Lösung

a

U definiert hier ein offenes Dreieck als Definitionsbereich für die Funktion f:

Dies ist eine Draufsicht der Funktion, um den Definitionsbereich zu veranschaulichen. Eine räumliche Ansicht der Funktion sähe so aus:

Weil in U nur < und > vorkommen ist die Menge U offen.

Das bedeutet also:

D.h. f ist eine Funktion aus der Menge (H) der „durch stetige Funktionen monoton von unten approximierbaren Funktionen“.

f lässt sich somit auch schreiben als:

wobei für die Charakteristische Funktion nichts anderes gilt, als:

Diese Funktion lässt sich durch stetige Funktionen approximieren. Daher gilt:

Nach der Aussage von Aufgabe 35 gilt somit auch

b

Mit Hilfe des Satzes von Fubini wird die Integration von Funktionen über mehrdimensionale Gebiete definiert.
Damit können wir mehrdimensionale Integrale auf eindimensionale zurückführen, um sie so zu berechnen:

Das ganze nun noch einmal wesentlich einfacher ausgedrückt anhand folgender Beispiele:

Um nun die in (a) gegebene Funktion zu integrieren schreiben wir also:

Mit Hilfe des ersten Schaubildes legen wir nun die Integrationsgrenzen fest. y lassen wir einfach von 0 bis 1 laufen. Dann müssen wir x jeweils von 0 bis 1-y laufen lassen:

Fertig!

Beweisen oder widerlegen Sie

Lösung

Zunächst veranschaulichen wir die Funktionsbedingungen anhand eines Graphen:

Dann stellen wir die Gleichungen auf:

Zur Erklärung: Sei y = 1/4, dann müssen wir für 0 ≤ x < 1/4=y die Funktion 1/y² verwenden und für 1/4=y < x ≤ 1 die Funktion -1/x².

Und nun für dy:

Also erhalten wir insgesamt:

Da dies ein Widerspruch ist folgt daraus:

Die Integrationen lassen sich in diesem Beispiel also nicht beliebig vertauschen. Dies funktioniert nur für den Fall, dass die betrachtete Funktion stetig ist!

1. Zeigen Sie die Äquivalenz der folgenden beiden Aussagen.

   1. 

   2. Es gibt ein zweimal stetig differenzierbares q : mit

      

2. Zeigen Sie, dass

   

3. Werfen Sie einen Blick auf Aufgabe 27 (a) und zeigen Sie sodann die Äquivalenz der folgenden beiden Aussagen.

   1. 

   2. Es gibt zweimal stetig differenzierbare p, q : mit

      

Lösung

a)

Der Beweis von (ii) nach (i) ist trivial. Wir leiten einfach nach x ab. Da q(y) in Richtung x konstant ist, fällt ist die Ableitung davon gleich 0:

Der Beweis von (i) nach (ii) geht wie folgt. Als Ausgangsgleichung haben wir

Wir halten nun y fest und integrieren nach x:

Die bei der Integration entstehenden Konstanten wurden zum c auf der rechten Seite der Gleichung zusammengefasst.
Die entstandene Gleichung gilt nun aber nur für ein festes y. Das c hängt also von y ab. Daher lassen wir nun das y „laufen“ und beschreiben jetzt c durch eine Funktion q(y):

b)

Wir zeigen durch Ableiten

c)

Der Beweis von (ii) nach (i) ist trivial. Wir nehmen die Funktion und leiten zunächst nach x ab:

und leiten anschließend nach y ab:

Der Beweis von (i) nach (ii) geht wie folgt. Als Ausgangsgleichung haben wir

Zunächst „halten“ wir das x „fest“ und Integrieren nach y:

Da wir das x festgehalten haben und nun ein c entstanden ist, hängt dieses c von x ab. Daher lassen wir das x nun „laufen“. D.h. wir schreiben c als Funktion von x auf:

Nun halten wir das y fest und integrieren nach x:

Die Integration von p(x) dürfen wir so schreiben, da sie in dieser Schreibweise nach wie vor immer noch von x abhängt.
Das d, welches wir nun bekommen haben hängt von y ab, da wir ja gerade y „festgehalten“ haben. Daher schreiben wir jetzt d als Funktion von y auf:

