06 – Industrie-Wärmeübertrager (Prüfungsaufgabe!)

 

Für einen Industrieprozess wird ein Luftvolumenstrom von 5,5 \cdot {10^4}\frac{{{m^3}}}{h}bei {T_H} = 43,12^\circ C benötigt. Die Luft wird durch ein großes Axialgebläse aus der {T_U} = 5^\circ C kalten Umgebung der Halle angesaugt und durch einen Rohrbündelwärmeübertrager gefördert. In diesem nach außen adiabaten Wärmeübertrager strömt überhitzter Dampf ein, dessen Sättigungstemperatur beim vorliegenden Druck {T_{D,S}} = 140^\circ C beträgt. Innerhalb des Wärmeübertragers kondensiert der durch {n_R} = 1000 Rohre strömende Dampf gerade vollständig.

rohrbundel-warmeubertrager-axialgeblase-luft

Die Abbildung zeigt das Funktionsprinzip. Zur Vereinfachung wird in der Berechnung für die Luft ein reiner Gegenstrombetrieb angenommen (ohne Umlenkbleche).

a) Energieeintrag durch das Gebläse

Zur Förderung des Luftvolumenstroms wird ein Axialgebläse eingesetzt, das nach außen wärmeisoliert ist. Es besitzt im Betriebspunkt eine Wellenleistung von 50.7 kW, die zu 93 % in eine Temperaturerhöhung der von außen angesaugten Luft umgesetzt wird. Berechnen Sie die Temperatur {T_K} der Luft nach dem Gebläse, die in den Rohrbündelwärmeübertrager eintritt. Es soll dabei von einer konstanten Luftdichte von {\rho _L} = 1,2\frac{{kg}}{{{m^3}}} ausgegangen werden.

b) Luftseitiger Wärmeübergangskoeffizient ha

Berechnen Sie den Wärmeübergangskoeffizienten der Luft an die Rohre im Rohrbündelwärmeübertrager, die einen Außendurchmesser von {d_a} = 10mm besitzen. Als Luftgeschwindigkeit ist die Geschwindigkeit {w_\infty } im Rohr vor dem Wärmeübertrager einzusetzen. Gehen Sie von einem Zuleitungsdurchmesser von D = 1m aus. Des Weiteren ist das Teilungsverhältnis zu beachten.

rohrbundel-warmeubertrager-querschnitt

Aus den in der Abbildung gegebenen Größen berechnet man die Größen a = \frac{{{s_1}}}{{{d_a}}}und b = \frac{{{s_2}}}{{{d_a}}} und mit deren Hilfe den Hohlraumanteil \psi = 1-\frac{\pi }{{4ab}}, der in die Reynoldszahl {\operatorname{Re} _\psi } einzusetzen ist. Berechnen Sie zunächst die Nußeltzahl N{u_1} für das Einzelrohr und anschließend die Nußeltzahl N{u_{B\ddot undel}} für das Rohrbündel, aus der Sie den Wärmeübergangskoeffizienten gewinnen.

c) Temperaturverlauf im Wärmeübertrager

Skizzieren Sie qualitativ den Temperaturverlauf von Luft und Dampf im Rohrbündelwärmeübertrager entlang eines Einzelrohrs. Gehen Sie hier davon aus, dass sich die Luft parallel zu den Rohren im Gegenstrom zum Dampf bewegt. Zeichnen Sie außerdem qualitativ in einen Längsschnitt durch ein Einzelrohr die auftretende Kondensatfilmdicke ein und kennzeichnen Sie in beiden Skizzen charakteristische Punkte mit den dazugehörigen Temperaturen.

d) Wärmewiderstand an den Innenrohren

Berechnen Sie den längenbezogenen Wärmewiderstand durch die Innenrohre und die Strömungsgrenzschichten. Auf der Innenseite der Rohre sind dabei zwei Zustände zu unterscheiden. Im Bereich, in dem sich der überhitzte Dampf auf seinen Sättigungszustand abkühlt, gelte ein Wärmeübergangskoeffizient von {h_{i,D}} = 800\frac{W}{{{m^2}K}}, im Bereich, in dem Kondensation des Dampfes erfolgt, gelte der Wert {h_{i,ND}} = 1500\frac{W}{{{m^2}K}}. Die Messingrohre haben einen Innendurchmesser von 8 mm und einen Außendurchmesser von 10 mm. Die Wärmeleitfähigkeit des Messings beträgt {k_M} = 110\frac{W}{{m \cdot K}}.

