Mathematical Engineering - LRT » Elektrotechnik http://me-lrt.de Lernhilfen für das Studium, Übungsaufgaben mit Musterlösungen, Zusammenfassungen und Skripte, auch für andere technische Studiengänge relevant Fri, 27 Jan 2012 09:41:37 +0000 en hourly 1 http://wordpress.org/?v=3.1.3 Lösung eines Systems aus Knoten- und Maschengleichungen http://me-lrt.de/systems-knoten-maschengleichungen http://me-lrt.de/systems-knoten-maschengleichungen#comments Tue, 30 Jun 2009 22:00:14 +0000 admin2 http://me-lrt.de/?p=2580 Dies ist der 300. Artikel im ME-NET! Veröffentlicht um 00:00 Uhr am 01.07.2009

Gegeben ist das folgende Schaltbild:

Schaltbild

Gesucht sind alle unbekannten Zweiggrößen.

Lösung

Zwei Knotengleichungen:

I_0 +I_{U1} -I_1 = 0

I_{U2} -I_2 -I_{U1} = 0

Vier Maschengleichungen:

R_1 I_1 -U_I = 0

I_2 R_2 -I_1 R_1 +U_{E1} = 0

U_{E2} -I_{U2} R_3 -I_2 R_2 = 0

U_{AB} +R_3 I_{U2} = 0

Wir berechnen zuerst I2, dazu stellen wir die vorletzte Formel nach I2 um:

I_2 = \frac{{U_{E2} -I_{U2} R_3 }} {{R_2 }}

Nun ist IU2 unbekannt. Wir formen daher die zweite Gleichung um:

I_{U2} = I_2 +I_{U1}

Nun ist IU1 unbekannt. Wir formen daher die erste Gleichung um:

I_{U1} = -I_0 +I_1

Nun ist I1 unbekannt. Wir formen daher die vierte Gleichung um:

I_1 = \frac{{I_2 R_2 +U_{E1} }} {{R_1 }}

Die so entstandenen neuen Gleichungen setzen wir alle ineinander ein:

I_2 = \frac{{U_{E2} -\left( {I_2 +\left( {-I_0 +\frac{{I_2 R_2 +U_{E1} }} {{R_1 }}} \right)} \right)R_3 }} {{R_2 }}

Vereinfachen:

I_2 = \frac{{U_{E2} -\left( {I_2 R_3 +\left( {-I_0 R_3 +\frac{{I_2 R_2 R_3 }} {{R_1 }}+\frac{{U_{E1} R_3 }} {{R_1 }}} \right)} \right)}} {{R_2 }}

I_2 = \frac{{U_{E2} }} {{R_2 }}-\frac{{I_2 R_3 }} {{R_2 }}+\frac{{I_0 R_3 }} {{R_2 }}-\frac{{I_2 R_2 R_3 }} {{R_1 R_2 }}-\frac{{U_{E1} R_3 }} {{R_1 R_2 }}

I_2 = \frac{{\frac{{U_{E2} }} {{R_2 }}+\frac{{I_0 R_3 }} {{R_2 }}-\frac{{U_{E1} R_3 }} {{R_1 R_2 }}}} {{1+\frac{{R_3 }} {{R_2 }}+\frac{{R_2 R_3 }} {{R_1 R_2 }}}}

I_2 = \frac{{U_{E2} R_1 +I_0 R_1 R_3 -U_{E1} R_3 }} {{R_1 R_2 }}\frac{{R_1 R_2 }} {{R_1 R_2 +R_3 R_1 +R_2 R_3 }}

I_2 = \frac{{I_0 R_1 R_3 -U_{E1} R_3 +U_{E2} R_1 }} {{R_1 R_2 +R_3 R_1 +R_2 R_3 }}

Nun berechnen wir I1:

I_1 = \frac{{I_2 R_2 +U_{E1} }} {{R_1 }}

I_1 = \frac{{\frac{{I_0 R_1 R_2 R_3 -U_{E1} R_2 R_3 +U_{E2} R_1 R_2 }} {{R_1 R_2 +R_3 R_1 +R_2 R_3 }}+U_{E1} }} {{R_1 }}

I_1 = \frac{{\frac{{I_0 R_1 R_2 R_3 -U_{E1} R_2 R_3 +U_{E2} R_1 R_2 +U_{E1} R_1 R_2 +U_{E1} R_3 R_1 +U_{E1} R_2 R_3 }} {{R_1 R_2 +R_3 R_1 +R_2 R_3 }}}} {{R_1 }}

I_1 = \frac{{I_0 R_2 R_3 +U_{E1} R_2 +U_{E1} R_3 +U_{E2} R_2 }} {{R_1 R_2 +R_3 R_1 +R_2 R_3 }}

Für IU1 folgt:

