HU-01.2 – Vektorräume und Differentialgleichungen

Zeigen sie, dass die Lösungen der Differentialgleichung u”’-3u”+4u = 0 einen Vektorraum bilden. Bestimmen Sie eine Basis.

Lösung

Ansatz:
<br /> u = A \cdot {e^{\lambda x}}<br />

<br /> u” = A \cdot {\lambda ^2} \cdot {e^{\lambda x}}<br />

<br /> u”’ = A \cdot {\lambda ^3} \cdot {e^{\lambda x}}<br />

<br /> \Rightarrow \quad A \cdot {\lambda ^3} \cdot {e^{\lambda x}}-3 \cdot A \cdot {\lambda ^2} \cdot {e^{\lambda x}}+4 \cdot A \cdot {e^{\lambda x}} = 0<br />

<br /> \Rightarrow \quad {\lambda ^3}-3{\lambda ^2}+4 = 0<br />

<br /> \Rightarrow \quad \underline{\underline {{\lambda _1} = -1}}<br />

Weitere Lösungen durch Polynomdivision:

Polynomdivision

Weiter durch Faktorisieren:

<br /> {\lambda ^2}-4\lambda +4 = {\left( {\lambda -2} \right)^2}<br />

<br /> \Rightarrow \quad \underline{\underline {{\lambda _2},{\lambda _3} = 2}}<br />

\Rightarrow \quad \underline{\underline {u = A \cdot {e^{-x}}+B \cdot {e^{2x}}+C \cdot x \cdot {e^{2x}}}} (Dies ist die Basis des Vektorraumes.)

Da die Lösung bezüglich Addition und skalarer Multiplikation abgeschlossen ist, handelt es sich um einen Vektorraum:

  • \lambda \left( {A \cdot {e^{-x}}+B \cdot {e^{2x}}+C \cdot x \cdot {e^{2x}}} \right) = \left( {\lambda A} \right) \cdot {e^{-x}}+\left( {\lambda B} \right) \cdot {e^{2x}}+\left( {\lambda C} \right) \cdot x \cdot {e^{2x}}
  • <br /> \left( {A \cdot {e^{-x}}+B \cdot {e^{2x}}+C \cdot x \cdot {e^{2x}}} \right)+\left( {D \cdot {e^{-x}}+E \cdot {e^{2x}}+F \cdot x \cdot {e^{2x}}} \right)<br />

    <br /> = \left( {A+D} \right) \cdot {e^{-x}}+\left( {B+E} \right) \cdot {e^{2x}}+\left( {C+F} \right) \cdot x \cdot {e^{2x}}<br />

  • 1 \cdot \left( {A \cdot {e^{-x}}+B \cdot {e^{2x}}+C \cdot x \cdot {e^{2x}}} \right) = A \cdot {e^{-x}}+B \cdot {e^{2x}}+C \cdot x \cdot {e^{2x}}

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