1.3 – Idee der Finite Elemente Methode

 

Auszug aus dem Skript der Vorlesung Finite Elemente bei Dr.-Ing Philipp Höfer an der UniBw München.

1.3.1 Grundelemente

Grundidee ist die Zerlegung des Gebiets A in Teilgebiete (finite Elemente):

zerlegung-gebiet-finite-elemente-dreieck-zweidimensional

Ein Finites Element hat dabei folgenden Aufbau:

finites-element-aufbau-knotenpunkte-formfunktion

Die gesuchte Funktion w (bzw. Funktionen u und v) im Element wird durch einen Näherungsansatz approximiert:

w\left( {x,y,t} \right) = \sum\limits_{j = 1}^P {{H_j}\left( {x,y} \right){{\hat u}_j}\left( t \right)}

Dabei sind {H_j}\left( {x,y} \right) fest gewählte Formfunktionen und {\hat u_j}\left( t \right) unbekannte Funktionswerte in den Knotenpunkten. Dies entspricht einem lokalen Ritz-Ansatz. Das kontinuierliche System wird in ein diskretes System überführt. Als Resultat erhalten wir ein Gleichungssystem für Näherungswerte der unbekannten Funktionen in den Knotenpunkten.

1.3.2 Vorgehen bei der Finite Elemente Methode

1. Ausgangspunkt reales Bauteil:

vorgehensweise-finite-elemente-reales-bauteil-trager-loch

2. Idealisierung:

finite-elemente-idealisierung-bauteil-schubspannung-zugspannung-scheibe

3. Diskretisierung (Beachtung von Symmetrien und Randbedingungen):

finite-elemente-diskretisierung-trager-dreieck

4. Elementsteifigkeitsmatrizen bestimmen

5. Aufstellen des Gesamtgleichungssystems

6. Lösen des linearen Gleichungssystems

7. Berechnen der Feldgrößen (Verschiebungen, Dehnungen, Spannungen)

Dabei wird Schritt 1-3 „Preprocessing“ genannt, Schritt 4-6 „Solve“ und Schritt 7 „Postprocessing“. Die meisten FEM-Programme bieten eine komplette Entwicklungsumgebung, in der Preprocessor, Solver und Postprocessor integriert sind (z.B. Ansys, Abaqus). Darüber hinaus existieren auch spezielle Programmkombinationen wie z.B. Patran (Pre- und Postprocessor) mit Nastran (Solver) sowie einzelne, von speziellen Solvern losgelöste Pre- und Postprozessoren wie z.B. HyperMesh und HyperView.

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