I_{U1} = I_1 -I_0

I_{U1} = \frac{{I_0 R_2 R_3 +U_{E1} R_2 +U_{E1} R_3 +U_{E2} R_2 -I_0 \left( {R_1 R_2 +R_3 R_1 +R_2 R_3 } \right)}} {{R_1 R_2 +R_3 R_1 +R_2 R_3 }}

I_{U1} = \frac{{-I_0 R_1 R_2 -I_0 R_3 R_1 +U_{E1} R_2 +U_{E1} R_3 +U_{E2} R_2 }} {{R_1 R_2 +R_3 R_1 +R_2 R_3 }}

Für IU2 folgt:

I_{U2} = I_2 +I_{U1}

I_{U2} = \frac{{I_0 R_1 R_3 -U_{E1} R_3 +U_{E2} R_1 -I_0 R_1 R_2 -I_0 R_3 R_1 +U_{E1} R_2 +U_{E1} R_3 +U_{E2} R_2 }} {{R_1 R_2 +R_3 R_1 +R_2 R_3 }}

I_{U2} = \frac{{-I_0 R_1 R_2 +U_{E1} R_2 +U_{E2} R_1 +U_{E2} R_2 }} {{R_1 R_2 +R_3 R_1 +R_2 R_3 }}

Für UI folgt:

U_I = R_1 I_1

U_I = \frac{{R_1 \left( {I_0 R_2 R_3 +U_{E1} R_2 +U_{E1} R_3 +U_{E2} R_2 } \right)}} {{R_1 R_2 +R_3 R_1 +R_2 R_3 }}

und schließlich für Für UAB:

U_{AB} = -R_3 I_{U2}

U_{AB} = \frac{{R_3 \left( {I_0 R_1 R_2 -U_{E1} R_2 -U_{E2} R_1 -U_{E2} R_2 } \right)}} {{R_1 R_2 +R_3 R_1 +R_2 R_3 }}

Zum Vergleich die Lösung von Mathematica

von Mathematica gelöstes Gleichungssystem

]]> http://me-lrt.de/systems-knoten-maschengleichungen/feed 0 >> Alte Prüfungsaufgaben … http://me-lrt.de/alte-prufungsaufgaben http://me-lrt.de/alte-prufungsaufgaben#comments Sun, 28 Jun 2009 15:40:28 +0000 RuRi http://me-lrt.de/?p=2570 Hier findet ihr eine kleine Zusammenstellung von Prüfungsaufgaben mit zugehörigen Lösungen als Word-Dokumente:

  • Kugelsymmetrische Raumladungsverteilung
  • Magnetische-Feldstärke
  • Schaltkreis
  • Wechselstromschaltung
  • Addierer
  • Zusatzaufgaben
  • Zylinderförmige Raumladungsverteilung
  • Wechselstromkreis
  • Subtrahierer
    • ]]>     http://me-lrt.de/alte-prufungsaufgaben/feed 0     A01 – Kugelsymmetrische Raumladungsverteilung http://me-lrt.de/a01-kugelsymmetrische-raumladungsverteilung http://me-lrt.de/a01-kugelsymmetrische-raumladungsverteilung#comments Sun, 28 Jun 2009 10:32:41 +0000 JK http://me-lrt.de/?p=2554 Gegeben ist die kugelsymmetrische Raumladungsverteilung

    \rho (r) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \rho _0 \left( {\frac{r}{{R_1 }}-\frac{3}{2}} \right) & {r \leq R_1 } \\ {-\rho _0 \frac{r} {{R_1 }}} & {R_1 < r \leq R_2 } \\ \end{array} } \right.

    (a) Berechnen Sie die in einem kugelförmigen Volumen mit variablem Radius r eingeschlossene Ladung abhängig von den gegebenen Größen! Unterscheiden Sie dabei die Fälle 0 \leq r < R_1, R_1 \leq r < R_2 und r \geq R_2!

    (b1) Berechnen Sie die dielektrische Verschiebung D(r) in Abhängigkeit
    von den gegebenen Größen. Unterscheiden Sie dabei die Fälle 0 \leq r < R_1, R_1 \leq r < R_2 und r \geq R_2!
    (b2) Skizzieren Sie den Verlauf der dielektrischen Verschiebung D(r).

    (c) Berechnen Sie die Spannung U_{R_1 R_2 } zwischen einem Punkt bei r = R_1 und einem
    Punkt bei r = R_2 abhängig von den gegebenen Größen \left( {\varepsilon _r = 1} \right).

