Was ist das Extensionalitätsaxiom?

Antwort 1

Zwei Mengen M und N sind genau dann gleich, wenn sie die gleichen Elemente enthalten.

Frage 2 – Rechenregeln der Mengenlehre

Mathematische Schreibweise für die folgenden Rechenregeln der Mengenlehre:
Assoziativgesetz
Kommutativgesetz
Distributivgesetz

Antwort 2

Assoziativgesetz:

Kommutativgesetz:

Distributivgesetz:

Frage 3 – Kreuzprodukt

Mathematische Definition für das Kreuzprodukt oder das kartesische Produkt

Antwort 3

Frage 4 – Komposition aus Mengen

Mathematische Definition für die Komposition aus den Mengen A, B, C

Antwort 4

Frage 5 – Definition der inversen Relation

Mathematische Definition der inversen Relation

Antwort 5

Frage 6 – Funktion

Definition einer Funktion

Antwort 6

R ist eine Funktion von A nach B, wenn es zu jedem genau ein gibt mit .
Dann schreibt man auch . Das zu eindeutig bestimmte mit xRy wird mit geschrieben.

Frage 7 – Surjektiv, Injektiv, Bijektiv

Definitionen von:
Surjektiv
Injektiv
Bijektiv

Antwort 7

Eine Funktion heißt

Surjektiv, wenn es zu jedem ein gibt mit

Injektiv, wenn für alle x, x’ gilt: sind x und x’ verschieden, so sind auch und verschieden.

Bijektiv, wenn sie surjektiv und injektiv ist

Frage 8 – Arten von Axiomen

Was für Arten von Axiomen gibt es im Körper der reellen Zahlen?

Antwort 8

• Körperaxiome: Axiome für das Rechnen mit reellen Zahlen
• Anordnungsaxiome: Axiome für das Vergleichen von reellen Zahlen
• Ein Vollständigkeitsaxiom

Frage 9 – Körperaxiome für Addition

Wie lauten die vier Körperaxiome der reellen Zahlen für die Addition?

Antwort 9

Für :

• Assoziativität von +:
• Neutralität der 0:
• Kommutativität von +:
• Existenz des Inversen:

Frage 10 – Körperaxiome für Multiplikation

Wie lauten die vier Körperaxiome der reellen Zahlen für die Multiplikation?

Antwort 10

Für :

• Assoziativität von *:
• Neutralität der 1:
• Kommutativität von *:
• Existenz des Inversen:

Frage 11 – Distributivität und das Vollständigkeit

Wie lauten das Axiom der Distributivität und das Vollständigkeitsaxiom der reellen Zahlen?

Antwort 11

Für :

Distributivität:

Vollständigkeitsaxiom:

Jede nichtleere nach oben beschränkte Teilmenge von hat ein Supremum in .

Frage 12 – Anordnungsaxiome

Wie lauten die Anordnungsaxiome für die reellen Zahlen?

Antwort 12

Für :

• Trichotomie: Für je zwei gilt jeweils genau eine der drei folgenden Möglichkeiten:
• Transitivität:
• Monotonie von +:
• Monotonie von *:

Frage 13 – Betrages einer reellen Zahl

Was sind die drei wichtigsten Eigenschaften des Betrages einer reellen Zahl?

Antwort 13

Für :

• 
• Multiplikativität:
• Dreiecksungleichung: (äquivalent: )

Frage 14 – Grenzwert einer Folge

Wann konvergiert eine Folge gegen den Grenzwert a?

Antwort 14

Die Folge konvergiert gegen a, wenn:

Frage 15 – Rechenregeln für Grenzwerte

Wie lauten die Rechenregeln für Grenzwerte?

Antwort 15

Für konvergente Folgen und

• 
• Für die Rechenoperationen :
• Für :
• 

Frage 16 – (strenge) Monotonie einer Folge

Wann heißt eine Folge (streng) monoton wachsend, wann (streng) monoton fallend?

Antwort 16

Eine Folge heißt

• (streng) monoton wachsend, wenn ()
• (streng) monoton fallend, wenn ()

Frage 17 – Konvergenz

Wann sind monotone Folgen konvergent?

