02.2 – Höhenformeln

Der Druck p₀ = 1,013bar und die Temperatur T₀ = 283K sind für eine Luftatmosphäre (spezifische Gaskonstante R = 287m²/(s²K)), in der Höhe z = 0 bekannt.

a) Gemäß der Annahme, dass sich der Zustand des Gases in der Atmosphäre isotherm ändert, sollen der Druck und die Dichte der Atmosphäre in Abhängigkeit von der Höhe z berechnet werden.

b) Gemäß der Annahme, dass sich der Zustand des Gases in der Atmosphäre polytrop ändert, sollen der Druck und die Dichte der Atmosphäre in Abhängigkeit von der Höhe z berechnet werden. Zur Berechnung ist dazu zusätzlich der Temperaturgradient dT/dz = -0,007K/m bekannt.

Lösung

Zunächst benötigen wir, den Zusammenhang zwischen Druck und Höhe, den wir nun anhand eines differentiellen Luftelementes herleiten werden:

Grafik

Es gilt:

$dA \cdot p = G+dA \cdot \left( {p+dp} \right)$

$\Rightarrow \quad dA \cdot p = \rho \left( z \right) \cdot dA \cdot dz \cdot g+dA \cdot \left( {p+dp} \right)$

$\Rightarrow \quad 0 = \rho \left( z \right) \cdot dz \cdot g+dp$

$\left( { \Rightarrow \quad \frac{{dp}} {{dz}} = -\rho \left( z \right) \cdot g} \right)$

$\Rightarrow \quad \underline{\underline {dz = -\frac{1} {g} \cdot \frac{{dp}} {{\rho \left( z \right)}}}}$

Dies ist die Grundgleichung der Aerostatik.
Durch Integration folgt daraus:

$\Rightarrow \quad \underline{\underline {z = -\frac{1} {g} \cdot \int\limits_{P0}^{P\left( z \right)} {\frac{1} {{\rho \left( z \right)}}} \:dp}}$

a)

In einer isothermen Atmosphäre (T = T₀ = const.) unter Annahme eines idealen Gases gilt:

$p = \rho RT\quad \Rightarrow \quad \frac{1} {\rho } = \frac{{RT_0 }} {p}$

Eingesetzt in die oben hergeleitete Gleichung erhalten wir:

$z = -\frac{1} {g} \cdot \int\limits_{P0}^{P\left( z \right)} {\frac{1} {{\rho \left( z \right)}}} \:dp$

$\Rightarrow \quad z = -\frac{1} {g} \cdot \int\limits_{P0}^{P\left( z \right)} {\frac{{RT_0 }} {p}} \:dp$

$\Rightarrow \quad z = -\underbrace {\frac{{RT_0 }} {g}}_{H_0 } \cdot \left[ {\ln p} \right]_{P_0 }^{P\left( z \right)}$

$\Rightarrow \quad z = -H_0 \cdot \ln \frac{{p\left( z \right)}} {{p_0 }}$

Da wir den Druck bzw. die Dichte in Abhängigkeit der Höhe berechnen wollen, stellen wir die Formel nach der Höhe um:

$z = -H_0 \cdot \ln \frac{{p\left( z \right)}} {{p_0 }}$

$\Rightarrow \quad \underline{\underline {p\left( z \right) = p_0 \cdot e^{-\frac{z} {{H_0 }}} }}$

Für die Dichte Folgt somit:

$\Rightarrow \quad \rho \left( z \right)RT = \rho _0 RT \cdot e^{-\frac{z} {{H_0 }}}$

$\Rightarrow \quad \underline{\underline {\rho \left( z \right) = \rho _0 \cdot e^{-\frac{z} {{H_0 }}} }}$

b)

In einer polytropen Atmosphäre (Standard Atmosphäre) nutzen wir den sog. Polytropenansatz:

$\frac{p} {{\rho ^n }} = \frac{{p_0 }} {{\rho _0^n }} = konst.\quad$ oder auch $\quad\frac{{p_1 }} {{p_0 }} = \left( {\frac{{\rho _1 }} {{\rho _0 }}} \right)^n = \left( {\frac{{T_1 }} {{T_0 }}} \right)^{\frac{n} {{n-1}}}$

Hierbei ist n der sog. Polytropenexponent. In einer isothermen Atmosphäre ist er = 1 und in einer isentropen Atmosphäre dem Isentropenexponenten κ.

Nun formen wir um, setzen anschließend wieder in die hergeleitete Formel ein und lösen diese nach p auf:

$\rho = \rho _0 \left( {\frac{p} {{p_0 }}} \right)^{\frac{1} {n}}$

$z = -\frac{1} {g} \cdot \int\limits_{P0}^{P\left( z \right)} {\frac{1} {{\rho \left( z \right)}}} \:dp$

$\Rightarrow \quad z = -\frac{1} {g} \cdot \frac{{p_0 ^{\frac{1} {n}} }} {{\rho _0 }} \cdot \int\limits_{P0}^{P\left( z \right)} {p^{-\frac{1} {n}} } \:dp$

