Welche der folgenden Mengen von Vektoren sind Vektorräume?
a) Alle Vektoren mit
b) Alle Linearkombinationen der Vektoren und

Lösung

a)

Diese Menge von Vektoren bildet keinen Vektorraum, da sie bezüglich der Addition nicht abgeschlossen ist, was sich anhand der Addition zweier Vektoren zeigen lässt:

Seien .
Dann gilt zwar und , aber
q.e.d.

b)

Alle Linearkombinationen der beiden Vektoren lassen sich wie folgt darstellen, wenn man die Einträge durch Variablen ersetzt:

Diese Menge von Vektoren ist sowohl bezüglich der Addition als auch bezüglich skalarer Multiplikation abgeschlossen, wie sich leicht zeigen lässt:

Zudem gilt:
Somit bildet diese Menge einen Vektorraum. q.e.d.