HU-01.2 – Vektorräume und Differentialgleichungen

 

Zeigen sie, dass die Lösungen der Differentialgleichung u'''-3u''+4u = 0 einen Vektorraum bilden. Bestimmen Sie eine Basis.

Lösung

Ansatz:
u = A \cdot  {e^{\lambda x}}

u'' = A \cdot  {\lambda ^2} \cdot  {e^{\lambda x}}

u''' = A \cdot  {\lambda ^3} \cdot  {e^{\lambda x}}

\Rightarrow \quad A \cdot  {\lambda ^3} \cdot  {e^{\lambda x}}-3 \cdot  A \cdot  {\lambda ^2} \cdot  {e^{\lambda x}}+4 \cdot  A \cdot  {e^{\lambda x}} = 0

\Rightarrow \quad {\lambda ^3}-3{\lambda ^2}+4 = 0

\Rightarrow \quad \underline{\underline {{\lambda _1} = -1}}

Weitere Lösungen durch Polynomdivision:

Polynomdivision

Weiter durch Faktorisieren:

{\lambda ^2}-4\lambda +4 = {\left( {\lambda -2} \right)^2}

\Rightarrow \quad \underline{\underline {{\lambda _2},{\lambda _3} = 2}}

\Rightarrow \quad \underline{\underline {u = A \cdot  {e^{-x}}+B \cdot  {e^{2x}}+C \cdot  x \cdot  {e^{2x}}}} (Dies ist die Basis des Vektorraumes.)

Da die Lösung bezüglich Addition und skalarer Multiplikation abgeschlossen ist, handelt es sich um einen Vektorraum:

  • \lambda \left( {A \cdot  {e^{-x}}+B \cdot  {e^{2x}}+C \cdot  x \cdot  {e^{2x}}} \right) = \left( {\lambda A} \right) \cdot  {e^{-x}}+\left( {\lambda B} \right) \cdot  {e^{2x}}+\left( {\lambda C} \right) \cdot  x \cdot  {e^{2x}}
  • \left( {A \cdot  {e^{-x}}+B \cdot  {e^{2x}}+C \cdot  x \cdot  {e^{2x}}} \right)+\left( {D \cdot  {e^{-x}}+E \cdot  {e^{2x}}+F \cdot  x \cdot  {e^{2x}}} \right)

    = \left( {A+D} \right) \cdot  {e^{-x}}+\left( {B+E} \right) \cdot  {e^{2x}}+\left( {C+F} \right) \cdot  x \cdot  {e^{2x}}

  • 1 \cdot  \left( {A \cdot  {e^{-x}}+B \cdot  {e^{2x}}+C \cdot  x \cdot  {e^{2x}}} \right) = A \cdot  {e^{-x}}+B \cdot  {e^{2x}}+C \cdot  x \cdot  {e^{2x}}

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