03.1 – Induktion einer Matrixnorm durch eine Vektornorm

 

Es sei x \in {\mathbb{R}^n} und A \in {\mathbb{R}^{n \times n}}. Zeigen Sie, dass die Maximumnorm

{\left\| x \right\|_\infty }: =  \max \limits_{i = 1, \ldots ,n} \left| {{x_i}} \right|

die Zeilensummennorm

{\left\| A \right\|_\infty }: =  \max \limits_{i = 1, \ldots ,n} \sum\limits_{j = 1}^n {\left| {{a_{ij}}} \right|}

induziert.

Lösung

Sei \left\|  \cdot   \right\| eine Vektornorm. Dann wird durch \left\| A \right\| =  \sup \limits_{x \ne 0} \frac{{\left\| {Ax} \right\|}}{{\left\| x \right\|}} eine Maximumnorm definiert.

In diesem Fall gilt: \left\| {Ax} \right\| \leq \left\| A \right\|\left\| x \right\|

Für einen Vektor x = {\left( {{x_1},{x_2}, \ldots ,{x_n}} \right)^T} ist die Maximumnorm definiert als {\left\| x \right\|_\infty }: =  \max \limits_{i = 1, \ldots ,n} \left| {{x_i}} \right|.

Idee:

1. Bestimme für jeden beliebigen Vektor x \ne 0 ein \alpha, so dass gilt: {\left\| {Ax} \right\|_\infty } \leq \alpha {\left\| x \right\|_\infty }
2. Konstruiere {x^*} \in {\mathbb{R}^n} mit {\left\| {A{x^*}} \right\|_\infty } = \alpha {\left\| {{x^*}} \right\|_\infty }\quad  \Rightarrow \quad {\left\| A \right\|_\infty } = \alpha

{\left\| {Ax} \right\|_\infty } =  \max \limits_{i = 1, \ldots ,n} \left\{ {\left| {\sum\limits_{j = 1}^n {{a_{ij}}{x_j}} } \right|} \right\} \leq  \max \limits_{i = 1, \ldots ,n} \left\{ {\sum\limits_{j = 1}^n {\left| {{a_{ij}}{x_j}} \right|} } \right\}

\leq \underbrace { \max \limits_{i = 1, \ldots ,n} \left\{ {\sum\limits_{j = 1}^n {\left| {{a_{ij}}} \right|} } \right\}}_\alpha  \cdot  \underbrace { \max \limits_{j = 1, \ldots ,n} \left| {{x_j}} \right|}_{{{\left\| x \right\|}_\infty }}

Sei k der Index mit \alpha  =  \max \limits_{i = 1, \ldots ,n} \left\{ {\sum\limits_{j = 1}^n {\left| {{a_{ij}}} \right|} } \right\} = \sum\limits_{j = 1}^n {\left| {{a_{kj}}} \right|}. Wähle {x^*} = {\left( {\frac{{{a_{k1}}}}{{\left| {{a_{k1}}} \right|}}, \ldots ,\frac{{{a_{kn}}}}{{\left| {{a_{kn}}} \right|}}} \right)^T}.

Dann gilt:

{\left\| {A{x^*}} \right\|_\infty } = \sum\limits_{j = 1}^n {\frac{{a_{kj}^2}}{{\left| {{a_{kj}}} \right|}}}  = \sum\limits_{j = 1}^n {{a_{kj}}}  = \alpha \underbrace {{{\left\| {{x^*}} \right\|}_\infty }}_1

Beispiel:

{\left\| A \right\|_\infty } =  \max \limits_{i = 1, \ldots ,n} \left\{ {\sum\limits_{j = 1}^n {\left| {{a_{ij}}} \right|} } \right\} ist die Zeilensummennorm.

{\left\| {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}    2 & 1  \\    3 & {-1}  \\  \end{array} } \right)} \right\|_\infty } = 4

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