e) Baulänge des Rohrbündelwärmeübertragers

Berechnen Sie die erforderliche Baulänge des Wärmeübertragers. Bestimmen Sie hierfür zunächst die Lufttemperatur {T_a} an dem Punkt, an dem der Dampf, dessen Massenstrom 0,3\frac{{kg}}{s} beträgt, gerade seine Sättigungstemperatur erreicht. Ermitteln Sie hieraus die Länge, auf der der Dampf kondensiert. Mit Hilfe einer Energiebilanz können Sie anschließend die restliche erforderliche Länge berechnen. Nehmen Sie auch für diese Teilaufgabe Gegenstrom
der beiden Fluiden an.

Gegeben

Konstante Stoffdaten der Luft:

Dichte: {\rho _L} = 1.2\frac{{kg}}{{{m^3}}}
spez. Wärmekapazität: {c_{p,L}} = 1.007\frac{{kJ}}{{kgK}}
Wärmeleitfähigkeit: {k_L} = 0.025\frac{W}{{m \cdot K}}
Kinematische Viskosität: {\nu _L} = 15 \cdot {10^{-6}}\frac{{{m^2}}}{s}

Konstante Stoffwerte des Dampfes:

spezifische Wärmekapazität: {c_{p,D}} = 2.245\frac{{kJ}}{{kgK}}
spezifische Enthalpie des Dampfes: {h^{\prime \prime }} = 2733.1\frac{{kJ}}{{kg}} bei 140°C im Sättigungszustand
spezifische Enthalpie des Wassers: {h^\prime } = 589.1\frac{{kJ}}{{kg}} bei 140°C im Sättigungszustand

Ähnlichkeitsbeziehungen:

{\operatorname{Re} _\psi } = \frac{{{w_\infty }l}}{{\psi \nu }},l = \frac{\pi }{2}{d_a}

N{u_1} = 0.3+\sqrt {Nu_{lam}^2+Nu_{turb}^2}

N{u_{lam}} = 0.664\sqrt {{{\operatorname{Re} }_\psi }} {\Pr ^{1/3}}

N{u_{turb}} = \frac{{0.037\operatorname{Re} _\psi ^{0.8}\Pr }}{{1+2.443\operatorname{Re} _\psi ^{-0.1}\left( {{{\Pr }^{\frac{2}{3}}}-1} \right)}}

N{u_{B\ddot undel}} = {f_A}N{u_1}

{f_A} = 1+\frac{2}{{3b}}

Lösung

Wir haben es hier mit überhitztem Dampf zu tun. Das heißt, dass der Dampf im Wärmeübertrager kälter wird, bevor er kondensiert. Daher haben wir es nicht mit einem reinen Einstromwärmeübertrager zu tun.
Stattdessen müssen wir mit einem gekoppelten Wärmeübertrager rechnen, der aus einem Gegenstromwärmeübertrager und einem in Reihe geschalteten Einstromwärmeübertrager besteht.

a )

Skizze des Problems:

warmeubertrager-system-skizze

Erster Hauptsatz für stationär durchströmte Systeme:

\frac{{dE}}{{dt}} = 0 = \sum {\dot Q} +\sum {\dot W} +\sum {\dot mh}

Der Wärmeübertrager ist adiabat, daher gilt: \dot Q = 0. Es folgt:

0 = {{\dot m}_L}{c_L}\left( {{T_{in}}-{T_{out}}} \right)+{P_W}\eta

{T_{out}} = \frac{{\eta {P_W}}}{{{{\dot m}_L}{c_L}}}+{T_{in}}

Für den Massenstrom an Luft gilt:

{\dot m_L} = \dot V{\rho _L}

Daraus folgt:

{T_{out}} = \frac{{\eta {P_W}}}{{{{\dot m}_L}{c_L}}}+{T_{in}} = 7,554^\circ C

b )

Wir brauchen hier eine Korrelation aus dem VDI Wärmeatlas. Die in der Klausur benötigten Korrelationen werden angegeben.