Antwort 17

Eine monoton wachsende Folge ist genau dann konvergent, wenn sie nach oben beschränkt ist.

Eine monoton fallende Folge ist genau dann konvergent, wenn sie nach unten beschränkt ist.

Frage 18 – Cauchyfolgen

Sind Cauchyfolgen konvergent?

Antwort 18

Eine Folge reeller Zahlen ist genau dann konvergent, wenn sie eine Cauchyfolge ist.

Auch im Körper der komplexen Zahlen sind Cauchyfolgen konvergent.

Beweis durch Intervallschachtelung („in der Hälfte ist immernoch unendlich“)

Frage 19 – Reihen

Was ist eine Reihe?

Antwort 19

Eine Reihe ist die Summe der Folgeglieder einer Folge. Es gilt:

wird als n-te Partialsumme bezeichnet.

Frage 20 – konvergente und eine divergente Reihen

Was ist ein Beispiel für eine konvergente und eine divergente Reihe? (mit Namen)

Antwort 20

Konvergent: geometrische Reihe:

Divergent: harmonische Reihe:

Frage 21 – Rechenregeln für Reihen

Wie lauten die Rechenregeln für die Addition von Reihen und die Multiplikation mit einem Skalar?

Antwort 21

und konvergent

konvergent

konvergent

Merke: konvergent

Frage 22 – Konvergenzkriterien für Reihen

Wie heißen die vier wichtigsten Konvergenzkriterien für Reihen?

Antwort 22

• Cauchysches KK
• Leibnizsches KK
• Majorantenkriterium
• Quotientenkriterium

Frage 23 – Cauchysches Konvergenzkriterium

Wie lautet das Cauchysche Konvergenzkriterium?

Antwort 23

Eine Reihe konvergiert genau dann, wenn es für jede reelle Zahl eine natürliche Zahl gibt, so dass für alle natürlichen Zahlen n, m mit gilt:

(Die Summe aller Folgeglieder ab einem bestimmten Folgeglied ist kleiner als )

Frage 24-Leibnizsches Konvergenzkriterium

Wie lautet das Leibnizsche Konvergenzkriterium?

Antwort 24

Jede alternierende Reihe, deren Folge monoton fällt und gegen 0 konvergiert, ist konvergent.

(Alternierend: Abwechselnd positiv / negativ)

Frage 25 – Majorantenkriterium

Wie lautet das Majorantenkriterium?

Antwort 25

Sei eine konvergente Reihe mit nichtnegativen Gliedern und sei eine Folge mit . Dann konvergiert die Reihe absolut und es gilt

Frage 26 – Quotientenkriterium

Wie lautet das Quotientenkriterium?

Antwort 26

Sei eine Reihe und gebe es eine Zahl q mit und eine Zahl , so dass gilt:

,

dann konvergiert die Reihe absolut.

Achtung: Nicht für Divergenz verwenden!

Frage 27 – absolute Konvergenz

Was bedeutet es, wenn eine Folge absolut konvergent ist?
Ist sie dann auch konvergent?
Gilt auch der Umkehrschluss?

Antwort 27

Eine Reihe heißt absolut konvergent, wenn auch der Betrag ihrer Folgeglieder konvergiert.
Eine absolut konvergente Reihe ist immer auch konvergent.
Eine konvergente Reihe ist nicht immer absolut konvergent, z.B. ist die folgende Reihe konvergent, aber nicht absolut konv.:

Frage 28 – Cauchyprodukt

Definition des Cauchyproduktes von Reihen

Antwort 28

Seien und zwei absolut konvergente Reihen. Für sei . Dann konvergiert auch die Reihe absolut und es gilt:

Frage 29 – Fakultät

Definition von n! (Fakultät)

Antwort 29

Rekursive Definition:

Also

Frage 30 – Binomialkoffezient

Definition des Binomialkoffezienten

Antwort 30

Für zwei natürliche Zahlen mit wird der Binomialkoeffizient , gelesen „n über k“, definiert durch

Frage 31 – Eigenschaften des Binomialkoeffizienten

Was sind die wichtigsten Eigenschaften des Binomialkoeffizienten?

Antwort 31

Frage 32 – binomischer Lehrsatz

Wie lautet der binomische Lehrsatz?

