12 – Isoliertes Stahlrohr und Wasserstrom

 

Durch ein frei im Raum verlegtes horizontales Stahlrohr von 20mm Innendurchmesser und 2mm Wandstärke strömt ein Wasserstrom \dot m = \frac{1}{2}\frac{{kg}}{s} mit einer Temperatur T_W^{in} = 80^\circ C. Das Stahlrohr ist mit einer 30mm dicken Isolationsschicht aus Steinwolle umgeben.
Wie viel Wärme gibt das Rohr auf den ersten 5 Metern an den Raum ab, wenn es mit einer Geschwindigkeit von {\omega _\infty } = 10\frac{m}{s} von der Raumluft der Temperatur {T_L} = 20^\circ C quer angeströmt wird?

Für den Wärmeübergang vom Wasser an die Rohrwand gilt die mittlere Nußelt-Zahl

\overline {N{u_{di}}} = 0.032 \cdot \operatorname{Re} _{di}^{\frac{4}{5}}{\Pr ^{\frac{1}{3}}},

die ebenso wie die Reynolds-Zahl auf den Rohrinnendurchmesser {d_i} bezogen ist, und für den äußeren Wärmeübergang (ein quer angeströmtes zylindrisches Rohr) gilt die Beziehung

\overline {N{u_{da}}} = 1.1 \cdot \operatorname{Re} _{da}^{\frac{2}{5}}{\Pr ^{\frac{3}{4}}},

bezogen auf den Außendurchmesser {d_a}. Die benötigten Stoffdaten sind in der folgenden Tabelle zusammengefasst:

\begin{array}{*{20}{c}}{} &\vline & {Luft} & {Wasser} & {Stahl} & {Steinwolle} \\ \hline{W\ddot armeleitf\ddot ahigkeit\:\:k\:\:in\:\:\left[ {\frac{W}{{m \cdot K}}} \right]} &\vline & {0.046} & {0.67} & {42.0} & {0.04} \\{Dichte\:\:\rho \:\:in\:\left[ {\frac{{kg}}{{{m^3}}}} \right]} &\vline & {0.62} & {972} & - & - \\{spez.\:\:W\ddot armekapazit\ddot at\:\:{c_p}\:\:in\:\left[ {\frac{{kJ}}{{kgK}}} \right]} &\vline & {1.05} & {4.2} & - & - \\{kin.\:\:Viskosit\ddot at\:\:in\:\left[ {\frac{{{m^2}}}{s}} \right]} &\vline & {48 \cdot {{10}^{-6}}} & {0.336 \cdot {{10}^{-6}}} & - & - \\   \end{array}

Lösung

In dieser Aufgabe soll der Verlustwärmestrom eines mit Luft quer angeströmten, isolierten Stahlrohrs berechnet werden. Die Konfiguration entspricht der eines Einstromwärmeübertragers.

Skizze des Problems:

warmeubertragung-stahlrohr-wasserstrom

Der Verlustwärmestrom wird durch den Wärmewiderstand und die logarithmische Temperaturdifferenz ausgedrückt:

{{\dot Q}_V} = \frac{{\Delta {T_{\log }}}}{{{R_{ges}}}}

\Delta {T_{\log }} = \frac{{\Delta {T_0}-\Delta {T_L}}}{{\ln \left( {\frac{{\Delta {T_0}}}{{\Delta {T_L}}}} \right)}} = \frac{{\left( {T_W^{in}-{T_L}} \right)-\left( {T_W^{out}-{T_L}} \right)}}{{\ln \left( {\frac{{T_W^{in}-{T_L}}}{{T_W^{out}-{T_L}}}} \right)}}

Der erste Hauptsatz der Thermodynamik für das System Wasser liefert bei Stationarität:

\underbrace {\frac{{\partial U}}{{\partial t}}}_{ = 0} = \sum {\dot Q} +\underbrace {\sum {\dot W} }_{ = 0}+\sum {\dot m \cdot {h_{tot}}}