    Lösung:

    Diese Art der Aufgabenstellung wird sehr ausführlich unter „Experimentalphysik 09.2 – Ladungsverteilung und Gauß’scher Satz“

    a)

    Die in einem Gebiet eingeschlossene Ladung kann über Q_{eing} = \int\limits_V {\rho (r)\cdot dV} berechnet werden. Wenn bekannt ist, wie die geometrische Symmetrie ist, kann dieser Term vereinfacht werden. In diesem Fall ist der Körper eine Kugel, was zur Folge hat, dass ein Volumenelement die Größe 4\pi r^2 hat.
    Hiermit lässt sich obige Formel vereinfachen zu: Q_{eing} (r) = \int\limits_0^r {\rho (r ^{\prime})\cdot 4\pi r ^{\prime 2} \cdot dr ^{\prime}}
    Bereich r \leq R_1:
    Mit der Raumladungsverteilung \rho \left( r \right) = {\rho _0}\left( {\frac{r} {{{R_1}}} - \frac{3} {2}} \right) ergibt sich:

    Q_{eing} (r) = \int\limits_0^r {\rho _0 \left( {\frac{{r ^{\prime}}} {{R_1 }}-\frac{3} {2}} \right)4\pi r ^{\prime 2} \cdot dr ^{\prime}}

    Zu beachten ist, dass „r“ die obere Integralgrenze „r’“ hingegen die Laufvariable von 0 bis r ist.

    Wir lösen das Integral auf:

    Q_{eing} \left( r \right) = 4\pi \rho _0 \int\limits_0^r {\left( {\frac{{r ^{\prime 3} }} {{R_1 }}-\frac{3} {2}r ^{\prime 2} } \right)} dr ^{\prime}= 4\pi \rho _0 \left[ {\frac{{r ^{\prime 4} }} {{4R_1 }}-\frac{{r ^{\prime 3} }} {2}} \right]_0^r

    = 4\pi \rho _0 \left( {\frac{{r^4 }} {{4R_1 }}-\frac{{r^3 }} {2}} \right)

    \underline {\underline {Q_{eing} \left( r \right) = 4\pi \rho _0 \left( {\frac{{r^4 }} {{4R_1 }}-\frac{{r^3 }} {2}} \right)} }

    Bereich R_1 < r \leq R_2:
    Mit der Raumladungsverteilung \rho \left( r \right) = -\rho _0 \frac{r} {{R_1 }} ergibt sich:
    Q_{eing} \left( r \right) = \int\limits_0^{R_1 } {\rho _0 \left( {\frac{{r ^{\prime}}} {{R_1 }}-\frac{3} {2}} \right)4\pi r ^{\prime 2} \cdot dr ^{\prime}} +\int\limits_{R_1 }^r {\left( {-\rho _0 \frac{{r ^{\prime}}} {{R_1 }}} \right)4\pi r ^{\prime 2} \cdot dr ^{\prime}}
    Hierbei ist wichtig, dass im Intervall \left[ {0;R_1 } \right] noch die erste und erst ab R_1 \leq r die zweite Ladungsverteilung gilt.

    Wir lösen das Integral auf:
    Q_{eing} \left( r \right) = \int\limits_0^{R_1 } {\rho _0 \left( {\frac{{r ^{\prime}}} {{R_1 }}-\frac{3} {2}} \right)4\pi r ^{\prime 2} \cdot dr ^{\prime}} +\int\limits_{R_1 }^r {\left( {-\rho _0 \frac{{r ^{\prime}}} {{R_1 }}} \right)4\pi r ^{\prime 2} \cdot dr ^{\prime}}

    = 4\pi \rho _0 \left( {\frac{{R_1^4 }} {{4R_1 }}-\frac{{R_1^3 }} {2}} \right)-\frac{{4\pi \rho _0 }} {{R_1 }}\left[ {\frac{{r ^{\prime 4} }} {4}} \right]_{R_1 }^r

    Q_{eing} \left( r \right) = \pi \rho _0 \left( {R_1^3 -2R_1^3 } \right)-\left[ {\frac{{4\pi \rho _0 }} {{R_1 }}\left( {\frac{{r^4 -R_1^4 }} {4}} \right)} \right]

    \underline {\underline {Q_{eing} \left( r \right) = -\frac{{\rho _0 \pi r^4 }} {{R_1 }}} }

    Bereich r > R_2:
    Mit der Raumladungsverteilung \rho \left( r \right) = 0 ergibt sich:
    Q\left( r \right) = \int\limits_0^{R_1 } {\rho _0 } \left( {\frac{{r ^{\prime}}} {{R_1 }}-\frac{3} {2}} \right)4\pi r ^{\prime 2} \cdot dr ^{\prime}+\int\limits_{R_1 }^{R_2 } {-\rho _0 } \frac{{r ^{\prime}}} {{R_1 }}\cdot 4\pi r ^{\prime 2} \cdot dr ^{\prime}+\int\limits_{R_2 }^r 0 \cdot 4\pi r ^{\prime 2} \cdot dr ^{\prime}

    Wir lösen das Integral auf:
    Q_{eing} \left( r \right) = 4\pi \rho _0 \int\limits_0^r {\left( {\frac{{r ^{\prime 3} }} {{R_1 }}-\frac{3} {2}r ^{\prime 2} } \right)} dr ^{\prime}= 4\pi \rho _0 \left[ {\frac{{r ^{\prime 4} }} {{4R_1 }}-\frac{{r ^{\prime 3} }} {2}} \right]_0^r = 4\pi \rho _0 \left( {\frac{{r^4 }} {{4R_1 }}-\frac{{r^3 }} {2}} \right)

