5.1 – Höherwertige Ansatzfunktionen – Quadratisches Stabelement

 

Auszug aus dem Skript der Vorlesung Finite Elemente bei Dr.-Ing Philipp Höfer an der UniBw München.

Bisher haben wir nur lineare finite Elemente betrachtet. Die Genauigkeit der Diskretisierung konnte mit einer höheren Anzahl an Elementen verbessert werden. Wir können allerdings auch höherwertige Ansatzfunktionen für den Verschiebungsansatz innerhalb eines Elementes benutzen, um die Qualität der Ergebnisse zu verbessern.

Wir setzen nun einen quadratischen Ansatz für das Verschiebungsfeld des Elements an:

u\left( {x,t} \right) = {\alpha _2}\left( t \right){x^2}+{\alpha _1}\left( t \right)x+{\alpha _0}\left( t \right)

Ein Element muss nun drei Knoten haben, damit die Parameter des Ansatzes genügend Koeffizienten zur Berechnung bekommen:

quadratische-ansatzfunktion-finite-elemente-stab

Die unbekannten Parameter {\alpha _0}, {\alpha _1} und {\alpha _2} bestimmen wir über die Randbedingungen:

u\left( {0,t} \right) = {\alpha _0}\left( t \right) = {u_1}\left( t \right)

u\left( {\frac{l}{2},t} \right) = {\alpha _2}\left( t \right){\left( {\frac{l}{2}} \right)^2}+{\alpha _1}\left( t \right)\frac{l}{2}+{\alpha _0}\left( t \right) = {u_2}\left( t \right)

u\left( {l,t} \right) = {\alpha _2}\left( t \right){l^2}+{\alpha _1}\left( t \right)l+{\alpha _0}\left( t \right) = {u_3}\left( t \right)

\Rightarrow \quad \left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1}} \\ {{u_2}} \\ {{u_3}} \end{array}} \right\} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0 \\ 1&{\frac{l}{2}}&{\frac{{{l^2}}}{4}} \\ 1&l&{{l^2}} \end{array}} \right]\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{\alpha _0}} \\ {{\alpha _1}} \\ {{\alpha _2}} \end{array}} \right\}

Durch Invertieren der Matrix können wir das Gleichungssystem lösen. Es ergibt sich:

\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{\alpha _0}} \\ {{\alpha _1}} \\ {{\alpha _2}} \end{array}} \right\} = \frac{4}{{{l^3}}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{l^3}}}{4}}&0&0 \\ {-\frac{3}{4}{l^2}}&{{l^2}}&{-\frac{{{l^2}}}{4}} \\ {\frac{l}{2}}&{-l}&{\frac{l}{2}} \end{array}} \right]\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1}} \\ {{u_2}} \\ {{u_3}} \end{array}} \right\} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0 \\ {-\frac{3}{l}}&{\frac{4}{l}}&{-\frac{1}{l}} \\ {\frac{2}{{{l^2}}}}&{-\frac{4}{{{l^2}}}}&{\frac{2}{{{l^2}}}} \end{array}} \right]\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1}} \\ {{u_2}} \\ {{u_3}} \end{array}} \right\}

Einsetzen in den Verschiebungsansatz:

u\left( {x,t} \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&x&{{x^2}} \end{array}} \right]\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{\alpha _0}\left( t \right)} \\ {{\alpha _1}\left( t \right)} \\ {{\alpha _2}\left( t \right)} \end{array}} \right\}

= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&x&{{x^2}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0 \\ {-\frac{3}{l}}&{\frac{4}{l}}&{-\frac{1}{l}} \\ {\frac{2}{{{l^2}}}}&{-\frac{4}{{{l^2}}}}&{\frac{2}{{{l^2}}}} \end{array}} \right]\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1}} \\ {{u_2}} \\ {{u_3}} \end{array}} \right\}

= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\underbrace {1-3\frac{x}{l}+2{{\left( {\frac{x}{l}} \right)}^2}}_{{H_1}\left( x \right)}}&{\underbrace {4\frac{x}{l}\left( {1-\frac{x}{l}} \right)}_{{H_2}\left( x \right)}}&{\underbrace {\frac{x}{l}\left( {2\frac{x}{l}-1} \right)}_{{H_3}\left( x \right)}} \end{array}} \right]\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1}} \\ {{u_2}} \\ {{u_3}} \end{array}} \right\}