Fertig!

und

Lösung

Beginnen wir mit

Wenn wir nach s integrieren, so ist die Funktion q(t) (die ja nicht von s abhängt) für p(s) nichts weiter als ein konstanter Faktor. Daher können q(t) vor das innere Integral ziehen:

Wenn wir dann nach t integrieren gilt analog, dass wir das Integral von p(s) auch wieder herausziehen können, da es für die Integration nach t wie ein konstanter Faktor behandelt wird:

Wir merken uns also:
Wenn 2 Faktoren unter einem Integral in 2 unabhängige Richtungen (hier s und t) weisen, so können wir sie auch getrennt voneinander integrieren und anschließend multiplizieren.

Kommen wir zur zweiten Funktion:

Wenn wir nach s integrieren, so ist q(t) konstant und wird wie eine Konstante aufgeleitet:

Das gleiche gilt nun analog für p(s) beim Aufleiten nach t. Beim Aufleiten von q(t) nach t ist s nichts weiter als ein konstanter Faktor:

Wie man sieht, ist also eine Addition von Funktionen auf ähnliche Weise zerlegbar. Zu beachten ist jedoch der Koeffizient des jeweils anderen Integrals (s, t).

Lösung

Die Funktion sieht so aus:

Sie geht also jenseits der 1 bzw. -1 schnell gegen unendlich. Dementsprechend wird auch der zu berechnende Flächeninhalt sehr groß werden.

Um die Rechnung zu vereinfachen, vertauschen wir als erstes die Integrale:

Integration nach y:

Integration nach x:

Idee:

Angewandt:

Also:

durch

definiert. Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Gleichungen:

Lösung

Hier ein Schaubild der Funktion:

Sie sieht fast aus wie die mehrdimensionale Glockenkurve, der Unterschied wird erst bei einem größeren Intervall deutlich:

Nun kommen wir zu den drei Gleichungen.

a )

Wir berechnen die partielle Ableitung nach x:

Die Ableitung hängt nicht mehr von y ab. Wenn wir nun also nach y partiell ableiten, verschwindet die zweite partielle Ableitung:

b )

Wir setzen die partielle Ableitung ein und integrieren:

Vergleich mit der rechten Seite der Gleichung:

Die Ergebnisse sind unterschiedlich. Dier partielle Ableitung kann also nicht einfach aus dem Integral herausgezogen werden, so dass sie sich mit der Integration aufhebt.

c )

Wir formen die linke Seite um, indem wir die Reihenfolge der Integrale vertauschen:

Das äußere Integral und die partielle Ableitung heben sich nun auf:

durch

definiert. Berechnen Sie

Lösung

Die Funktion ist eine dreidimensionale Glockenkurve (Gauß-Funktion):

und nicht integrierbar. Wir können allerdings die Reihenfolge der Operationen vertauschen:

Das geht, obwohl zwar nach y differenziert, aber nach x integriert wird.

eingesetzt:

Im Integral stehen nun keine Variablen, die von x abhängen, die Funktion kann daher vor das Integral gezogen werden:

1. Zeigen Sie, dass F umkehrbar ist mit der Umkehrfunktion

   

2. Bestimmen Sie die Funktionalmatrix

   

   von F, sowie die Inverse, wo diese existiert.

3. Berechnen Sie die Funktionalmatrix

   

   von F^-1 im Punkt (4, -2), ohne F^-1 zu differenzieren.

Lösung

a )

Um die Umkehrfunktion zu erhalten, schreiben wir zunächst die beiden Teilfunktionen der mehrdimensionalen Funktion explizit auf:

Für die Umkehrfunktion

muss gelten:

umstellen:

b )

Die Funktionalmatrix einer Funktion mit dem Aufbau

ist definiert als

Wir berechnen also die partiellen Ableitungen und erhalten:

Die Inverse dieser Funktionalmatrix existiert dort, wo die Determinante der Jakobimatrix ungleich 0 ist:

Es müssen also sowohl x als auch y ungleich 0 sein.