    \underline {\underline {Q_{eing} \left( r \right) = 4\pi \rho _0 \left( {\frac{{r^4 }} {{4R_1 }}-\frac{{r^3 }} {2}} \right)} }

    Bereich R_1 < r \leq R_2:
    Mit der Raumladungsverteilung \rho \left( r \right) = -\rho _0 \frac{r} {{R_1 }} ergibt sich:
    Q_{eing} \left( r \right) = \int\limits_0^{R_1 } {\rho _0 \left( {\frac{{r ^{\prime}}} {{R_1 }}-\frac{3} {2}} \right)4\pi r ^{\prime 2} \cdot dr ^{\prime}} +\int\limits_{R_1 }^r {\left( {-\rho _0 \frac{{r ^{\prime}}} {{R_1 }}} \right)4\pi r ^{\prime 2} \cdot dr ^{\prime}}
    Hierbei ist wichtig, dass im Intervall \left[ {0;R_1 } \right] noch die erste und erst ab R_1 \leq r die zweite Ladungsverteilung gilt.

    Wir lösen das Integral auf:
    Q_{eing} \left( r \right) = \int\limits_0^{R_1 } {\rho _0 \left( {\frac{{r ^{\prime}}} {{R_1 }}-\frac{3} {2}} \right)4\pi r ^{\prime 2} \cdot dr ^{\prime}} +\int\limits_{R_1 }^r {\left( {-\rho _0 \frac{{r ^{\prime}}} {{R_1 }}} \right)4\pi r ^{\prime 2} \cdot dr ^{\prime}} = 4\pi \rho _0 \left( {\frac{{R_1^4 }} {{4R_1 }}-\frac{{R_1^3 }} {2}} \right)-\frac{{4\pi \rho _0 }} {{R_1 }}\left[ {\frac{{r ^{\prime 4} }} {4}} \right]_{R_1 }^r

    Q_{eing} \left( r \right) = \pi \rho _0 \left( {R_1^3 -2R_1^3 } \right)-\left[ {\frac{{4\pi \rho _0 }} {{R_1 }}\left( {\frac{{r^4 -R_1^4 }} {4}} \right)} \right]

    \underline {\underline {Q_{eing} \left( r \right) = -\frac{{\rho _0 \pi r^4 }} {{R_1 }}} }

    Bereich r > R_2:
    Mit der Raumladungsverteilung \rho \left( r \right) = 0 ergibt sich:
    Q\left( r \right) = \int\limits_0^{R_1 } {\rho _0 } \left( {\frac{{r ^{\prime}}} {{R_1 }}-\frac{3} {2}} \right)4\pi r ^{\prime 2} \cdot dr ^{\prime}+\int\limits_{R_1 }^{R_2 } {-\rho _0 } \frac{{r ^{\prime}}} {{R_1 }}\cdot 4\pi r ^{\prime 2} \cdot dr ^{\prime}+\int\limits_{R_2 }^r 0 \cdot 4\pi r ^{\prime 2} \cdot dr ^{\prime}

    Wir lösen das Integral auf:
    \underline {\underline {Q\left( r \right) = -\pi \rho _0 \frac{{R_2^4 }} {{R_1 }}} }

    b)

    Die Dielektrische Verschiebung D(r)ist definiert als die eingeschlossene Ladung geteilt durch die betrachtete Oberfläche. In diesem Fall ist dies die Kugeloberfläche: D(r) = \frac{{Q(r)}} {{4\pi r^2 }}
    Für die drei verschiedenen Bereiche ergibt sich:

    D(r) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \rho _0 \left( {\frac{{r^2 }}{{4R_1 }}-\frac{r}{2}} \right) & {r \leq R_1 } \\ {-\rho _0 \frac{{r^2 }} {{4R_1 }}} & {R_1 < r \leq R_2 } \\ {-\rho _0 \frac{{R_2^4 }} {{4R_1 r^2 }}} & {r > R_2 } \\ \end{array} } \right.

    Der dazugehörige Verlauf ist:

    Verteilung

    c)

    mit E\left( {r ^{\prime}} \right) = \frac{{D(r ^{\prime})}} {{\varepsilon _0 \varepsilon _r }} ergibt sich:
    U_{R_1 R_2 } = \int\limits_{R_1 }^{R_2 } E (r ^{\prime})dr ^{\prime}= \int\limits_{R_1 }^{R_2 }-\frac{{\rho _0 r^2 }} {{4\varepsilon _0 \varepsilon _r R_1 }}dr = \left[ {-\frac{{\rho _0 r^3 }} {{12R_1 \varepsilon _0 \varepsilon _r }}} \right]_{R_1 }^{R_2 }

    ]]>     http://me-lrt.de/a01-kugelsymmetrische-raumladungsverteilung/feed 0     Wechselstromnetzwerk http://me-lrt.de/wechselstromnetzwerk http://me-lrt.de/wechselstromnetzwerk#comments Thu, 18 Jun 2009 08:33:52 +0000 JK http://me-lrt.de/?p=2476 Gegeben ist die untenstehende Schaltung aus einer Kapazität C, einer Induktivität L und 2 gleichen Widerständen R_1 = R_2 = R, die mit einer variablen Kreisfrequenz \omega betrieben werden.