0 = -{{\dot Q}_W}+{{\dot m}_W} \cdot {c_{p,w}}\left( {T_W^{in}-T_W^{out}} \right)\quad \Rightarrow \quad {{\dot Q}_W} = {{\dot m}_W} \cdot {c_{p,w}}\left( {T_W^{in}-T_W^{out}} \right)

Eine Bilanz über die Rohrwand liefert:

{\dot Q_V} = {\dot Q_W}

Wir erhalten so

{{\dot Q}_V} = {{\dot Q}_W}

\frac{{\Delta {T_{\log }}}}{{{R_{ges}}}} = {{\dot m}_W} \cdot {c_{p,w}}\left( {T_W^{in}-T_W^{out}} \right)

\frac{1}{{{R_{ges}}}} \cdot \frac{{\left( {T_W^{in}-{T_L}} \right)-\left( {T_W^{out}-{T_L}} \right)}}{{\ln \left( {\frac{{T_W^{in}-{T_L}}}{{T_W^{out}-{T_L}}}} \right)}} = {{\dot m}_W} \cdot {c_{p,w}}\left( {T_W^{in}-T_W^{out}} \right)

\frac{1}{{{R_{ges}}}} \cdot \frac{{T_W^{in}-T_W^{out}}}{{\ln \left( {\frac{{T_W^{in}-{T_L}}}{{T_W^{out}-{T_L}}}} \right)}} = {{\dot m}_W} \cdot {c_{p,w}}\left( {T_W^{in}-T_W^{out}} \right)

\ln \left( {\frac{{T_W^{in}-{T_L}}}{{T_W^{out}-{T_L}}}} \right) = \frac{1}{{{R_{ges}} \cdot {{\dot m}_W} \cdot {c_{p,w}}}}

Daraus erhalten wir die noch unbekannte Temperatur des Wassers am Austritt:

\ln \left( {\frac{{T_W^{in}-{T_L}}}{{T_W^{out}-{T_L}}}} \right) = \frac{1}{{{R_{ges}} \cdot {{\dot m}_W} \cdot {c_{p,w}}}}

\frac{{T_W^{in}-{T_L}}}{{T_W^{out}-{T_L}}} = \exp \left\{ {\frac{1}{{{R_{ges}} \cdot {{\dot m}_W} \cdot {c_{p,w}}}}} \right\}

T_W^{out} = \frac{{T_W^{in}-{T_L}}}{{\exp \left\{ {\frac{1}{{{R_{ges}} \cdot {{\dot m}_W} \cdot {c_{p,w}}}}} \right\}}}+{T_L}

Wir müssen nun noch den Wärmewiderstand R bestimmen. Dieser setzt sich additiv aus dem Widerstand des konvektiven Wärmeübergangs vom Wasser an das Stahlrohr, den Leitungswiderständen des Stahlrohrs und der Isolierschicht sowie dem Wärmewiderstand der konvektiven Wärmeübertragung zwischen Steinwolle und Luft zusammen (vergleiche Aufgabe 3). Neu ist hier, dass die Wärmeübergangskoeffizienten nicht vorgegeben sind, sondern aus der gegebenen Nußelt-Beziehung berechnet werden müssen.

Betrachten wir zunächst den Wärmeübergang zwischen Wasser und Stahlrohr. Dort gilt die Beziehung:

\overline {N{u_{di}}} = 0.032 \cdot \operatorname{Re} _{di}^{\frac{4}{5}}{\Pr ^{\frac{1}{3}}} = \frac{{{h_i} \cdot {d_i}}}{{{k_W}}}\quad \Rightarrow \quad {h_i} = \frac{{0.032 \cdot \operatorname{Re} _{di}^{\frac{4}{5}} \cdot {{\Pr }^{\frac{1}{3}}} \cdot {k_W}}}{{{d_i}}}