$\Rightarrow \quad z = -\frac{1} {g} \cdot \frac{{p_0 ^{\frac{1} {n}} }} {{\rho _0 }} \cdot \left[ {\frac{1} {{^{1-\frac{1} {n}} }}p^{1-\frac{1} {n}} } \right]_{P_0 }^{P\left( z \right)} = -\frac{1} {g} \cdot \frac{{p_0 ^{\frac{1} {n}} }} {{\rho _0 }} \cdot \left[ {\frac{n} {{n-1}}p^{\frac{{n-1}} {n}} } \right]_{P_0 }^{P\left( z \right)}$

$\Rightarrow \quad z = -\frac{1} {g} \cdot \frac{{p_0 ^{1-1+\frac{1} {n}} }} {{\rho _0 }} \cdot \left[ {\frac{n} {{n-1}}p\left( z \right)^{\frac{{n-1}} {n}} -\frac{n} {{n-1}}p_0 ^{\frac{{n-1}} {n}} } \right]$

$\Rightarrow \quad z = -\underbrace {\frac{{p_0 }} {{g \cdot \rho _0 }}}_{H_0 } \cdot p_0 ^{-1+\frac{1} {n}} \cdot \frac{n} {{n-1}} \cdot \left[ {p\left( z \right)^{\frac{{n-1}} {n}} -p_0 ^{\frac{{n-1}} {n}} } \right]$

$\Rightarrow \quad \frac{z} {{H_0 }} \cdot \frac{{n-1}} {n} = -p_0 ^{\frac{{1-n}} {n}} \cdot \left[ {p\left( z \right)^{\frac{{n-1}} {n}} -p_0 ^{\frac{{n-1}} {n}} } \right]$

$\Rightarrow \quad \frac{z} {{H_0 }} \cdot \frac{{n-1}} {n} = -p_0 ^{\frac{{1-n}} {n}} \cdot p\left( z \right)^{\frac{{n-1}} {n}} +\underbrace {p_0 ^{\frac{{1-n}} {n}} \cdot p_0 ^{\frac{{n-1}} {n}} }_1$

$\Rightarrow \quad p_0 ^{\frac{{1-n}} {n}} \cdot p\left( z \right)^{\frac{{n-1}} {n}} = 1-\frac{z} {{H_0 }} \cdot \frac{{n-1}} {n}$

$\Rightarrow \quad p\left( z \right)^{\frac{{n-1}} {n}} = p_0 ^{\frac{{n-1}} {n}} \cdot \left( {1-\frac{z} {{H_0 }} \cdot \frac{{n-1}} {n}} \right)$

$\Rightarrow \quad \underline{\underline {p\left( z \right) = p_0 \cdot \left( {1-\frac{z} {{H_0 }} \cdot \frac{{n-1}} {n}} \right)^{\frac{n} {{n-1}}} }}$

Mithilfe des Polytropenansatz können wir nun auch die Formel für die Dichte und die Temperatur explizit angeben:

$\frac{{p\left( z \right)}} {{p_0 }} = \left( {\frac{{\rho \left( z \right)}} {{\rho _0 }}} \right)^n = \left( {\frac{{T\left( z \right)}} {{T_0 }}} \right)^{\frac{n} {{n-1}}} = \left( {1-\frac{z} {{H_0 }} \cdot \frac{{n-1}} {n}} \right)^{\frac{n} {{n-1}}}$

$\Rightarrow \quad \underline{\underline {\rho \left( z \right) = \rho _0 \cdot \left( {1-\frac{z} {{H_0 }} \cdot \frac{{n-1}} {n}} \right)^{\frac{1} {{n-1}}} }}$

$\Rightarrow \quad \underline{\underline {T\left( z \right) = T_0 \cdot \left( {1-\frac{z} {{H_0 }} \cdot \frac{{n-1}} {n}} \right)}}$

Was nun noch fehlt ist der Polytropenexponent n. Diesen können wir mit Hilfe des gegebenen Temperaturgradienten berechnen:

$T\left( z \right) = T_0 \cdot \left( {1-\frac{z} {{H_0 }} \cdot \frac{{n-1}} {n}} \right) = T_0 -T_0 \cdot \frac{z} {{H_0 }} \cdot \frac{{n-1}} {n}$

Nun leiten wir nach z ab:

$\frac{{dT}} {{dz}} = -T_0 \cdot \frac{1} {{H_0 }} \cdot \frac{{n-1}} {n}$

$\Rightarrow \quad \frac{{dT}} {{dz}} \cdot n = -\frac{{T_0 }} {{H_0 }} \cdot \left( {n-1} \right)$

$\Rightarrow \quad \frac{{dT}} {{dz}} \cdot n = -\frac{{T_0 }} {{H_0 }} \cdot n+\frac{{T_0 }} {{H_0 }}$

$\Rightarrow \quad \frac{{dT}} {{dz}} \cdot n+\frac{{T_0 }} {{H_0 }} \cdot n = \frac{{T_0 }} {{H_0 }}$

$\Rightarrow \quad \underline{\underline {n = \frac{{\frac{{T_0 }} {{H_0 }}}} {{\frac{{dT}} {{dz}}+\frac{{T_0 }} {{H_0 }}}}}} \quad = \quad \frac{{0,03418\frac{K} {m}}} {{-0,007\frac{K} {m}+0,03418\frac{K} {m}}} = \underline{\underline {1,2575}}$