Aufgabe 5.1 – implizite und explizite Differentialgleichungen

 

Entscheide, welche der folgenden DGLn in expliziter bz. impliziter Form vorliegen und bestimme jeweils die Anzahl unabhängiger Variablen und die Ordnung der DGL.

  1. y^{\prime} \left( x \right) = xy\left( x \right)+6x

  2. e^{2\ln y^{^{\prime\prime\prime}} \left( x \right)} +y^2 \left( x \right)y^{^{\prime\prime}} \left( x \right) = 1+\left( {y^{^{\prime\prime\prime}} \left( x \right)} \right)^2

  3. \left( {y^{\prime} \left( x \right)} \right)^2 +xy^{\prime} -3y\left( x \right) = 0

  4. u_{xx} \left( {x,t} \right)-u_t \left( {x,t} \right) = 0

Lösung

Differentialgleichungen haben im Allgemeinen den Aufbau

F\left( {x,y,Dy,D^2 y, \ldots ,D^n y} \right) = 0

wobei Dky die k-te Ableitung nach der oder den Unbekannten x bezeichnet. Die Differentialgleichung gibt Aufschluss über das Änderungsverhalten der Ableitungen zueinander. Die höchste Ableitung bestimmt die Ordnung der DGL. Die Anzahl der unabhängigen Variablen ist einfach die Anzahl der Parameter, von denen die Funktion abhängt.
Eine Differentialgleichung liegt in expliziter Form vor, wenn sie nach der höchsten vorkommenden Ableitung aufgelöst ist:

y^{(n)}  = F\left( {x,y,y^{\prime},y^{\prime\prime}, \ldots ,y^{(n-1)} } \right)

Anderenfalls liegt die DGL in impliziter Form vor. Dies ist unabhängig davon, ob das Auflösen generell möglich ist. Eine DGL ist explizit, wenn sie nach der höchsten Ableitung aufgelöst werden kann. In dieser Aufgabe geht es aber nur um die angegebene Form.

Einordnung der gegebenen Funktionen

\begin{array}{*{20}{c}}      &  {{\text{Ordnung}}}  &  {{\text{Form}}}  &  {{\text{unabh}}{\text{. Variablen}}}  \\ \hline    {a)}  &  {1.}  &  {{\text{explizit}}}  &  1  \\    {b)}  &  {2.}  &  {{\text{implizit}}}  &  1  \\    {c)}  &  {1.}  &  {{\text{implizit}}}  &  1  \\    {d)}  &  {2.}  &  {{\text{implizit}}}  &  2  \\   \end{array}

Die zweite Differentialgleichung ist nur zweiter Ordnung, und nicht dritter, weil die dritte Ableitung wegfällt:

e^{2\ln y^{^{\prime\prime\prime}} \left( x \right)} +y^2 \left( x \right)y^{^{\prime\prime}} \left( x \right) = 1+\left( {y^{^{\prime\prime\prime}} \left( x \right)} \right)^2

\left( {e^{\ln y^{^{\prime\prime\prime}} \left( x \right)} } \right)^2 +y^2 \left( x \right)y^{^{\prime\prime}} \left( x \right) = 1+\left( {y^{^{\prime\prime\prime}} \left( x \right)} \right)^2

\left( {y^{^{\prime\prime\prime}} \left( x \right)} \right)^2 +y^2 \left( x \right)y^{^{\prime\prime}} \left( x \right) = 1+\left( {y^{^{\prime\prime\prime}} \left( x \right)} \right)^2

y^2 \left( x \right)y^{^{\prime\prime}} \left( x \right) = 1