Der Querstrich über der Nußelt-Zahl gibt an, dass dies die gemittelte ist. Die charakteristische Länge ist der Rohrinnendurchmesser. Aus dieser Gleichung können wir den gesuchten Wärmeübergangskoeffizienten {h_i} bestimmen, nachdem wir die Prandtlzahl und die Reynoldszahl berechnet haben. Die Reynoldszahl setzt sich aus der Strömungsgeschwindigkeit und der kinematischen Viskosität des Wassers, sowie der charakteristischen Länge (Rohrdurchmesser) zusammen. Die Geschwindigkeit des Wassers ergibt sich aus dessen Massenstrom:

\rho = \frac{m}{V}\quad \Rightarrow \quad V = \frac{m}{\rho }\quad \Rightarrow \quad \dot V = \frac{{\dot m}}{\rho },\quad \dot V = w \cdot A

\quad \Rightarrow \quad \frac{{\dot m}}{\rho } = w \cdot A

\quad \Rightarrow \quad w = \frac{{\dot m}}{{\rho \cdot A}} = \frac{{\dot m}}{{{\rho _W} \cdot \pi \cdot \frac{{d_i^2}}{4}}} = \frac{{\frac{1}{2}\frac{{kg}}{s}}}{{972\frac{{kg}}{{{m^3}}} \cdot \pi \cdot \frac{{20 \cdot {{10}^{-3}}m}}{4}}} = 1,637\frac{m}{s}

Daraus ergibt sich die Reynoldszahl:

{\operatorname{Re} _{di}} = \frac{{{d_i} \cdot w}}{{{\nu _W}}} = \frac{{20 \cdot {{10}^{-3}}m \cdot 1,637\frac{m}{s}}}{{0,366 \cdot {{10}^{-6}}\frac{{{m^2}}}{s}}} = 89453

Die Prandtlzahl berechnet sich zu:

\Pr = \frac{{{\nu _W}}}{{{\alpha _W}}} = \frac{{{\nu _W} \cdot {\rho _W} \cdot {c_{p,w}}}}{{{k_W}}} = \frac{{0,366 \cdot {{10}^{-6}}\frac{{{m^2}}}{s} \cdot 972\frac{{kg}}{{{m^3}}} \cdot 4,2 \cdot {{10}^3}\frac{J}{{kg \cdot K}}}}{{0,67\frac{W}{{m \cdot K}}}} = 2,23

So erhalten wir den inneren Wärmeübergangskoeffizienten:

{h_i} = \frac{{0.032 \cdot \operatorname{Re} _{di}^{\frac{4}{5}} \cdot {{\Pr }^{\frac{1}{3}}} \cdot {k_W}}}{{{d_i}}} = 12810\frac{W}{{{m^2}K}}

Als zweites betrachten wir den konvektiven Wärmeübergang von der Steinwolle an die Luft. Hier gilt eine andere, an den quer angeströmten Zylinder angepasste Nußelt-Beziehung:

\overline {N{u_{da}}} = 1.1 \cdot \operatorname{Re} _{da}^{\frac{2}{5}}{\Pr ^{\frac{3}{4}}} = \frac{{{h_a} \cdot {d_a}}}{{{k_L}}}\quad \Rightarrow \quad {h_a} = \frac{{1.1 \cdot \operatorname{Re} _{da}^{\frac{2}{5}} \cdot {{\Pr }^{\frac{3}{4}}} \cdot {k_L}}}{{{d_a}}}

Die Reynoldszahl wird hier mit der Luftgeschwindigkeit und den Stoffwerten von Luft gebildet:

{\operatorname{Re} _{da}} = \frac{{{d_a} \cdot {w_\infty }}}{{{\nu _L}}}

Der Außendurchmesser ergibt sich aus der Summe der einzelnen Schichten:

{d_a} = {d_i}+2 \cdot {s_{Stahl}}+2 \cdot {s_{Wolle}} = 20mm+2 \cdot 2mm+2 \cdot 30mm = 0,084m

