HU-03.1 – (Nicht)Linearität von partiellen Differentialgleichungen

 

Sind folgende partielle Differentialgleichungen linear oder nichtlinear?

a) {u_x}+u{u_y} = 0

b) {u_{xx}}+{u_{yy}} = 0

c) {u_{tt}}-{u_{xx}}+{u^3} = 0

d) {u_{tt}}+{u_{xxxx}} = 0

Damit eine Differentialgleichung linear ist, muss gelten:
L\left( {\lambda u+\mu v} \right) = \lambda L\left( u \right)+\mu L\left( v \right)

Lösung

a)

L\left( u \right) = {u_x}+u{u_y} = 0
L\left( {\lambda u+\mu v} \right) = {\left( {\lambda u+\mu v} \right)_x}+\left( {\lambda u+\mu v} \right){\left( {\lambda u+\mu v} \right)_y}

= \lambda {u_x}+\mu {v_x}+\lambda u\underline{\underline \lambda } {u_y}+\underline{\underline {\lambda u\mu {v_y}}} +\underline{\underline {\mu v\lambda {u_y}}} +\mu v\underline{\underline \mu } {v_y}

= \lambda \left( {{u_x}+\underline{\underline \lambda } u{u_y}} \right)+ \cdot s

Diese Gleichung lässt sich auf Grund der markierten Terme nicht wie oben beschrieben umformen und ist daher nicht linear.

b)

L\left( u \right) = {u_{xx}}+{u_{yy}}

L\left( {\lambda u+\mu v} \right) = {\left( {\lambda u+\mu v} \right)_{xx}}+{\left( {\lambda u+\mu v} \right)_{yy}}

= \lambda {u_{xx}}+\mu {v_{xx}}+\lambda {u_{yy}}+\mu {v_{yy}}

= \lambda \left( {{u_{xx}}+{u_{yy}}} \right)+\mu \left( {{v_{xx}}+{v_{yy}}} \right)

= \underline{\underline {\lambda L\left( u \right)+\mu L\left( v \right)}}

Diese Gleichung ist also linear!

c)

L\left( u \right) = {u_{tt}}-{u_{xx}}+{u^3}

L\left( {u+v} \right) = {\left( {u+v} \right)_{tt}}-{\left( {u+v} \right)_{xx}}+{\left( {u+v} \right)^3}

= {u_{tt}}+{v_{tt}}-{u_{xx}}+{v_{xx}}+{u^3}+\underline{\underline {3{u^2}v+3u{v^2}}} +{v^3}

Auch diese Gleichung ist (auch schon ohne die Koeffizienten λ und µ) aufgrund der markierten Terme nicht linear!

d)

L\left( u \right) = {u_{tt}}+{u_{xxxx}}

L\left( {\lambda u+\mu v} \right) = {\left( {\lambda u+\mu v} \right)_{tt}}+{\left( {\lambda u+\mu v} \right)_{xxxx}}

= \lambda {u_{tt}}+\mu {v_{tt}}+\lambda {u_{xxxx}}+\mu {v_{xxxx}}

= \underline{\underline {\lambda L\left( u \right)+\mu L\left( v \right)}}

Diese Gleichung ist also wiederum linear!

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