    Wechselstromnetzwerk

    Vorab die Formel für die Induktionsspannung:

    U_L = L\frac{{di}} {{dt}}

    Der allgemeine Ausdruck für einen Ersatzwiderstand zweier paralleler Widerstände ist:

    R_\parallel = \frac{{R_1 R_2 }} {{R_1 +R_2 }}

    Der komplexe Widerstand einer Spule leitet sich wie folgt her:

    i(t) = \hat I\sin (\omega t)

    U_L = L\frac{d} {{dt}}\hat I\sin (\omega t)

    U_L = L\hat I\frac{d} {{dt}}\sin (\omega t) = \omega L\hat Icos(\omega )

    U_L = \omega L\hat Isin\left( {\omega t+\frac{\pi } {2}} \right)

    U_L = j\omega L\hat Isin(\omega t)

    i_c = C\frac{{dU}} {{dt}}

    Somit ergibt sich der Widerstand einer Spule für komplexe Vorgänge:

    Z_L = j\omega L

    Der Innenwiderstand ist dann:

    Ebenso kann man den komplexen Widerstand für einen Kondensator herleiten. Resultierend ergibt sich:

    Z_c = \frac{1} {{j\omega c}}

    z_1 = \frac{{R_1 j\omega L}} {{R_1 +j\omega L}}

    U_L = \omega L\hat Icos(\omega t)

    a )

    Berechnen Sie den Innenwiderstand Z_{i,22,U} der Schaltung bzzgl. Des Klemmenpaares 2-2´ in Abhängigkeit von R,L,C und \omega für den Fall, dass die Schaltung am Klemmenpaar 1-1´ mit einer Spannungsquelle U_E betrieben wird.

    Wechselstromnetzwerk

    Z_2 = R_2 +Z_1

    Z_2 = R_2 +\frac{{R_1 j\omega L}} {{R_1 +j\omega L}}

    Z_{i,22 ^{\prime},u} = \frac{{\frac{1} {{j\omega c}}\cdot Z_2 }} {{Z_2 +\frac{1} {{j\omega c}}}} = \frac{{Z_2 }} {{1+j\omega cZ_2 }}

    Z_{i,22 ^{\prime},u} = \frac{{R_2 +\frac{{R_1 j\omega L}} {{R_1 +j\omega L}}}} {{1+j\omega c\left[ {R_2 +\frac{{R_1 j\omega L}} {{R_1 +j\omega l}}} \right]}}

    b )

    Berechnen Sie den Innenwiderstand Z_{i,22,I} der Schaltung bzzgl. Des Klemmenpaares 2-2´ in Abhängigkeit von R,L,C und \omega für den Fall, dass die Schaltung am Klemmenpaar 1-1´ mit einer Stromquelle I_E betrieben wird.

    Wechselstromnetzwerk

    Z_1 = R_1 +\frac{1} {{j\omega c}}

    Z_2 = \frac{{Z_1 R_2 }} {{Z_1 +R_2 }} = \frac{{\left( {R_1 +\frac{1} {{j\omega c}}} \right)\cdot R_2 }} {{R_1 +R_2 +\frac{1} {{j\omega c}}}}

    Z_{i,22 ^{\prime},I} = Z_2 +j\omega L

    Z_{i,22 ^{\prime},I} = \frac{{\left( {R_1 +\frac{1} {{j\omega c}}} \right)\cdot R_2 }} {{R_1 +R_2 +\frac{1} {{j\omega c}}}}+j\omega L

    c )

    Berechnen Sie
    (1) den Strom I_C durch den Kondensator
    (2)den Strom I_L durch die Spule und
    (3)den Strom I_Rdurch den Widerstand R_1

    Abhängig von den gegebenen Größen, wenn die Schaltung am Klemmenpaar 1-1´mit einer Spannungsquelle U_E betrieben wird.