a = \frac{{{S_1}}}{{{d_a}}} = 2,5

b = \frac{{{S_2}}}{{{d_a}}} = 0,9

\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{\Psi = 1-\frac{\pi }{{4ab}} = 0,6509} \\{l = \frac{\pi }{2}{d_a} = 0,0157} \\   \end{array} } \right\}\quad \Rightarrow \quad \operatorname{Re}

{{\dot V}_L} = {w_\infty }A\quad \Rightarrow \quad {w_\infty } = \frac{{{{\dot V}_L}}}{A} = \frac{{{{\dot V}_L}}}{{\frac{{{D^2}\pi }}{4}}} = 19,452\frac{m}{s}

{\operatorname{Re} _\Psi } = \frac{{{w_\infty }l}}{{\Psi \nu }} = 31295,26

N{u_{lam}} = 0,664 \cdot \sqrt {{{\operatorname{Re} }_\Psi }} \cdot {\Pr ^{\frac{1}{3}}} = 105,5

\Pr = \frac{{{\nu _L}}}{{{a_L}}} = \frac{{{\nu _L}{\rho _L}{c_L}}}{{{k_L}}} = 0,725

N{u_{tur}} = \ldots = 127,2

N{u_1} = 0,3+\sqrt {Nu_{lam}^{^2}+Nu_{tur}^2} = 165,56

{f_A} = 1+\frac{2}{{3b}} = 1,74

N{u_{B\ddot undel}} = {f_A}N{u_1} = 288,197 = \frac{{{h_a}l}}{{{k_L}}}

{h_a} = 458,9\frac{W}{{{m^2}K}}

c )

wasser-luft-dampf-systeme-skizze-verlauf

d )

Wir beginnen mit dem Bereich a:

{R_{L,a}} = {R_{ges,a}}{L_a}

{R_{ges,a}} = \frac{1}{{\pi {L_a}}}\left( {\frac{1}{{{d_i}{h_{i,D}}}}+\frac{{\ln \left( {\frac{{{d_a}}}{{{d_i}}}} \right)}}{{2k}}+\frac{1}{{{d_a}{h_a}}}} \right)

{R_{L,a}} = {R_{ges,a}}{L_a} = \frac{1}{\pi }\left( {\frac{1}{{{d_i}{h_{i,D}}}}+\frac{{\ln \left( {\frac{{{d_a}}}{{{d_i}}}} \right)}}{{2k}}+\frac{1}{{{d_a}{h_a}}}} \right) = 0,1194\frac{{mK}}{W}

Für den Bereich b gilt:

{R_{L,b}} = {R_{ges,b}}{L_b}

{R_{ges,b}} = \frac{1}{{\pi {L_b}}}\left( {\frac{1}{{{d_i}{h_{i,ND}}}}+\frac{{\ln \left( {\frac{{{d_a}}}{{{d_i}}}} \right)}}{{2k}}+\frac{1}{{{d_a}{h_a}}}} \right)

{R_{L,b}} = {R_{ges,b}}{L_b} = \frac{1}{\pi }\left( {\frac{1}{{{d_i}{h_{i,ND}}}}+\frac{{\ln \left( {\frac{{{d_a}}}{{{d_i}}}} \right)}}{{2k}}+\frac{1}{{{d_a}{h_a}}}} \right) = 0,0962\frac{{mK}}{W}

e )

Wir bestimmen nun die erforderliche Baulänge. Dazu bestimmen wir zunächst die Lufttemperatur an dem Punkt, an dem der Dampf die Sättigungstemperatur erreicht.

system1-sattigungstemperatur-warmeubertrager

Sys1:\quad 0 = {{\dot m}_D}\left( {{h^{\prime \prime }}-{h^\prime }} \right)+{{\dot m}_L}{c_L}\left( {7,554^\circ C-{T_a}} \right)

\quad \Rightarrow \quad {T_a} = \frac{{{{\dot m}_D}\left( {{h^{\prime \prime }}-{h^\prime }} \right)}}{{{{\dot m}_L}{c_L}}}+7,554^\circ C = 42,39^\circ C

Wir betrachten nun ein weiteres Teilsystem:

system2-dampf-kondensation-warmeubertragung

Sys2:\quad 0 = {{\dot m}_D}\left( {{h^{\prime \prime }}-{h^\prime }} \right)-{{\dot Q}_b}\quad \Rightarrow \quad {{\dot Q}_b} = 6,432 \cdot {10^5}W

{{\dot Q}_b} = \frac{{\Delta {T_{\log ,b}}}}{{{R_{L,b}}}}{L_b}{n_R}

Dabei ist {n_R} die Anzahl der Rohre.