Daraus lassen sich die Verschiebungen berechnen:

u\left( {x,t} \right) = \sum\limits_{i = 1}^3 {{H_i}\left( x \right){u_i}\left( t \right)} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{H_1}\left( x \right)}&{{H_2}\left( x \right)}&{{H_3}\left( x \right)} \end{array}} \right]\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1}} \\ {{u_2}} \\ {{u_3}} \end{array}} \right\}

= \left[ {H\left( x \right)} \right]\left\{{\hat U\left( t \right)} \right\}

Für die Dehnungen folgt:

\varepsilon \left( {x,t} \right) = \frac{{\partial u}}{{\partial x}} = \left[ {{H^\prime }\left( x \right)} \right]\left\{{\hat U\left( t \right)} \right\} = \left[ {B\left( x \right)} \right]\left\{{\hat U\left( t \right)} \right\}

= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\underbrace {-\frac{3}{l}+4\frac{x}{{{l^2}}}}_{{B_1}\left( x \right)}}&{\underbrace {\frac{4}{l}-\frac{{8x}}{{{l^2}}}}_{{B_2}\left( x \right)}}&{\underbrace {-\frac{1}{l}+\frac{{4x}}{{{l^2}}}}_{{B_3}\left( x \right)}} \end{array}} \right]\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1}} \\ {{u_2}} \\ {{u_3}} \end{array}} \right\}

Die Funktionen {B_i}\left( x \right) sind die Ableitungen der Formfunktionen {H_i}\left( x \right). Im Gegensatz zum linearen Element sind die Dehnungen nun nicht mehr konstant. Somit sind auch die Stabkräfte innerhalb des Elements nicht mehr konstant.

Analog zum linearen Element bestimmen wir nun die Elementsteifigkeitsmatrix:

\left[ {{k^e}} \right] = \int_0^l {{{\left[ {B\left( x \right)} \right]}^T}EA\left[ {B\left( x \right)} \right]dx}

\mathop \Rightarrow \limits^{EA = \operatorname{const} } \quad \left[ {{k^e}} \right] = EA\int_0^l {{{\left[ {B\left( x \right)} \right]}^T}\left[ {B\left( x \right)} \right]dx}

= EA\int_0^l {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{B_1^2}&{{B_1}{B_2}}&{{B_1}{B_3}} \\ {{B_2}{B_1}}&{B_2^2}&{{B_2}{B_3}} \\ {{B_3}{B_1}}&{{B_3}{B_2}}&{B_3^2} \end{array}} \right]dx}

Einsetzen und Auswerten der Integrale ergibt:

\left[ {{k^e}} \right] = \frac{{EA}}{{3l}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 7&{-8}&1 \\ {-8}&{16}&{-8} \\ 1&{-8}&7 \end{array}} \right]

Für die Elementmassenmatrix gilt:

\left[ {{m^e}} \right] = \int_0^l {{{\left[ {H\left( x \right)} \right]}^T}\rho A\left[ {H\left( x \right)} \right]dx}

\mathop \Rightarrow \limits^{\rho A = \operatorname{const} } \quad \left[ {{m^e}} \right] = \rho A\int_0^l {{{\left[ {H\left( x \right)} \right]}^T}\left[ {H\left( x \right)} \right]dx}

Einsetzen und Auswerten der Integrale ergibt:

\left[ {{m^e}} \right] = \frac{{\rho Al}}{{30}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 4&2&{-1} \\ 2&{16}&2 \\ {-1}&2&4 \end{array}} \right]

Und für die Streckenlast ergibt sich durch Approximation von {q_x}:

{q_x}\left( {x,t} \right) = \left[ {N\left( x \right)} \right]\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{q_{x1}}\left( t \right)} \\ {{q_{x2}}\left( t \right)} \\ {{q_{x3}}\left( t \right)} \end{array}} \right\} = \left[ {N\left( x \right)} \right]\left\{{{{\hat q}_x}} \right\}

\Rightarrow \quad \left\{ r \right\} = \left\{{{F^*}} \right\}+\int_0^l {{{\left[ {H\left( x \right)} \right]}^T}\left[ {H\left( x \right)} \right]dx} \left\{{{{\hat q}_x}} \right\}

Einsetzen und Auswerten der Integrale ergibt:

\left\{ r \right\} = \left\{{{F^*}} \right\}+\frac{l}{{30}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 4&2&{-1} \\ 2&{16}&2 \\ {-1}&2&4 \end{array}} \right]\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{q_{x1}}} \\ {{q_{x2}}} \\ {{q_{x3}}} \end{array}} \right\}