    Wechselstromnetzwerk

    \frac{{U_L }} {{U_E }} = \frac{{j\omega L}} {{Z_1 +j\omega L}}

    I_L = \frac{{U_E }} {{j\omega L}}\cdot \frac{{j\omega L}} {{Z_1 +j\omega L}}

    Z_1 = \frac{{\left( {R_2 +\frac{1} {{j\omega L}}} \right)R_1 }} {{R_1 +R_2 +\frac{1} {{j\omega c}}}}

    Z_1 = R_1 \frac{{1+j\omega cR_2 }} {{1+j\omega c(R_1 +R_2 )}}

    I_E = I_L = U_E \frac{1} {{j\omega L+R_1 \frac{{1+j\omega cR_2 }} {{1+j\omega c(R_1 +R_2 )}}}}

    I_E = I_c = U_E \frac{1} {{j\omega L+R\frac{{1+j\omega cR}} {{1+j\omega c2R}}}}

    i_1 = I_E \frac{{R_2 }} {{R_1 +R_2 }}

    i_2 = I_E \frac{{R_1 }} {{R_1 +R_2 }}

    i_2 = U_E \frac{1} {{j\omega L+R\frac{{1+j\omega cR}} {{1+j\omega c2R}}}}\frac{R} {{2R+\frac{1} {{j\omega c}}}}

    I_R = I_E \frac{{R_2 +\frac{1} {{j\omega c}}}} {{R_1 +R+\frac{1} {{j\omega c}}}}

    I_R = U_E \frac{1} {{j\omega L+R\frac{{1+j\omega cR}} {{1+j\omega c2R}}}}\frac{{R+\frac{1} {{j\omega c}}}} {{2R+\frac{1} {{j\omega c}}}}

    d )

    Berechnen Sie
    (1) den Strom I_C durch den Kondensator
    (2)den Strom I_L durch die Spule und
    (3)den Strom I_Rdurch den Widerstand R_1
    Abhängig von den gegebenen Größen, wenn die Schaltung am Klemmenpaar 1-1´mit einer Stromquelle I_E betrieben wird.

    I_L = I_E

    I_c = I_E \frac{{R_1 }} {{R_1 +R_2 +\frac{1} {{j\omega c}}}} = I_E \frac{R} {{2R+\frac{1} {{j\omega c}}}}

    I_R = \frac{{R_2 +\frac{1} {{j\omega c}}}} {{R_1 +R_2 +\frac{1} {{j\omega c}}}} = I_E \frac{{1+j\omega cR}} {{1+j\omega c2R}}

    ]]>     http://me-lrt.de/wechselstromnetzwerk/feed 0     Zylindersymmetrische Raumladungsverteilung http://me-lrt.de/zylindersymmetrische-raumladungsverteilung http://me-lrt.de/zylindersymmetrische-raumladungsverteilung#comments Thu, 18 Jun 2009 08:08:02 +0000 JK http://me-lrt.de/?p=2470 Gegeben ist die zylindersymmetrische Raumladungsverteilung \rho (r)

    \rho (r) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\rho _0 \frac{r}{R}} & {0 \leq r < R} \\ 0 & {R \leq r < 2R} \\ {K\rho _0 \left( {\frac{r} {R}-3} \right)} & {2R \leq r < 3R} \\ 0 & {3R \leq r} \\ \end{array} } \right.

    wobei K eine positive reelle Konstante ist.

    Aufgaben und Lösungen

    a )

    Skizzieren Sie den Verlauf \rho (r) über r.

    Lösung:

    Zylinderladung

    b )

    Berechnen Sie allgemein die in einem zylinderförmigen Volumen
    der Länge L mit variablem Radius r um den Koordinatenursprung
    eingeschlossene Ladung Q(r) abhängig von \rho _0, R, k und r. Unterscheiden
    Sie dabei die Fälle 0 ≤ r < R, R ≤ r < 2R , 2R ≤ r < 3R und
    r ≥ 3R.

    Lösung:

    Für zylinderfrömige Ladungsverteilungen benutzen wir folgendes Integral:

    Q(r) = \int {\rho (r)2\pi rL\cdot ds}

    0 \leq r < R

    Q(r) = 2\pi L\cdot\int\limits_0^r {\rho _0 \frac{{r^* }} {R}\cdot r^* \cdot dr^* = \frac{{2\pi L\rho _0 }} {R}\left[ {\frac{{r^{*3} }} {3}} \right]_0^r } = \frac{{2\pi L\rho _0 }} {{3R}}r^3

    R \leq r < 2R

    Q(r) = \frac{{2\pi L\rho _0 }} {3}R^2

    2R \leq r < 3R

    Q(r) = \frac{{2\pi L\rho _0 }} {3}R^2 +K2\pi L\rho _0 \int\limits_{2R}^r {\left( {\frac{{r^* }} {R}-3} \right)r^* dr^* }

    Q(r) = \frac{{2\pi L\rho _0 }} {3}R^2 +K2\pi L\rho _0 \left[ {\frac{{r^{*3} }} {{3R}}-\frac{3} {2}r^{*2} } \right]_{2R}^r

    Q(r) = 2\pi L\rho _0 \left[ {\frac{{R^2 }} {3}+K\left( {\frac{{r^3 }} {{3R}}-\frac{{3r^2 }} {2}-\frac{8} {3}R^2 +6R^2 } \right)} \right]

    3R \leq r

    Q(r) = 2\pi L\rho _0 \left[ {\frac{{R^2 }} {3}+K\left( {\frac{{27}} {3}R^2 -\frac{{27}} {2}R^2 -\frac{8} {3}R^2 +6R^2 } \right)} \right]

    c )

    Berechnen Sie allgemein die dielektrische Verschiebung D(r) abhängig
    von \rho _0 , R, k und r. Unterscheiden Sie dabei wiederum die
    Fälle 0 ≤ r < R, R ≤ r < 2R , 2R ≤ r < 3R und r ≥ 3R.

