HU-01.1 – Vektorräume

 

Welche der folgenden Mengen von Vektoren {\left( {a,b,c} \right)^T} sind Vektorräume?
a) Alle Vektoren mit ab = 0
b) Alle Linearkombinationen der Vektoren {\left( {1,1,0} \right)^T} und {\left( {2,0,1} \right)^T}

Lösung

a)

Diese Menge von Vektoren bildet keinen Vektorraum, da sie bezüglich der Addition nicht abgeschlossen ist, was sich anhand der Addition zweier Vektoren zeigen lässt:

\left( {\begin{array}{*{20}{c}}    a  \\    b  \\    c  \\   \end{array} } \right)+\left( {\begin{array}{*{20}{c}}    d  \\    e  \\    f  \\   \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}    {a+d}  \\    {b+e}  \\    {c+f}  \\   \end{array} } \right)

Seien a = 0,\quad b \ne 0,\quad d \ne 0,\quad e = 0.
Dann gilt zwar ab = 0 und de = 0, aber \underbrace {\left( {a+d} \right)}_{ \ne 0} \cdot  \underbrace {\left( {b+e} \right)}_{ \ne 0} \ne 0
q.e.d.

b)

Alle Linearkombinationen der beiden Vektoren lassen sich wie folgt darstellen, wenn man die Einträge durch Variablen ersetzt:

\left( {\begin{array}{*{20}{c}}    a  \\    a  \\    0  \\   \end{array} } \right)+\left( {\begin{array}{*{20}{c}}    {2b}  \\    0  \\    b  \\   \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}    {a+2b}  \\    a  \\    b  \\   \end{array} } \right)

Diese Menge von Vektoren ist sowohl bezüglich der Addition als auch bezüglich skalarer Multiplikation abgeschlossen, wie sich leicht zeigen lässt:

\lambda \left( {\begin{array}{*{20}{c}}    {a+2b}  \\    a  \\    b  \\   \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}    {\lambda a+2\lambda b}  \\    {\lambda a}  \\    {\lambda b}  \\   \end{array} } \right)

\left( {\begin{array}{*{20}{c}}    {a+2b}  \\    a  \\    b  \\   \end{array} } \right)+\left( {\begin{array}{*{20}{c}}    {c+2d}  \\    c  \\    d  \\   \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}    {\left( {a+c} \right)+2\left( {b+d} \right)}  \\    {\left( {a+c} \right)}  \\    {\left( {b+d} \right)}  \\   \end{array} } \right)

Zudem gilt: 1 \cdot  \left( {\begin{array}{*{20}{c}}    {a+2b}  \\    a  \\    b  \\   \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}    {a+2b}  \\    a  \\    b  \\   \end{array} } \right)
Somit bildet diese Menge einen Vektorraum. q.e.d.

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