09.2 – Interpolation eines Dreiecks

Gegeben sei das Dreieck mit den Eckpunkten

$\left( {{x_1},{y_1}} \right) = \left( {0,0} \right),\quad \left( {{x_2},{y_2}} \right) = \left( {1,0} \right),\quad \left( {{x_3},{y_3}} \right) = \left( {0,1} \right)$

a )

Bestimmen Sie die Funktion

$\phi \left( {x,y} \right): = {a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}$

mit $\phi \left( {{x_i},{y_i}} \right) = {f_i},\:\:i = 1,2,3$ .

b )

Nehmen Sie die Kantenmittelpunkte

$\left( {{x_4},{y_4}} \right) = \left( {0.5,0} \right),\quad \left( {{x_5},{y_5}} \right) = \left( {0.5,0.5} \right),\quad \left( {{x_6},{y_6}} \right) = \left( {0,0.5} \right)$

hinzu und bestimmen Sie die Funktion

$\left( {{x_4},{y_4}} \right): = {a_0}+{a_1}x+{a_2}y+{a_3}{x^2}+{a_4}xy+{a_5}{y^2}$

mit $\phi \left( {{x_i},{y_i}} \right) = {f_i},\:\:i = 1, \ldots ,6$ .

Lösung

a )

$\phi \left( {x,y} \right) = {a_0}+{a_1}x+{a_2}y$

$\left( I \right)\quad \quad \phi \left( {0,0} \right) = {a_0} = {f_1}$

$\left( {II} \right)\quad \quad \phi \left( {1,0} \right) = {a_0}+{a_1} = {f_2}\quad \Rightarrow \quad {a_1} = {f_2}-{f_1}$

$\left( {III} \right)\quad \quad \phi \left( {0,1} \right) = {a_0}+{a_2} = {f_3}\quad \Rightarrow \quad {a_2} = {f_3}-{f_1}$

b )

$\phi \left( {x,y} \right) = {a_0}+{a_1}x+{a_2}y+{a_3}{x^2}+{a_4}xy+{a_5}{y^2}$

Es ergibt sich ein Gleichungssystem für 6 Koeffizienten analog zu Aufgabe a).

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