    Lösung:

    D(r) = \frac{{Q(r)}} {{2\pi rL}}

    0 \leq r < R

    D(r) = \frac{{\rho _0 }} {{3R}}r^2

    R \leq r < 2R

    D(r) = \frac{{\rho _0 }} {{3r}}R^2

    R \leq r < 2R

    D(r) = \frac{{\rho _0 }} {r}\left[ {\frac{{R^2 }} {3}+K\left( {\frac{{r^3 }} {{3R}}-\frac{{3r^2 }} {2}-\frac{8} {3}R^2 +6R^2 } \right)} \right]

    3R \leq r

    D(r) = \frac{{\rho _0 }} {r}\left[ {\frac{{R^2 }} {3}+K\left( {\frac{{27}} {3}R^2 -\frac{{27}} {2}R^2 -\frac{8} {3}R^2 +6R^2 } \right)} \right]

    d )

    Welcher Wert ergibt sich für die Konstante k aus der Forderung:
    D(r ≥ 3R) = 0 (dielektrische Verschiebung verschwindet für r ≥ 3R).

    Lösung:

    K = ?

    Q(r) = 0 = 2\pi L\rho _0 R^2 \left( {\frac{1} {3}-\frac{7} {6}K} \right) \Rightarrow K = \frac{1} {3}\cdot\frac{6} {7} = \frac{2} {7}

    e )

    Berechnen Sie die Spannung UR−2R zwischen einem Punkt bei
    r = R und einem Punkt bei r = 2R in Abhängigkeit von den gegebenen
    Größen ( ε r = 1).

    Lösung:

    U_{R-2R} = V(R)-V(2R) = \frac{{\rho _0 r^2 }} {{\varepsilon _0 }}\left( {\frac{2} {3}-K\frac{7} {{12}}} \right)

    ]]>     http://me-lrt.de/zylindersymmetrische-raumladungsverteilung/feed 0     Kugelsymmetrische Raumladungsverteilung http://me-lrt.de/kugelsymmetrische-raumladungsverteilung http://me-lrt.de/kugelsymmetrische-raumladungsverteilung#comments Wed, 17 Jun 2009 13:10:10 +0000 JK http://me-lrt.de/?p=2463 Gegeben ist eine kugelsymmetrische Raumladungsverteilung

    mit: 0 ≤ K ≤ ∞

    \rho (r) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 0 & {0 \leq r < R} \\ {\rho _0 \cdot\left( {2-K\cdot\frac{r} {R}} \right)} & {R \leq r < 2R} \\ 0 & {2R < r} \\ \end{array} } \right.

    a) Skizzieren Sie den Verlauf \rho (r) über r für
    1) K = 1 und
    2) K = 2 .

    b) Berechnen Sie die in einem kugelförmigen Volumen mit variablem
    Radius r eingeschlossene Ladung Q(r) abhängig von den gegebenen
    Größen. Unterscheiden Sie dabei die Fälle 0 ≤ r < R, R ≤ r < 2R und r ≥ 2R .

    c) Berechnen Sie die dielektrische Verschiebung D(r) in Abhängigkeit
    von den gegebenen Größen. Unterscheiden Sie dabei die Fälle
    0 ≤ r < R, R ≤ r < 2R und r ≥ 2R .

    d) Für welchen Wert von k ist D(r ≥ 2R)=0 (die dielektrische Verschiebung
    verschwindet für r ≥ 2R ) ?

    e) Berechnen Sie für den unter (d) ermittelten Wert von k den Potential-
    verlauf V(r) ( εr = 1).

    Lösung

    a)

    Kugelladungsverteilung

    b)

    Für kugelförmige Ladungsverteilungen benutzen wir folgendes Integral:

    Q(r) = \int {\rho (r)4\pi r^2 \cdot ds}

    0 \leq r < R

    Q(r) = \int\limits_0^r {0 \cdot dr} * = 0

    R \leq r < 2R

    Um jede Ladungsverteilung im Intervall [R,2R] zu berücksichtigen, wird die obere Integralsgrenze variable gewählt. Da wir sie auch mit r benennen, müssen wir die Integrationsvariable r zu r* umwandeln.

