06.2 – Hohmanntransfer zwischen Kreisbahnen

 

Berechnen Sie für den Hohmann-Transfer die erforderlichen einzelnen Geschwindigkeitsinkremente, den gesamten Geschwindigkeitsbedarf und die Transferzeit

a) aus einer 300km hohen Kreisbahn um die Erde auf den geostationären Orbit,
b) aus der Erdbahn zur Merkurbahn
c) aus der Erdbahn zur Marsbahn
d) aus der Erdbahn zur Plutobahn

Wie hoch müsste in den betrachteten Fällen der Treibstoffanteil für {c_e} = 3\frac{{km}}{s} sein?

Lösung

a )

rs-hohmann-transfer-ellipse-kreis

{v_{K1}} = \sqrt {\frac{{{\mu _E}}}{{{r_1}}}} = 7,73\frac{{km}}{s}

a = \frac{{{r_1}+{r_2}}}{2}

{v_{HE,Peri}} = \sqrt {\mu \left( {\frac{2}{{{r_1}}}-\frac{1}{a}} \right)} = \sqrt {\mu \left( {\frac{2}{{{r_1}}}-\frac{2}{{{r_1}+{r_2}}}} \right)} = 10,2\frac{{km}}{s}

\Delta {v_1} = {v_{HE,Peri}}-{v_{K1}} = 2,43\frac{{km}}{s}

{v_{HE,Apo}} = \sqrt {{\mu _E}\left( {\frac{2}{{{r_2}}}-\frac{2}{{{r_1}+{r_2}}}} \right)} = 1,61\frac{{km}}{s}

{v_{K2}} = \sqrt {\frac{{{\mu _E}}}{{{r_2}}}} = 3,08\frac{{km}}{s}

\Delta {v_2} = {v_{K2}}-{v_{HE,Apo}} = 1,47\frac{{km}}{s}

\Delta {v_{ges}} = \Delta {v_1}+\Delta {v_2} = 3,89\frac{{km}}{s}

\Delta {t_{HE}} = \pi \sqrt {\frac{{{a^3}}}{{{\mu _E}}}} = \frac{\pi }{{\sqrt {{\mu _E}} }}{\left( {\frac{{{r_1}+{r_2}}}{2}} \right)^{\frac{3}{2}}} = 5,28h

{c_e} = 3\frac{{km}}{s}

\Delta {v_{ges}} = {c_e}\ln \left( {\frac{{{m_0}}}{{{m_0}-{m_T}}}} \right) = -{c_e}\ln \left( {1-\frac{{{m_T}}}{{{m_0}}}} \right)

\frac{{{m_T}}}{{{m_0}}} = 1-{e^{-\frac{{\Delta {v_{ges}}}}{{{c_e}}}}} = 72,7\%

Bei den Aufgabenteilen b) bis d) fliegen wir von einer Planetenbahn zu einem anderen. Wir befinden uns daher nicht im Gravitationsfeld der Erde, sondern das bestimmende Gravitationsfeld ist das der Sonne. Wir rechnen daher mit {\mu _{Sonne}}. Ansonsten erfolgt die Rechnung analog zu a).

Ergebnisse in Tabellenform:

\begin{array}{*{20}{c}}{} &\vline & {\frac{{{r_1}}}{{km}}} &\vline & {\frac{{{r_2}}}{{km}}} &\vline & {\frac{{\Delta {v_1}}}{{\frac{{km}}{s}}}} &\vline & {\frac{{\Delta {v_2}}}{{\frac{{km}}{s}}}} &\vline & {\frac{{\Delta {v_{ges}}}}{{\frac{{km}}{s}}}} &\vline & {\Delta {t_{HE}}} &\vline & {\frac{{{m_T}}}{{{m_0}}} \cdot 100} \\ \hline{Merkur} &\vline & {149,6 \cdot {{10}^6}} &\vline & {57,9 \cdot {{10}^6}} &\vline & {-7,55} &\vline & {-9,63} &\vline & {17,2} &\vline & {106d} &\vline & {99,7} \\ \hline{Mars} &\vline & {149,6 \cdot {{10}^6}} &\vline & {227,9 \cdot {{10}^6}} &\vline & {2,93} &\vline & {2,64} &\vline & {5,56} &\vline & {259d} &\vline & {84,4} \\ \hline{Pluto} &\vline & {149,6 \cdot {{10}^6}} &\vline & {5,946 \cdot {{10}^9}} &\vline & {11,8} &\vline & {3,68} &\vline & {15,5} &\vline & {46a} &\vline & {99,4} \\  \end{array}