05.2 – Iterationsmatrix und Spektralradius von Jacobi und Gauß-Seidel

 

Es sei die Matrix

\left( {\begin{array}{*{20}{c}}    {{d_1}} & {{b_1}}  \\    {{b_2}} & {{d_2}}  \\  \end{array} } \right)

gegeben.

  1. Bestimmen Sie die Iterationsmatrix {M_J} für das Jacobi-Verfahren und die Iterationsmatrix {M_{GS}} für das Gauß-Seidel-Verfahren.
  2. Bestimmen Sie die Spektralradien \rho \left( {{M_J}} \right) und \rho \left( {{M_{GS}}} \right) und weisen Sie nach, dass \rho \left( {{M_{GS}}} \right) = \rho {\left( {{M_J}} \right)^2} gilt. Was folgt daraus für die Konvergenz der beiden Verfahren?

Lösung

Wir haben die Matrix

\left( {\begin{array}{*{20}{c}}    {{d_1}} & {{b_1}}  \\    {{b_2}} & {{d_2}}  \\  \end{array} } \right)

gegeben.

Jacobi-Verfahren

{M_J} = I-{D^{-1}}A

= \left( {\begin{array}{*{20}{c}}    1 & 0  \\    0 & 1  \\  \end{array} } \right)-\left( {\begin{array}{*{20}{c}}    {\frac{1}{{{d_1}}}} & 0  \\    0 & {\frac{1}{{{b_1}}}}  \\  \end{array} } \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}    {{d_1}} & {{b_1}}  \\    {{b_2}} & {{d_2}}  \\  \end{array} } \right)

= \left( {\begin{array}{*{20}{c}}    1 & 0  \\    0 & 1  \\  \end{array} } \right)-\left( {\begin{array}{*{20}{c}}    1 & {\frac{{{b_1}}}{{{d_1}}}}  \\    {\frac{{{b_2}}}{{{d_2}}}} & 1  \\  \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}    0 & {-\frac{{{b_1}}}{{{d_1}}}}  \\    {-\frac{{{b_2}}}{{{d_2}}}} & 0  \\  \end{array} } \right)

Eigenwerte:

\det \left( {{M_J}-\lambda I} \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}    {-\lambda } & {-\frac{{{b_1}}}{{{d_1}}}}  \\    {-\frac{{{b_2}}}{{{d_2}}}} & {-\lambda }  \\  \end{array} } \right| = {\lambda ^2}-\frac{{{b_1}{b_2}}}{{{d_1}{d_2}}}

\quad  \Rightarrow \quad {\lambda _{1,2}} =  \pm \sqrt {\frac{{{b_1}{b_2}}}{{{d_1}{d_2}}}}

\quad  \Rightarrow \quad \rho \left( {{M_J}} \right) = \sqrt {\left| {\frac{{{b_1}{b_2}}}{{{d_1}{d_2}}}} \right|}

Gauß-Seidel-Verfahren

{M_{GS}} = I-{\left( {D+L} \right)^{-1}}A

D+L = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}    {{d_1}} & 0  \\    {{b_2}} & {{d_2}}  \\  \end{array} } \right),\quad \left( {D+L} \right) = \frac{1}{{{d_1}{d_2}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}    {{d_2}} & 0  \\    {-{b_2}} & {{d_1}}  \\  \end{array} } \right)

{M_{GS}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}    1 & 0  \\    0 & 1  \\  \end{array} } \right)-\frac{1}{{{d_1}{d_2}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}    {{d_2}} & 0  \\    {-{b_2}} & {{d_1}}  \\   \end{array} } \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}    {{d_1}} & {{b_1}}  \\    {{b_2}} & {{d_2}}  \\   \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}    0 & {-\frac{{{b_1}}} {{{d_2}}}}  \\    0 & {\frac{{{b_2}{b_1}}} {{{d_1}{d_2}}}}  \\   \end{array} } \right)

Daraus folgt:

\quad  \Rightarrow \quad {\lambda _1} = 0,\quad {\lambda _2} = \frac{{{b_1}{b_2}}}{{{d_1}{d_2}}}

\quad  \Rightarrow \quad \rho \left( {{M_{GS}}} \right) = \left| {\frac{{{b_1}{b_2}}}{{{d_1}{d_2}}}} \right|

\quad  \Rightarrow \quad \rho \left( {{M_{GS}}} \right) = \rho {\left( {{M_J}} \right)^2}

Falls \rho \left( {{M_J}} \right) < 1, kann also beim Gauß-Seidel-Verfahren mit besser Konvergenz gerechnet werden (etwa doppelt so schnell).

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3 Kommentare zu “05.2 – Iterationsmatrix und Spektralradius von Jacobi und Gauß-Seidel”

“Was folgt daraus für die Konvergenz der beiden Verfahren? Lösung Wir haben die Matrix gegeben. Jacobi-Verfahren Eigenwerte: Gauß-Seidel-Verfahren Daraus folgt:…” – du hast hier nen kleinen fehler :)

Verrätst du mir, um was für einen Fehler es sich handelt? ;)

In der zweiten Zeile des Gauß-Seidel-Verfahrens, fehlt im zweiten Term das hoch -1 für Inverse.

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