Antwort 32

Für alle gilt:

Frage 33 – Exponentialfunktion

Definition der Exponentialfunktion

Antwort 33

Die Exponentialfunktion ist definiert durch:

Frage 34 – Eigenschaften der Exponentialfunktion

Was sind die wichtigsten Eigenschaften der Exponentialfunktion?

Antwort 34

• Y-Achsenabschnitt:
• Ist streng monoton wachsend
• Funktionswerte immer positiv
• Additionstheorem:
• Stetig und beliebig oft differenzierbar
• 
• 

Frage 35 – Stetigkeit von Funktionen

Folgenkriterium für die Stetigkeit von Funktionen

Antwort 35

Für jede Folge in D, die gegen a konvergiert, gilt: die Folge konvergiert gegen .

Frage 36 – Epsilon-Delta-Charakterisierung

Wie lautet die Epsilon-Delta-Charakterisierung für die Stetigkeit von Funktionen?

Antwort 36

Zu jedem gibt es ein , so dass für alle gilt: wenn , dann ist

„vollmathematisch“:

Frage 37 – Stetigkeit

Wann ist eine Funktion stetig?

Was darf man mit Funktionen machen, damit sie stetig bleiben?

Antwort 37

Eine Funktion ist stetig, wenn sie in jedem Punkt stetig ist. Sie bleibt stetig, wenn man sie mit einer anderen stetigen Funktion addiert, subtrahiert oder multipliziert. Wenn die zweite Funktion immer ungleich 0 ist, darf auch durch sie dividiert werden.

Frage 38 – Polynomfunktionen

Was sind Polynomfunktionen?
Was sind rationale Funktionen?
Sind sie stetig?

Antwort 38

Eine Polynomfunktion ist eine Funktion, die durch definiert ist.
Jede Polynomfunktion ist stetig.

Eine rationale Funktion ist der Quotient aus zwei Polynomfunktionen. Jede rationale Funktion ist auf ihrem Definitionsbereich stetig.

Frage 39 – Zwischenwertsatz

Was besagt der Zwischenwertsatz?

Antwort 39

Sei , sei eine stetige Funktion, und sei ein abgeschlossenes Intervall mit . Dann nimmt f auf alle Werte zwischen und an.

Frage 40 – Umkehrfunktion

Was ist eine Umkehrfunktion?
Wann ist eine Umkehrfunktion stetig?

Antwort 40

Die Umkehrfunktion ist die Spiegelung der Funktion an der Geraden y = x.

Sei I ein Intervall und streng monoton und stetig auf I. Sei . Dann ist die Umkehrfunktion auch stetig.

Frage 41 – spezielle Umkehrfunktionen

Was ist die Umkehrfunktion der Funktionen

Antwort 41

Frage 42 – natürlicher Logarithmus

Wie lauten die Rechenregeln für den natürlichen Logarithmus?

Antwort 42

ist nicht definiert

Frage 43 – Teilfolge

Was ist eine Teilfolge?

Antwort 43

Ist eine Folge und eine streng monoton wachsende Funktion, so ist die Folge eine Teilfolge der Folge . Wenn konvergiert, dann auch .

Beispiel:

Frage 44 – Satz von Bolzano-Weierstrass

Wie lautet der Satz von Bolzano-Weierstrass?

Antwort 44

Jede beschränkte Folge reeller Zahlen besitzt eine konvergente Teilfolge.

Frage 45 – abgeschlossenes Intervall

Was gilt für jede stetige Funktion auf einem abgeschlossenen Intervall ?

Antwort 45

Das Intervall ist nach oben und unten beschränkt.

Es gibt die Stellen mit ,
mit .

Frage 46 – Gleichmäßige Stetigkeit

Wann ist eine Funktion gleichmäßig stetig?

Antwort 46

Sei und eine Funktion. Dann heißt f gleichmäßig stetig auf D, wenn zu jedem ein existiert, so dass für alle gilt:

Mathematisch:

Frage 47 – Grenzwert

Wann hat eine Funktion den Grenzwert ?