Einsetzen ergibt:

{\operatorname{Re} _{da}} = \frac{{{d_a} \cdot {w_\infty }}}{{{\nu _L}}} = \frac{{0,084m \cdot 10\frac{m}{s}}}{{48 \cdot {{10}^{-6}}}} = 17500

Die Prandtlzahl wird auch mit den Stoffwerten von Luft berechnet:

\Pr = \frac{{{\nu _L}}}{{{\alpha _L}}} = \frac{{{\nu _L} \cdot {\rho _L} \cdot {c_{p,L}}}}{{{k_L}}} = \frac{{48 \cdot {{10}^{-6}}\frac{{{m^2}}}{s} \cdot 0,62\frac{{kg}}{{{m^3}}} \cdot 1,05 \cdot {{10}^3}\frac{J}{{kg \cdot K}}}}{{0,046\frac{W}{{m \cdot K}}}} = 0,6793

Damit erhalten wir den Wärmeübergangskoeffizienten:

{h_a} = \frac{{1,1 \cdot \operatorname{Re} _{da}^{\frac{2}{5}} \cdot {{\Pr }^{\frac{3}{4}}} \cdot {k_L}}}{{{d_a}}} = \frac{{1,1 \cdot {{17500}^{\frac{2}{5}}} \cdot {{0,6793}^{\frac{3}{4}}} \cdot 0,046}}{{0,084m}} = 22,45\frac{W}{{{m^2}K}}

Bei den Leitungs-Wärmewiderständen sind die unterschiedlichen Durchmesser zu beachten und die Formeln für ein zylinderförmiges Rohr anzuwenden. Der Gesamtwärmewiderstand ergibt sich mit der Länge L des Rohrs zu

{R_{ges}} = {R_i}+{R_{Stahl}}+{R_{Wolle}}+{R_a}

{R_{ges}} = \frac{1}{{\pi L}}\left( {\frac{1}{{{h_i}{d_i}}}+\frac{{\ln \left( {\frac{{{d_i}+2 \cdot {s_{Stahl}}}}{{{d_i}}}} \right)}}{{2 \cdot {k_{Stahl}}}}+\frac{{\ln \left( {\frac{{{d_i}+2 \cdot {s_{Stahl}}+2 \cdot {s_{Wolle}}}}{{{d_i}+2 \cdot {s_{Stahl}}}}} \right)}}{{2 \cdot {k_{Wolle}}}}+\frac{1}{{{h_a}{d_a}}}} \right)

{R_{ges}} = 1,031\frac{K}{W}

Jetzt können wir die Austrittstemperatur des Wassers berechnen:

T_W^{out} = \frac{{T_W^{in}-{T_L}}}{{\exp \left\{ {\frac{1}{{{R_{ges}} \cdot {{\dot m}_W} \cdot {c_{p,w}}}}} \right\}}}+{T_L}

T_W^{out} = \frac{{80^\circ C-20^\circ C}}{{\exp \left\{ {\frac{1}{{1,031\frac{K}{W} \cdot \frac{1}{2}\frac{{kg}}{s} \cdot 4,2 \cdot {{10}^3}\frac{J}{{kg \cdot K}}}}} \right\}}}+20^\circ C = 79,97^\circ C

Die Temperaturabsenkung ist also nur 0,03 Kelvin. Daraus kann man nun mit Hilfe des ersten Hauptsatzes den Verlustwärmestrom berechnen:

{\dot Q_V} = {\dot m_W} \cdot {c_{p,W}} \cdot \left( {T_W^{in}-T_W^{out}} \right) = \frac{1}{2}\frac{{{m^3}}}{s} \cdot 4,2 \cdot {10^3}\frac{J}{{kg \cdot K}} \cdot \left( {80^\circ C-79,97^\circ C} \right) = 63W

Das Rohr ist also sehr gut isoliert.

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