    Q(r) = \int\limits_R^r {\rho _0 \left( {2-K\cdot\frac{{r^* }} {R}} \right)} \cdot 4\pi r^{*2} \cdot dr^* +\int\limits_0^R {\ldots}

    Q(r) = 4\pi \rho _0 \left[ {\frac{{2r^{*3} }} {3}-\frac{{Kr^{*4} }} {{4R}}} \right]_R^r

    Q(r) = 4\pi \rho _0 \left[ {\frac{{2r^3 }} {3}-\frac{{Kr^4 }} {{4R}}-\frac{{2R^3 }} {3}+\frac{{KR^3 }} {4}} \right]

    r \geq 2R

    An der Stelle 2R brauchen wir nur im eben berechneten Integral r = 2R zu setzen.

    Q(r) = 4\pi \rho _0 \left[ {\frac{{16}} {3}R^3 -4KR^3 -\frac{2} {3}R^3 +\frac{K} {4}R^3 } \right]

    Q(r) = 4\pi \rho _0 \left[ {\frac{{14}} {3}R^3 -\frac{{15}} {4}R^3 } \right]

    c)

    Q(r) = D(r)\cdot 4\pi r^2

    D(r) = \frac{{Q(r)}} {{4\pi r^2 }}

    Also können wir einfach die in a.) berechneten Integrale benutzen und sie durch 4\pi r^2 dividieren.

    0 \leq r < R

    D(r) = 0

    R \leq r < 2R

    D(r) = \frac{{\rho _0 }} {{r^2 }}\left[ {\frac{{2r^3 }} {3}-\frac{{Kr^4 }} {{4R}}-\frac{{2R^3 }} {3}+\frac{{KR^3 }} {4}} \right]

    2R < r

    D(r) = \left[ {\frac{{14}} {3}R^3 -\frac{{15K}} {4}R^3 } \right]

    d)

    \frac{{14}} {3}-\frac{{15}} {4}K = 0 \to K = \frac{{14}} {3}\cdot\frac{4} {{15}} = \frac{{56}} {{45}}

    e)

    Hier setzen wie die Integration von außen nach innen an, wobei dann die innere Grenze variabel ist.

    V(r = \infty ) = 0 = V_\infty

    V(r) = \int\limits_r^\infty {\frac{{D(r)}} {{\varepsilon _0 }}} \cdot dr

    2R \leq r < \infty

    ]]>     http://me-lrt.de/kugelsymmetrische-raumladungsverteilung/feed 2     Magnetischer Fluss http://me-lrt.de/magnetischer-fluss http://me-lrt.de/magnetischer-fluss#comments Wed, 17 Jun 2009 11:01:51 +0000 JK http://me-lrt.de/?p=2454 Gegeben ist der in nachfolgender Skizze dargestellte Eisenkörper (\mu _R>>1), der überall die Querschnittsfläche A besitzt. Über eine Spule (Strom I, Windungszahl w) wird im Eisenteil 1 (Länge: \frac{L} {2}+L+\frac{L} {2}) der magnetische Fluss \phi _1 erzeugt, der sich in den magnetischen Fluss \phi _2, durch Eisenteil 2 (Länge L abzüglich Luftspalt d) und den magnetischen Fluss durch Eisenteil 3 (Länge: \frac{L} {2}+ L+\frac{L} {2} ) aufspaltet.

    Eisenkern

    a) Geben sie einen allgemeinen Zusammenhang zwischen den 3 magnetischen Flüssen \phi _1, \phi _2 und \phi _3 an. Sortieren Sie die 3 magnetischen Flüsse betragsmäßig der Größe nach.

    b) Berechnen sie
    (1) den magnetischen Widerstand R_{M1} von Eisenteil 1,
    (2) den magnetischen Widerstand R_{M2} von Eisenteil 2,
    (3) den magnetischen Widerstand R_{M3}
    (4) den magnetischen Widerstand R_{ML}
    Abhängig von den gegebenen Größen.

    c) Geben Sie einen allgemeinen Zusammenhang zwischen w \cdot I, den 3 magnetischen Flüssen und den 4 unter b.) berechneten magnetischen Widerständen an.

    Lösung

    a)

    \phi _1 = \phi _3 +\phi _2

    \phi _1 > \phi _3 > \phi _2

    b)

    Netzwerk

    \phi _1 = \phi _2 +\phi _3

    R_{M_1 } = \frac{1} {{\mu _0 \mu _r }}\frac{{2L}} {A}

    R_{M_2 } = \frac{1} {{\mu _0 \mu _r }}\frac{{l-d}} {A}

    R_{M_3 } = \frac{1} {{\mu _0 \mu _r }}\frac{{2L}} {A}

    R_L = \frac{1} {{\mu _0 \mu _r }}\frac{d} {A}

    c)

    M_1 :\phi _1 R_{M_1 } +\phi _2 \left( {R_{M_2 } +R_2 } \right) = w\cdot I

    M_2 :\phi _3 R_{M_3 } = \phi _2 \left( {R_{M_2 } +R_2 } \right)

    \phi _1 = \phi _2 +\phi _3

    ]]>     http://me-lrt.de/magnetischer-fluss/feed 0