6. Integralrechnung 2

Volumen eines Paraboloids

$y = kx^2$

$k = \frac{h} {{a^2 }}$

$\Delta V = \pi f\left( y \right)^2 \Delta y$

$V = \pi \int\limits_0^h {f\left( x \right)^2 dy}$

$V = \pi \int\limits_0^h {\frac{y} {k}dy = \pi \frac{1} {2} \cdot \frac{{h^2 }} {k}}$

$V = \pi ha^2 \cdot \frac{1} {2}$

Bogenlänge einer Kurve

$\Delta s = \sqrt {\Delta x^2 +\Delta y^2 }$

$\Delta s = \sqrt {1+\frac{{\Delta y^2 }} {{\Delta x^2 }}} \cdot \Delta x$

Übergang zu differentiellen Größen:
$ds = \sqrt {1+\left( {\frac{{dy}} {{dx}}} \right)^2 } dx$

gesuchte Bogenlänge: f ^{\prime}(x)
$s = \int\limits_a^b {\sqrt {1+f ^{\prime}\left( x \right)^2 } dx}$

$dA_x = 2\pi f\left( x \right)ds$

$A_x = 2\pi \int\limits_a^b {f\left( x \right) \cdot \sqrt {1+f ^{\prime}\left( x \right)^2 } dx}$

Mehrfachintegrale

Es soll die Fläche einesKreises berechnet werden. Dazu verwendet man die Polarkoordinaten, so dass ein Radius r von 0 bis R variiert und ein Winkel φ von 0 bis 2π.

$A = \int\limits_0^{2\pi } {\int\limits_0^R {rdrd\phi } } = \left[ {\phi \int\limits_0^R {rdr} } \right]_0^{2\pi }$

$A = 2\pi \int\limits_0^R {rdr} = 2\pi \frac{1} {2}R^2 = \pi R^2$

Kugelkoordinaten

Die Kugelkoordinaten geben eine Position im Raum durch die Entfernung zum Ursprung (Radius) und den Winkel zu zwei der Achsen an.

$x = r\cos \phi \sin \vartheta$

$y = r\sin \phi \sin \vartheta$

$z = r\cos \vartheta$

Volumen eines Körpers im Kugel-Kordinatensystem:

$V = \int {\int {\int {f\left( {x,y,z} \right)dxdydz} } }$

Reihenentwicklung

Man kann komplexe analytische Ausdrücke häufig örtlich begrenz durch einen simplen Ausdruck annähren. Einen solchen Ausdruck erhält man zum Beispiel mit der Taylorreihe:

Eine Funktion f sei in (x₀-a; x₀+a) (n+1) mal differenzierbar. Dann gilt:
$f\left( x \right) = \sum\limits_{\nu = 0}^n {\frac{{f^\nu \left( {x_0 } \right)}} {{\nu !}}} \cdot \left( {x-x_0 } \right)^\nu +R_n \left( x \right)$

Mathematical Engineering