HU-03.2 – Ordnung, (Nicht)Linearität und (In)Homogenität von PDGLen

Bestimmen Sie für jede der folgenden Gleichungen die Ordnung und geben Sie mit Begründung an, ob sie nichtlinear, inhomogen linear oder homogen linear sind.

a) ${u_t}-{u_{xxt}}+u{u_x} = 0$

b) $i{u_t}-{u_{xx}}+\frac{u} {x} = 0$

c) ${u_x}+{e^y}{u_y} = 0$

Lösung

a)

3. Ordnung und nichtlinear wegen $u{u_x}$ .

b)

2. Ordnung, homogen linear:

$L\left( u \right) = i{u_t}-{u_{xx}}+\frac{u} {x}$

$L\left( {\lambda u+\mu v} \right) = i{\left( {\lambda u+\mu v} \right)_t}-{\left( {\lambda u+\mu v} \right)_{xx}}+\frac{{\left( {\lambda u+\mu v} \right)}} {x}$

$= i\lambda {u_t}+i\mu {v_t}-\lambda {u_{xx}}-\mu {v_{xx}}+\frac{{\lambda u}} {x}+\frac{{\mu v}} {x}$

$= \lambda \left( {i{u_t}-{u_{xx}}+\frac{u} {x}} \right)+\mu \left( {i{v_t}-{v_{xx}}+\frac{v} {x}} \right)$

$= \underline{\underline {\lambda L\left( u \right)+\mu L\left( v \right)}}$

c)

1. Ordnung, homogen linear:

$L\left( u \right) = {u_x}+{e^y}{u_y}$

$L\left( {\lambda u+\mu v} \right) = {\left( {\lambda u+\mu v} \right)_x}+{e^y}{\left( {\lambda u+\mu v} \right)_y}$

$= \lambda {u_x}+\mu {v_x}+{e^y}\lambda {u_y}+{e^y}\mu {v_y}$

$= \lambda \left( {{u_x}+{e^y}{u_y}} \right)+\mu \left( {{v_x}+{e^y}{v_y}} \right)$

$= \underline{\underline {\lambda L\left( u \right)+\mu L\left( v \right)}}$

Die Homogenität bei b) und c) erkennt man daran, dass alle Teilterme von u abhängen.

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