Antwort 47

Sei , eine Funktion und . Der Grenzwert existiert, wenn

• a Grenzwert mindestens einer Folge in ist und
• für jede gegen a konvergente Folge in gilt:

Frage 48 – uneigentlicher Grenzwert

Was ist ein uneigentlicher Grenzwert?

Antwort 48

Wenn eine Funktion für x-Werte, die gegen unendlich streben, immer höher wird und die Funktionswerte somit jede beliebige Zahl übersteigen, so gilt: . Das wird in diesem Fall als uneigentlicher Grenzwert bezeichnet.

Frage 49 – Grenzwert

Wann hat eine Funktion den Grenzwert ?

Antwort 49

Wir schreiben , wenn:

• Für jede Folge in D, die gegen konvergiert, gilt:
• Es zu jedem ein gibt, so dass für alle x > S gilt:

Frage 50 – Differenzenquotient

Wie lautet die Definition des Differenzenquotienten?

Antwort 50

Sei und . Der Differenzenquotient
für ist die Steigung der Sekante, die durch die Punkte und läuft. (Tangente für )

Frage 51 – Differentialquotient

Wie lautet die Definition des Differentialquotienten?

Antwort 51

Sei und eine Funktion und ein innerer Punkte von D. Wenn der Grenzwert

existiert, so nennen wir ihn den Differentialquotienten oder die Ableitung der Funktion f im Punkt a.

Andere Form:

Frage 52 – Differenzierbarkeit

Wann ist eine Funktion im Punkt a differenzierbar?

Antwort 52

Wenn der Grenzwert

existiert.

Frage 53 – Rechenregeln für Ableitungen

Wie lauten die wichtigsten Rechenregeln für Ableitungen?

Antwort 53

Konstanter Summand und Faktor:

Produktregel:

Quotientenregel:

Kettenregel:

Frage 54 – Regel von de l’ Hospital

Was besagt die Regel von de l’ Hospital?

Antwort 54

Seien f und g differenzierbar auf einem offenen Intervall I. Sei . Es gelte

Dann gilt:

Frage 55 – Lokales Extremum

Definition (striktes) lokales Maximum bzw Minimum

Antwort 55

Sei und eine Funktion, . Man sagt, dass f in a ein lokales Maximum hat, wenn gilt:

Striktes Maximum:

Minimum analog

Frage 56 – Globales Extremum

Wann ist ein lokales Extremum ein globales?

Antwort 56

Wenn die jeweilige Bedingung, zum Beispiel , nicht nur für Punkte in unmittelbarer Umgebung von a gilt, sondern für alle Punkte

Frage 57 – Satz von Rolle

Was besagt der Satz von Rolle?

Antwort 57

Sei . Sei stetig mit . Außerdem sei f auf dem offenen Intervall differenzierbar. Dann gibt es einen Punkt mit .

Frage 58 – Mittelwertsatz

Wie lautet der Mittelwertsatz?

Antwort 58

Sei . Sei . Außerdem sei f auf dem offenen Intervall differenzierbar. Dann gibt es einen Punkt mit .
(Die Funktion nimmt auf dem Intervall irgendwo ihre mittlere Steigung an).

Frage 59 – Bedingung für ein lokales Maximum

Was ist die notwendige, was die hinreichende Bedingung für ein lokales Maximum?

Antwort 59

Für die Stelle a gelten die folgenden Bedingungen, damit ein Maximum existiert:

Notwendige Bedingung:

Hinreichende Bedingung:

Frage 60 – Schreibweisen für komplexe Zahlen

Wie lauten die verschiedenen Schreibweisen für komplexe Zahlen?

Antwort 60

Frage 61 – Addition und Multiplikation der komplexen Zahlen

Definition der Addition und Multiplikation der komplexen Zahlen

Antwort 61

Addition:

Multiplikation:

Frage 62 – Inverse der komplexen Zahlen

Was sind additive und multiplikative Inverse der komplexen Zahlen?

Antwort 62

additiv:

multiplikativ:

Frage 63 – Konjugierte einer komplexen Zahl

Was ist die Konjugierte einer komplexen Zahl?

Antwort 63

Die Konjugierte ist die komplexe Zahl mit umgekehrtem Vorzeichen zwischen Real- und Imaginärteil:

Frage 64 – Betrag einer komplexen Zahl

Wie wird der Betrag einer komplexen Zahl berechnet?

