Zu berechnen sind die Integrale
a) Zeigen Sie die Abschätzung
b) Zeigen Sie, dass die Integrale der linearen Rekursion
genügen
c) Wir gehen im Folgenden von exakter Gleitpunktarithmetik aus. Der Startwert lässt sich im Rechner nicht exakt darstellen. Stattdessen wird ein gerundeter Wert
verwendet. Wie pflanzt sich der Fehler
fort?
d) Zu berechnen sei nun . Wäre
für ein gewisses
bekannt, könnte man die Rückwärtsrekursion
verwenden. Wie pflanzt sich der Startfehler
fort? Wie groß muss
sein, um das Integral
in Matlab mit voller Genauigkeit zu berechnen, wenn man als Startwert
wählt?
Lösung
a )
Da , folgt sofort
b )
Zeigen:
Dies erhält man am einfachsten durch partielle Integration:
c )
exakter Startwert:
angenäherter Wert:
Wir treffen die folgende Vereinfachung: Die Rekursion läuft mit exakter Arithmetik ab, also ohne weitere Rundungsfehler.
Wir betrachten den ersten durch die Rekursion berechneten Wert:
Für den nächsten Rekursionsschritt gilt:
Analog gilt für den dritten Schritt:
und so weiter. Wir stellen damit die allgemeine Formel auf und beweisen diese mit Hilfe der vollständigen Induktion:
Induktionsannahme:
Induktionsanfang: bereits oben gezeigt
Induktionsschritt:
Einsetzen der Induktionsannahme:
d )
Aus Teilaufgabe b übernehmen wir:
Es gilt:
Mit Induktion folgt dann:
Es gibt also eine starke Dämpfung von , wodurch auch ein beliebig schlechter Startwert zum richtigen Ergebnis führt.
Für den Startwert gilt nach Teilaufgabe a:
, da der Fehler höchstens die Hälfte der Intervalllänge sein kann. Es folgt:
Damit die Maschinengenauigkeit ausgeschöpft wird, gilt:
für