09.2 – Interpolation eines Dreiecks

 

Gegeben sei das Dreieck mit den Eckpunkten

\left( {{x_1},{y_1}} \right) = \left( {0,0} \right),\quad \left( {{x_2},{y_2}} \right) = \left( {1,0} \right),\quad \left( {{x_3},{y_3}} \right) = \left( {0,1} \right)

a )

Bestimmen Sie die Funktion

\phi \left( {x,y} \right): = {a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}

mit \phi \left( {{x_i},{y_i}} \right) = {f_i},\:\:i = 1,2,3.

b )

Nehmen Sie die Kantenmittelpunkte

\left( {{x_4},{y_4}} \right) = \left( {0.5,0} \right),\quad \left( {{x_5},{y_5}} \right) = \left( {0.5,0.5} \right),\quad \left( {{x_6},{y_6}} \right) = \left( {0,0.5} \right)

hinzu und bestimmen Sie die Funktion

\left( {{x_4},{y_4}} \right): = {a_0}+{a_1}x+{a_2}y+{a_3}{x^2}+{a_4}xy+{a_5}{y^2}

mit \phi \left( {{x_i},{y_i}} \right) = {f_i},\:\:i = 1, \ldots ,6.

Lösung

a )

\phi \left( {x,y} \right) = {a_0}+{a_1}x+{a_2}y

\left( I \right)\quad \quad \phi \left( {0,0} \right) = {a_0} = {f_1}

\left( {II} \right)\quad \quad \phi \left( {1,0} \right) = {a_0}+{a_1} = {f_2}\quad \Rightarrow \quad {a_1} = {f_2}-{f_1}

\left( {III} \right)\quad \quad \phi \left( {0,1} \right) = {a_0}+{a_2} = {f_3}\quad \Rightarrow \quad {a_2} = {f_3}-{f_1}

b )

\phi \left( {x,y} \right) = {a_0}+{a_1}x+{a_2}y+{a_3}{x^2}+{a_4}xy+{a_5}{y^2}

Es ergibt sich ein Gleichungssystem für 6 Koeffizienten analog zu Aufgabe a).

Ähnliche Artikel

Kommentar verfassen