Lösen Sie die Differentialgleichung

Lösung

Da es sich um eine inhomogene Differentialgleichung handelt, müssen wir zuerst die Lösung der homogenen Gleichung

finden. Anschließend suchen wir eine partikuläre Lösung, die die inhomogene DGL erfüllt. Die allgemeine Lösung ist die Summe aus homogener und partikulärer Lösung.

homogene Lösung

Lösungsansatz:

Ableiten und Einsetzen führt auf die charakteristische Gleichung:

Wir lösen die charakteristische Gleichung durch quadratisches Ergänzen:

Dies setzen wir in den Ansatz ein und transformieren schließlich mit der Eulerformel in den reellen Bereich:

Dass diese Funktion die homogene Gleichung erfüllt, sehen wir, wenn wir die Probe durchführen (muss nicht unbedingt gemacht werden):

einsetzen und vereinfachen:

partikuläre Lösung

Als Lösungsansatz verwenden wir einen Ansatz vom “Typ der rechten Seite”. Das bedeutet, wir verwenden als Ansatzfunktion eine Funktion der Klasse der Funktion, die auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens steht. In diesem Fall ist das das Produkt aus einer Exponentialfunktion und eines Polynoms zweiten Grades:

Wir bilden die ersten beiden Ableitungen:

Einsetzen in die inhomogene DGL liefert:

vereinfachen:

Da die Exponentialfunktion immer positiv ist, dürfen wir sie kürzen:

Wir führen nun einen Koeffizientenvergleich durch (Vergleich der Vorfaktoren vor und erhalten dadurch die Werte für die Koeffizienten:

Einsetzen in den Lösungsansatz liefert die partikuläre Lösung:

Damit ist die allgemeine Lösung:

Eine mit Maxima durchgeführte Probe bestätigt das Ergebnis.