Antwort 64

Der Betrag ist die Wurzel des Produktes aus der komplexen Zahl und ihrer Konjugierten (immer reell):

Frage 65 – Folge komplexer Zahlen

Wann konvergiert eine Folge komplexer Zahlen?

Antwort 65

Die Folge komplexer Zahlen konvergiert genau dann, wenn die Folge reeller Zahlen gegen 0 konvergiert.

Frage 66 – Sinus- und Cosinusfunktion

Was ist die Definition der komplexen Sinus- bzw. Cosinusfunktion?

Antwort 66

oder:

Frage 67 – Eulersche Formel

Wie lautet die Eulersche Formel?

Antwort 67

Frage 68 – komplexe Exponentialfunktion

Was gilt für ein reelles x bei ?

Antwort 68

Frage 69 – Additionstheoreme

Wie lauten die folgenden Additionstheoreme?

Antwort 69

Frage 70 – Definition von Pi

Definition von Pi über den Cosinus

Antwort 70

Die Zahl sei definiert als das Zweifache der eindeutig bestimmten Nullstelle von cos im Intervall ]0, 2[, d.h.

Frage 71 – Spezielle Ableitungen

Ableitungen:

Antwort 71

Wenn eine Funktion auf dem geschlossenen Intervall [a,b] stetig und auf dem offenen Intervall ]a,b[ differenzierbar ist, dann folgt daraus, dass es ein c in ]a,b[ gibt mit

.

Regel von De l'Hospital

Wenn für zwei auf dem offenen Intervall ]a,b[ differenzierbare Funktionen gilt:

dann folgt daraus:

Differenzierbarkeit

Eine Funktion ist an der Stelle a genau dann differenzierbar, wenn der folgende Grenzwert existiert:

Stetigkeit

Eine Funktion ist stetig an der Stelle a, wenn gilt:

Sie ist gleichmäßig stetig, wenn gilt:

Berechnen Sie jeweils Real- und Imaginärteil von:

Lösung

Um den Real- und Imaginärteil einer komplexen Zahl direkt ablesen zu können, müssen wir sie in die Form bringen, wobei Re(z) = x und Im(z) = y ist.

z1

z2

z3

Die Funktion

sei gegeben durch

Zeigen Sie:

1. besitzt eine differenzierbare Umkehrfunktion (nicht angeben).
2. Für alle

   

   gilt:

   

Lösung

a )

Damit f eine Umkehrfunktion besitzen kann muss f streng monoton sein. Denn eine Umkehrfunktion muss bijektiv sein. Ansonsten wären x und y ja einander nicht eindeutig zuzuordnen.

Streng monoton bedeutet, dass die Ableitung der Funktion f entweder dauerhaft > oder < 0 sein muss.

Mit und (was an dem Intervall für x abzulesen ist) folgt, dass
, denn

damit haben wir gezeigt, dass f streng monoton (steigend) ist.

Des Weiteren gilt für eine Umkehrfunktion:

Da ist, wie wir oben gezeigt haben, existiert die Umkehrfunktion also.

q.e.d.

b )

Erstmal eine einfache Umformung:

Dies ist, wie man unschwer erkennen kann, ein Differentialquotient.
Nach dem Mittelwertsatz gibt es nun auf jeden Fall ein , so dass:

Wir wissen nun aus Aufgabe a) noch:

Dass tatsächlich stimmt haben wir in Aufgabe a) schon gezeigt.

Somit sind wir also fertig und haben die anfängliche Aussage bestätigt.

1. Sei (a_n)_n eine Folge reeller Zahlen und a reell. Wann genau heißt nach Definition (a_n)_n konvergent gegen a?
2. Geben Sie einen angeordneten Körper an, in dem jede Cauchyfolge konvergiert.

Aufgabe B

Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass für alle natürlichen Zahlen n die Zahl (2n+1)²-1 durch 8 teilbar ist.

Aufgabe C

Geben Sie Infimum und Supremum der Menge

an. Liegen Supremum bzw Infimum in M? (Eine Begründung ist jeweils nicht erforderlich.)

