HU-01.2 – Vektorräume und Differentialgleichungen

Zeigen sie, dass die Lösungen der Differentialgleichung $u'''-3u''+4u = 0$ einen Vektorraum bilden. Bestimmen Sie eine Basis.

Lösung

Ansatz:
$u = A \cdot {e^{\lambda x}}$

$u'' = A \cdot {\lambda ^2} \cdot {e^{\lambda x}}$

$u''' = A \cdot {\lambda ^3} \cdot {e^{\lambda x}}$

$\Rightarrow \quad A \cdot {\lambda ^3} \cdot {e^{\lambda x}}-3 \cdot A \cdot {\lambda ^2} \cdot {e^{\lambda x}}+4 \cdot A \cdot {e^{\lambda x}} = 0$

$\Rightarrow \quad {\lambda ^3}-3{\lambda ^2}+4 = 0$

$\Rightarrow \quad \underline{\underline {{\lambda _1} = -1}}$

Weitere Lösungen durch Polynomdivision:

Polynomdivision

Weiter durch Faktorisieren:

${\lambda ^2}-4\lambda +4 = {\left( {\lambda -2} \right)^2}$

$\Rightarrow \quad \underline{\underline {{\lambda _2},{\lambda _3} = 2}}$

$\Rightarrow \quad \underline{\underline {u = A \cdot {e^{-x}}+B \cdot {e^{2x}}+C \cdot x \cdot {e^{2x}}}}$ (Dies ist die Basis des Vektorraumes.)

Da die Lösung bezüglich Addition und skalarer Multiplikation abgeschlossen ist, handelt es sich um einen Vektorraum:

$\lambda \left( {A \cdot {e^{-x}}+B \cdot {e^{2x}}+C \cdot x \cdot {e^{2x}}} \right) = \left( {\lambda A} \right) \cdot {e^{-x}}+\left( {\lambda B} \right) \cdot {e^{2x}}+\left( {\lambda C} \right) \cdot x \cdot {e^{2x}}$
$\left( {A \cdot {e^{-x}}+B \cdot {e^{2x}}+C \cdot x \cdot {e^{2x}}} \right)+\left( {D \cdot {e^{-x}}+E \cdot {e^{2x}}+F \cdot x \cdot {e^{2x}}} \right)$

$= \left( {A+D} \right) \cdot {e^{-x}}+\left( {B+E} \right) \cdot {e^{2x}}+\left( {C+F} \right) \cdot x \cdot {e^{2x}}$
$1 \cdot \left( {A \cdot {e^{-x}}+B \cdot {e^{2x}}+C \cdot x \cdot {e^{2x}}} \right) = A \cdot {e^{-x}}+B \cdot {e^{2x}}+C \cdot x \cdot {e^{2x}}$