HU-02.1 – Lineare Operatoren

 

Welche der folgenden Operatoren sind linear?

  1. \mathcal{L}\left( u \right) = {u_x}+u_y^2
  2. \mathcal{L}\left( u \right) = \sqrt {1+{x^2}} \cos \left( y \right){u_x}+{u_{yxy}}-\arctan \left( {\frac{x} {y}} \right)u

Lösung

Damit einer der Operatoren linear sein kann muss gelten:

\mathcal{L}\left( {\lambda u+\mu v} \right) = \lambda \mathcal{L}\left( u \right)+\mu \mathcal{L}\left( v \right)\quad \forall \lambda ,\mu  \in \mathbb{R};u,v \in X

Der erste Operator ist nicht linear, denn er lässt sich nicht zu diesem Ergebnis hin auflösen:

\mathcal{L}\left( u \right) = {u_x}+u_y^2

\Rightarrow \mathcal{L}\left( {\lambda u+\mu v} \right) = {\left( {\lambda u+\mu v} \right)_x}+\left( {\lambda u+\mu v} \right)_y^2

= \lambda {u_x}+\mu {v_y}+{\left( {\lambda {u_y}} \right)^2}+2\lambda {u_y}\mu {v_y}+{\left( {\mu {v_y}} \right)^2}

= \lambda \underbrace {\left( {{u_x}+\lambda u_y^2} \right)}_{ \ne \mathcal{L}\left( u \right)}+ \ldots

Der zweite Operator dagegen ist linear, denn es gilt:

\mathcal{L}\left( u \right) = \sqrt {1+{x^2}} \cos \left( y \right){u_x}+{u_{yxy}}-\arctan \left( {\frac{x} {y}} \right)u

\Rightarrow \mathcal{L}\left( {\lambda u+\mu v} \right)

= \sqrt {1+{x^2}} \cos \left( y \right){\left( {\lambda u+\mu v} \right)_x}+{\left( {\lambda u+\mu v} \right)_{yxy}}-\arctan \left( {\frac{x} {y}} \right)\left( {\lambda u+\mu v} \right)

= \sqrt {1+{x^2}} \cos \left( y \right)\lambda {u_x}+\lambda {u_{yxy}}-\arctan \left( {\frac{x} {y}} \right)\lambda u+\sqrt {1+{x^2}} \cos \left( y \right)\mu {v_x}+\mu {v_{yxy}}-\arctan \left( {\frac{x} {y}} \right)\mu v

= \lambda \left( {\sqrt {1+{x^2}} \cos \left( y \right){u_x}+{u_{yxy}}-\arctan \left( {\frac{x} {y}} \right)u} \right)

+\mu \left( {\sqrt {1+{x^2}} \cos \left( y \right){v_x}+{v_{yxy}}-\arctan \left( {\frac{x} {y}} \right)v} \right)

= \underline{\underline {\lambda \mathcal{L}\left( u \right)+\mu \mathcal{L}\left( v \right)}}

q.e.d