Aufgabe D

Bestimmen Sie einen einfachen Ausdruck für den Grenzwert der Reihe

Aufgabe E

Untersuchen Sie, ob der Grenzwert jeweils existiert, und berechnen Sie ihn gegebenenfalls.

Aufgabe F

Untersuchen Sie das Konvergenzverhalten folgender Reihen:

Aufgabe G

Gegeben sei die Funktion

1. Berechnen Sie die erste und zweite Ableitung von f.
2. Bestimmen Sie alle lokalen Minima und Maxima von f.

Aufgabe H

Berechnen Sie Real- und Imaginärteil der Zahl (1-i)²⁰⁰⁸.
Hinweis: Berechnen Sie zuerst Real- und Imaginärteil der Zahlen (1-i)², (1-i)⁴ und (1-i)⁸.

Lösung

Aufgabe A

a) Die Folge ist konvergent, wenn die Bedingung erfüllt ist:
Für jede reelle Zahl gibt es eine natürliche Zahl n₀, so dass für alle natürlichen Zahlen gilt: .

b) Ein Körper, in dem jede Cauchyfolge konvergiert, ist der Körper der reellen Zahlen oder der Körper der komplexen Zahlen. Angeordnet ist allerdings nur der Körper der reellen Zahlen.

Aufgabe B

Induktionsanfang:

Induktionsschritt:

Hier kann nun die Induktionsannahme eingesetzt werden:

Dabei ist (2n+1)²-1 nach Induktionsannahme durch 8 teilbar und 8(n+1) ist offensichtlich auch durch 8 teilbar.

Aufgabe C

Wertetabelle:

Die Werte streben gegen -1 und 1.
Infimum: -1
Supremum: 1

Beide Werte werden nur im Unendlichen erreicht, liegen also nicht in M.

Aufgabe D

Grenzen verändern und zu Exponentialfunktion umformen:

Aufgabe E

von a)

betrachten wir zunächst die innere Klammer:

eingesetzt:

b) wird mit der Regel von de l’Hospital gelöst:

Aufgabe F

a)
Wir betrachten die Folge:

Keine (alternierende) Nullfolge, daher Reihe nicht konvergeht.

b)
Wir nutzen das Quotientenkriterium und erhalten:

Dieser Wert ist immer kleiner als 3/4 für alle n > 2. Die Reihe ist daher konvergent.

Aufgabe G

a)

b)

Notwendige Bedingung: Erste Ableitung = 0:

Überprüfung der hinreichenden Bedingung mit Hilfe der zweiten Ableitung:

Berechnung der Funktionswerte:

Hier noch ein Graph zur Funktion:

Aufgabe H

also:

und es gilt:

b

Zeigen Sei an einem Beispiel, dass aus der Existenz des Grenzwertes aus (a) nicht auf die Differenzierbarkeit von f in x₀ geschlossen werden kann.

Lösung

a )

Der gegebene Grenzwert soll hergeleitet werden. Wir beginnen mit dem aus der Definition der Differenzierbarkeit bekannten Grenzwert:

Wir ersetzen nun das x durch a+h, also den Funktionswert a plus die kleine Differenz h.

Nun ersetzen wir das a durch x₀, da die Funktion an diesem Punkt differenzierbar sein soll:

Wir können aber nicht nur von rechts (x₀+h) an den Grenzwert heran, sondern auch von links. Wir ersetzen h durch -h. Der Grenzwert bleibt in diesem Fall gleich. Um die Terme später addieren zu können, bringen wir sie auf den gleichen Nenner h:

Wir addieren nun den ersten und den zweimal umgeformten Limes:

Die beiden Grenzwerte können zusammengefasst und vereinfacht werden:

q.e.d.

b )

Eine Funktion, die einen Grenzwert für eine nicht differenzierbare Stelle hat, ist die Betragsfunktion. Der Grenzewert ist, wenn man von der positiven Seite kommt = 1, aber wenn man von der negativen Seite kommt = -1. Daher ist die Funktion dort nicht differenzierbar.