\Delta {T_{\log ,b}} = \frac{{\Delta {T_L}-\Delta {T_0}}}{{\ln \left( {\frac{{\Delta {T_L}}}{{\Delta {T_0}}}} \right)}}

\Delta {T_L} = 140^\circ C-42,39^\circ C = 97,61^\circ C

\Delta {T_0} = 140^\circ C-7,554^\circ C = 132,446^\circ C

\quad \Rightarrow \quad \Delta {T_{\log ,b}} = \frac{{\Delta {T_L}-\Delta {T_0}}}{{\ln \left( {\frac{{\Delta {T_L}}}{{\Delta {T_0}}}} \right)}} = 114,14^\circ C

{{\dot Q}_b} = \frac{{\Delta {T_{\log ,b}}}}{{{R_{L,b}}}}{L_b}{n_R}\quad \Rightarrow \quad {L_b} = \frac{{{{\dot Q}_b}{R_{L,b}}}}{{\Delta {T_{\log ,b}}{n_R}}} = 0,542m

Nun brauchen wir ein drittes Teilsystem:

system3-ausen-luft-warmeubertragung

Sys3:\quad {{\dot Q}_{ges}} = {{\dot m}_L}{c_L}\left( {{T_{out}}-{T_{in}}} \right)

{T_{out}} = 43,12^\circ C

{T_{in}} = 7,554^\circ C

{{\dot Q}_{ges}} = {{\dot m}_L}{c_L}\left( {{T_{out}}-{T_{in}}} \right) = 656,6kW

{{\dot Q}_a} = \frac{{\Delta {T_{\log ,a}}}}{{{R_{L,a}}}}{L_a}{n_R}

\Delta {T_{\log ,a}} = \frac{{\Delta {T_L}-\Delta {T_0}}}{{\ln \left( {\frac{{\Delta {T_L}}}{{\Delta {T_0}}}} \right)}} = 106,9^\circ C

\Delta {T_L} = 140^\circ C-42,39^\circ C = 97,61^\circ C

\Delta {T_0} = {T_{D,in}}-43,12^\circ C

Dabei ist {T_{D,in}} die unbekannte Eingangstemperatur des Nassdampfes.

Um die Temperatur des Nassdampfes zu bestimmen, müssen wir noch ein letztes System bilanzieren:

system4-uberhitzter-dampf-warmeubertragung

Sys4:\quad 0 = -{{\dot Q}_a}+{{\dot m}_D}{c_C}\left( {{T_{D,in}}-{T_{s\ddot att}}} \right)\quad \Rightarrow \quad {T_{D,in}} = 159,9^\circ C

{{\dot Q}_a} = \frac{{\Delta {T_{\log ,a}}}}{{{R_{L,a}}}}{L_a}{n_R}\quad \Rightarrow \quad {L_a} = 0,015m

{L_{ges}} = {L_a}+{L_b} = 0,557m

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4 Kommentare zu “06 – Industrie-Wärmeübertrager (Prüfungsaufgabe!)”

hey ho
Ihr habt hier zwei kleine fehler rein gemacht in Aufgabe e:
1. bei Sys. 3 sid bei delta T(L) und delta T(0) die temperaturen vom Dampf vertauscht
2. bei Q ges bei Sys 3 ist das komma verschoben es müsste 65,66 kW sein

Danke für die Hinweise. Die 65,66 hab ich geändert. Welche Temperaturdifferenz man als 0 und L definiert ist ja eigentlich egal, vor allem wenn die Sachen in unterschiedliche Richtungen fließen. Beim T_log kommt das gleiche raus.

Wenn ich für Qges: mcl=18,336 kg/s und cpl=1.007*10^3 J/kg*K und dT=(43,12K-7,554K) eingebe, dann kommt 656,617kW. Ansonsten wäre Qb um den Faktor 10 größer als ger Gesamtvolumenstrom.

Da hast du Recht, ich habe damals wohl zu blind auf den Kommentar von Roman reagiert :) Habs wieder zurückgeändert.

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