h \cdot l}}{{{k_{Feststoff}}}}

Im vorliegenden Fall ist die Nußelt- und damit auch die Reynoldszahl auf den Drahtdurchmesser d bezogen und die folgende Korrelation gegeben:

N{u_d} = \frac{{h \cdot d}}{{{k_{Fluid}}}} = 1,1 \cdot \operatorname{Re} _d^{\frac{2}{5}}{\Pr ^{\frac{3}{4}}}\quad \Rightarrow \quad \operatorname{Re} _d^{\frac{2}{5}} = \frac{{h \cdot d}}{{{k_{Fluid}} \cdot 1,1 \cdot {{\Pr }^{\frac{3}{4}}}}}

\quad \Rightarrow \quad {\operatorname{Re} _d} = {\left( {\frac{{h \cdot d}}{{{k_{Fluid}} \cdot 1,1 \cdot {{\Pr }^{\frac{3}{4}}}}}} \right)^{\frac{5}{2}}}

Die Prandtlzahl berechnet sich aus der kinematischen Viskosität und der Temperaturleitfähigkeit:

\Pr = \frac{\nu }{\alpha } = \frac{{\eta \cdot {c_p}}}{k} = \frac{{\nu \cdot {c_p} \cdot \rho }}{k} = \frac{{48 \cdot {{10}^{-6}}\frac{{{m^2}}}{s} \cdot 1,05\frac{{kJ}}{{kg \cdot K}} \cdot 0,62\frac{{kg}}{{{m^3}}}}}{{0,046\frac{W}{{m \cdot K}}}} = 0,6793

Es handelt sich um stationären Betrieb, die innere Energie des Systems „Draht“ bleibt unverändert. Der erste Hauptsatz der Thermodynamik lautet für dieses System:

\underbrace {\frac{{dU}}{{dt}}}_{ = 0} = \sum {\dot Q} +\sum {\dot W} +\underbrace {\sum {\dot m \cdot h} }_{ = 0}

0 = {P_{el}}-{{\dot Q}_K} = U \cdot I-h \cdot A \cdot \Delta T

0 = U \cdot I-h \cdot \underbrace {d \cdot \pi \cdot L}_{ = A} \cdot \left( {{T_D}-{T_L}} \right)

Die dem Draht zugeführte und in ihm dissipierende elektrische Leistung wird gerade durch die umströmende Luft abgeführt. Wir können daraus den Wärmeübergangskoeffizienten bestimmen:
h = \frac{{U \cdot I}}{{d \cdot \pi \cdot L \cdot \left( {{T_D}-{T_L}} \right)}} = \frac{{6V \cdot 0,05A}}{{\pi \cdot 0,1 \cdot {{10}^{-3}}m \cdot 0,01m \cdot \left( {340-260} \right)K}} = 1193,7\frac{W}{{{m^2}K}}

Einsetzen:

{\operatorname{Re} _d} = {\left( {\frac{{h \cdot d}}{{{k_{Fluid}} \cdot 1,1 \cdot {{\Pr }^{\frac{3}{4}}}}}} \right)^{\frac{5}{2}}} = {\left( {\frac{{1193,7\frac{W}{{{m^2}K}} \cdot 0,1 \cdot {{10}^{-3}}m}}{{0,046\frac{W}{{m \cdot K}} \cdot 1,1 \cdot {{0,6793}^{\frac{3}{4}}}}}} \right)^{\frac{5}{2}}} = 17,65

Damit erhalten wir für die Strömungsgeschwindigkeit:

{w_\infty } = \frac{{\operatorname{Re} \: \cdot \nu }}{d} = \frac{{17,65 \cdot 48 \cdot {{10}^{-6}}\frac{{{m^2}}}{s}}}{{0,1 \cdot {{10}^{-3}}m}} = 8,47\frac{m}{s}

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