Lösung

Eine Funktion ist stetig im Punkt a, wenn gilt:

(Folgenkriterium)

Fall 1: D ist endlich

Wenn D endlich ist, bedeutet das, dass Der Definitionsbereich keine Gerade ist, sondern nur (endlich viele) einzelne Werte enthält. Ein solcher Definitionsbereich könnte zum Beispiel sein: Die geraden Zahlen von 0 bis 100. Für die Argumentation läuft dies auf das gleiche heraus wie der Fall, dass es sich beim Definitionsbereich um die natürlichen Zahlen handelt:

Fall 2:
Wenn der Definitionsbereich den natürlichen Zahlen entspricht, heißt das für eine konvergente Folge, dass ab einem bestimmten Folgeglied alle folgenden Folgeglieder den gleichen Wert haben.
Deshalb haben auch alle Funktionswerte zu diesen Folgegliedern den gleichen Wert (d.h. sie konvergieren). Aufgrund dieser Tatsache ist die Funktion für diesen Wert stetig. Da dass aber für jeden beliebigen Punkt gilt, ist sie auch insgesamt stetig.

Mathematisch:

Sei und a ∈ D beliebig. Außerdem sei beliebig.
Sei nun , dann existiert ein n₀, für das gilt:

Da sich alle ab bestimmt in dieser -Umgebung befinden, aber gleichzeitig in dieser -Umgebung nur der Wert a liegt, müssen alle ab gleich sein.
Anders ausgedrückt: Im Raum der natürlichen Zahlen müssen aber zwei Zahlen, deren Differenz weniger als 1/2 ist, gleich sein.

Deswegen gilt:

Wir betrachten nun

Die Funktion ist also stetig.
q.e.d.

Lösung

Die Division ist definiert als die Multiplikation mit dem inversen Element. Wir formen dementsprechend um:

Nach dem Assoziativgesetz für die Multiplikation lassen wir die Klammern weg:

Nach dem Kommutativgesetz für die Multiplikation vertauschen wir die Faktoren:

Nach dem Assoziativgesetz für die Multiplikation fügen wir Klammern hinzu und erhalten durch die Definition der Division:

Zeigen Sie:

Wenn divergiert, so divergiert auch .

(Diese Tatsache ist auch als Minorantenkriterium bekannt.)

Lösung

Wenn gilt

divergiert divergiert

so ist dies äquivalent zu der Aussage

konvergiert konvergiert

(Begründung siehe unten)
Diese Aussage ist uns schon bekannt und zwar als das Majorantenkriterium. Dass dieses gilt, wurde in der Vorlesung Analysis 1 bewiesen.

Da nun also diese Aussage gilt und sie äquivalent ist zu

divergiert divergiert

gilt auch diese Aussage. Damit sind wir schon fertig und haben gezeigt, dass das Minorantenkriterium gilt.

Bezug zur Informatik

Wenn aus einer Aussage C, eine Aussage D folgt, so bedeutet dies: Wenn das Gegenteil von D gilt, so kann nicht C, sondern nur das Gegenteil von C gelten.

Mathematisch ausgedrückt:
Aus

folgt

Denn aus kann nicht folgen, da sonst automatisch nach Vorraussetzung wieder gelten würde.

Untersuchen Sie, ob globale Minima bzw Maxima existieren. Bestimmen Sie gegebenenfalls alle Stellen, an denen diese angenommen werden.

Lösung

Die Bedingungen für eine Extremstelle sind:

1. Notwendige Bedingung: f ^{\prime}(x) = 0
2. Hinreichende Bedingung: f^{\prime\prime}(x) ≠ 0

Wir müssen die Funktion also zunächst zwei mal ableiten:

Wir setzen nun die erste Ableitung gleich 0 und erhalten die potenziellen Extremstellen:

Diese Stellen setzen wir in die zweite Ableitung ein:

Jetzt berechnen wir die Funktionswerte zu den Extremstellen:

Es gibt also ein lokales Maximum bei (-1;12) und ein lokales Minimum bei (3;-20).

Dies sind jedoch nicht zwingend die globalen Extremstellen. Wir betrachten den Graphen der Funktion auf dem gebenen Intervall:

Der Funktionswert an der Stelle -4 ist -69. Daher ist (-4;-69) ein globales Minimum. (-1;12) bleibt globales Maximum.