6. Integralrechnung 2

 

Volumen eines Paraboloids

y = kx^2

k = \frac{h} {{a^2 }}

\Delta V = \pi f\left( y \right)^2 \Delta y

V = \pi \int\limits_0^h {f\left( x \right)^2 dy}

V = \pi \int\limits_0^h {\frac{y} {k}dy = \pi \frac{1} {2} \cdot \frac{{h^2 }} {k}}

V = \pi ha^2  \cdot \frac{1} {2}

Bogenlänge einer Kurve

\Delta s = \sqrt {\Delta x^2 +\Delta y^2 }

\Delta s = \sqrt {1+\frac{{\Delta y^2 }} {{\Delta x^2 }}}  \cdot \Delta x

Übergang zu differentiellen Größen:
ds = \sqrt {1+\left( {\frac{{dy}} {{dx}}} \right)^2 } dx

gesuchte Bogenlänge: f ^{\prime}(x)
s = \int\limits_a^b {\sqrt {1+f ^{\prime}\left( x \right)^2 } dx}

dA_x  = 2\pi f\left( x \right)ds

A_x  = 2\pi \int\limits_a^b {f\left( x \right) \cdot \sqrt {1+f ^{\prime}\left( x \right)^2 } dx}

Mehrfachintegrale

Es soll die Fläche einesKreises berechnet werden. Dazu verwendet man die Polarkoordinaten, so dass ein Radius r von 0 bis R variiert und ein Winkel φ von 0 bis 2π.

A = \int\limits_0^{2\pi } {\int\limits_0^R {rdrd\phi } }  = \left[ {\phi \int\limits_0^R {rdr} } \right]_0^{2\pi }

A = 2\pi \int\limits_0^R {rdr}  = 2\pi \frac{1} {2}R^2  = \pi R^2

Kugelkoordinaten

Die Kugelkoordinaten geben eine Position im Raum durch die Entfernung zum Ursprung (Radius) und den Winkel zu zwei der Achsen an.

x = r\cos \phi \sin \vartheta

y = r\sin \phi \sin \vartheta

z = r\cos \vartheta

Volumen eines Körpers im Kugel-Kordinatensystem:

V = \int {\int {\int {f\left( {x,y,z} \right)dxdydz} } }

Reihenentwicklung

Man kann komplexe analytische Ausdrücke häufig örtlich begrenz durch einen simplen Ausdruck annähren. Einen solchen Ausdruck erhält man zum Beispiel mit der Taylorreihe:

Eine Funktion f sei in (x0-a; x0+a) (n+1) mal differenzierbar. Dann gilt:
f\left( x \right) = \sum\limits_{\nu  = 0}^n {\frac{{f^\nu  \left( {x_0 } \right)}} {{\nu !}}}  \cdot \left( {x-x_0 } \right)^\nu  +R_n \left( x \right)

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