Die Inverse wird über die Adjunkte der Matrix berechnet (Transponierte Matrix der Kofaktoren):

eingesetzt:

c )

Wir suchen nun die Funktionalmatrix

Hierfür müssen wir zu dem Wertepaar (4, -2) zunächst die Werte für die Umkehrfunktion finden:

Es gilt:

Zeigen Sie, dass die Menge

abgeschlossen und beschränkt ist.

Zeigen Sie, dass die Menge

offen ist.

Lösung

a )

Wir betrachten zunächst als Beispiel die Menge

Um herauszufinden, ob sie offen oder abgeschlossen ist, betrachten wir ihr Mengenkomplement

Im Bild ist das Mengenkomplement rechts dargestellt:

Es ist möglich, um jeden Punkt eine Kugel zu legen, so dass die gesamte Kugel innerhalb der Menge liegt, daher ist die Menge offen.
Die Betrachtete Menge ist also Mengenkomplement der offenen Menge also abgeschlossen.

Nun kommen wir zu der Menge

Wir können sie als Schnittmenge aus drei Einzelmengen auffassen:

Schnittmenge:

b )

Statt

betrachten wir den Schnitt

Als Schnittmenge von drei offenen Mengen ist auch dies wieder eine offene Menge.

c )

Es soll gelten:

Die zu maximierende Funktion hängt von drei Parametern ab:

Wir formen zunächst die erste Bedingung um, damit wir die Funktion in Abhängigkeit von nur zwei Variablen ausdrücken können:

Nun suchen wir eine Extremstelle. Hierfür benötigen wir den Gradienten:

An der Extremstelle verschwindet der Gradient:

Gleichsetzen:

Auflösen durch quadratisches Ergänzen:

Dies setzen wir in eine Gleichung des Gradienten ein:

Noch ein Mal quadratisch ergänzen:

Die Zahlen sollen positiv sein, daher ist 20 die einzige Lösung.

Einsetzen:

Die Zahlen sind also alle gleich 20. Ihr Produkt ist dann 20³ = 8000.

mit

und

mit

für ein r > 0.

Bestimmen Sie mit Hilfe der Lagrange-Multiplikatoren das globale Maximum von ha unter der Nebenbedingung F(x₁, …, x_n) = 0. Sie dürfen ohne Beweis verwenden, dass die Menge

abgeschlossen und beschränkt ist.

Lösung

Die Funktion ist n-dimensional und lässt sich daher nicht zeichnen. Wir müssen das Problem daher rein analytisch angehen.

Wir haben die beiden Funktionen gegeben:

Das Maximum ist dort, wo die Gradienten der beiden Funktionen parallel zueinander sind. Dies ist schnell an einem Beispiel im R² erklärt:

Die Funktion, die das Gebiet definiert, ist hier blau eingezeichnet. Die grüne Funktion soll über dieser Funktion irgendwo maximal sein. Da die grüne Funktion nach rechts oben größer wird, ist das Maximum genau der Punkt, in dem die grüne Höhenlinie die blaue Nulllinie tangential berührt.
An dieser Stelle zeigen die Gradienten in die gleiche Richtung. Die Steigung der beiden Funktionen kann zwar unterschiedlich groß sein, dies bewirkt aber nur eine Verlängerung oder Verkürzung des Gradienten, der immer in der Ebene liegt und in die Richtung der größten Steigung zeigt.
Es gibt daher einen Faktor λ, den Lagrange-Multiplikator, mit dem man den grünen in den blauen Gradienten umformen kann:

Wir berechnen also die beiden Gradienten.

Der Gradient von h:

… und so weiter. Also:

Der Gradient von F:

In die Gleichung eingesetzt:

Das führt zu den n Einzelgleichungen:

und so weiter. Daraus kann man schließen:

Wir können die Funktion F daher unter der Nebenbedingung wie folgt schreiben:

Auf der Nulllinie ist die Funktion gleich 0:

Da alle x-Werte gleich sein müssen, ist der einzige für ein Maximum in Frage kommende Kandidat:

In die Funktion h eingesetzt: