Höhere Auflösung

Definition: Ein Feld ist eine physikalische Größe, die zu jedem Zeitpunkt an jedem Ort definiert ist.

Beispiele:

: Raum- und zeitabhängiges Temperaturfeld

: Teilchendichte

: Massendichte

: zeitlich konstantes / stationäres Feld

Alle diese Felder haben zu jeder Zeit an jedem Punkt nur einen eindeutigen Wert. Es sind daher skalare Felder.

Nicht-skalare Felder:

Dies ist ein Geschwindigkeitsfeld. An jedem Ort zu jeder Zeit ist ein Vektor gegeben, der die Geschwindigkeit und die Richtung angibt. Das Geschwindigkeitsfeld ist daher, genau wie das elektrische Feld oder das magnetische Feld ein Vektorfeld.

Die Topologie

Eine Topologie ist eine Oberfläche im Raum. Einer zweidimensionalen Fläche wird an jeder x/y-Koordinate eine Höhe z(x,y) zugewiesen.

Linien, die den gleichen Funktionswert in x-Richtung haben, können auf dem Gebiet als ISO-Linien dargestellt werden. Sie entsprechen den Höhenlinien auf einer Landkarte:

Je dichter die Höhenlinien aneinander liegen, desto steiler ist das Gelände. Der steilste Anstieg steht senkrecht auf der Höhenlinie und ist gegeben durch die Änderung des z-Wertes des Feldes in x- und y-Richtung.
Die Funktion für die Steigung lautet:

Allgemein gilt für ein dreidimensionales Feld:

Der Gradient “grad U” ist ein Vektorfeld, das nur gebildet werden kann, wenn U ein skalares Feld ist. grad U gibt die Größe der maximalen Steigung an und steht senkrecht auf den Äquipotenziallinien, also auf den Linien für die gilt:

Strömungsfelder

Jedem Punkt im Raum wird eine Geschwindigkeit und eine Richtung zugewiesen. Außerdem wird jedem Punkt eine Teilchendichte zugewiesen. Hieraus berechnet sich die Teilchenstromdichte j:

Entsprechend ergibt sich die Einheit für j (at = Anzahl der Atome, wird durch 1 ersetzt):

Wir betrachten eine plane rechteckige Fläche A, durch die die Teilchen strömen sollen. Es soll die Anzahl der Teilchen bestimmt werden, die in einem Zeitabschnitt dt durch die Fläche A strömen. Hierfür wird die mittlere Geschwindigkeit der Teilchen benutzt:

Erklärung: Die Teilchen bewegen sich im Mittel lokal alle mit der gleichen Geschwindigkeit in die gleiche Richtung. Da sie in der Zeit dt den Weg ds zurücklegen, strömen genau die Teilchen in dt durch A, die sich vor dem Intervall dt auf die Fläche A zubewegt haben und in Bewegungsrichtung weniger als ds von ihr entfernt waren. Die möglichen Startpunkte der Teilchen kann man durch das Volumen V (siehe Bild) darstellen. Multipliziert man dieses Volumen mit der Teilchendichte n, erhält man die gewünschte Anzahl dN.
Das Volumen berechnet man mit der Formel:

Volumen = Grundseite mal Höhe

Die Grundseite ist hier , die Höhe ist
Die Strecke berechnet man mit der Formel , wobei v der Betrag der mittleren Geschwindigkeit und t das Zeitintervall dt ist.

Der Teilchenstrom berechnet sich wie folgt:

ist der Normalenvektor der Fläche A. Seine Länge entspricht im Betrag dem Flächeninhalt von A. So erklärt sich der letzte Schritt in der Gleichung für I_at, denn das Skalarprodukt des Geschwindigkeitsvektors und des Flächen-Normalenvektors ist definiert als:

Für eine beliebig gekrümmte und geformte Fläche A gilt:

Geschlossene Oberfläche

Wenn in einem geschlossenen Volumen keine Quellen oder Senken vorhanden sind, gilt j_at = 0. Eine Strömung bei einer geschlossenen Oberfläche berechnet man mit einem geschlossenen Integral:

Beispiel: Trichter

Konvention: Die Normalenvektoren der Oberflächen zeigen immer nach außen.

Berechnung der Strömung:

Die Skalarprodukte sind hier trivial, da die Geschwindigkeitsvektoren an der Eingangs- und Ausgangsfläche parallel zu den Normalenvektoren der Oberflächen liegen und innerhalb des Trichters senkrecht zur Mantelfläche stehen:

Es folgt:

Daraus ergeben sich die beiden wichtigen Beziehungen:

Quellen oder Senken

Falls es im System Quellen oder Senken gibt, gilt der Gauß’sche Satz:

Produktion von Teilchen

Wir betrachten ein radialsymmetrisches Strömungsfeld. Da Teilchen produziert werden, ist der Teilchenstrom I_at größer als 0.

Für den Teilchenstrom gilt:

Die Teilchenstromdichte ist parallel zu , daher vereinfacht sich erneut das Skalarprodukt. Es gilt außerdem für alle mit . Daher kann das aus dem Integral vorgezogen werden:

Das Oberflächenintegral einer Kugel hat als Lösung:

Es gilt somit:

1. unendlich langer Einzelspalt der Breite (Wellenlänge )
2. idealer Doppelspalt, Spaleabstand , Spaltbreite
3. “realer” Doppelspalt (), dem Interferenzbild ist das Beugungsbild des Einzelspaltes überlagert
4. Was geschieht, wenn die Spaltbreite bei gleichbleibendem Abstand immer kleiner wird?

Lösung

a )

b )

c )

d )

Situation c geht in b über. Zwischenstatus:

Trigonometrie

Sinussatz:

Kosinussatz:

Höhensatz:

Wichtige Zusammenhänge:

Funktionswerte:

Symmetrie:
, ,

Phasenverschiebung:
, ,

Additionstheoreme:

Produkte:

Potenzen:

Oberflächen und Volumen

Kreis:

Kugel:

Kugelkalotte:

Kegel:

Analysis

Differentialgleichungen

Standardansatz:

Komplexer Ansatz für Schwingungen:

Komplexer Ansatz für Kreisbewegungen:

Werte der Jakobideterminante

Umwandlung kartesische Koordinaten in Polarkoordinaten oder Zylinderkoordinaten:

Umwandlung kartesische Koordinaten in Kugelkoordinaten: (Theta geht direkt zu r)

Sonstiges

Gradient:

Taylorreihenentwicklung:

PQ-Formel:

Mitternachtformel:

Euler-Formel:

Mechanik

Kräfte

Zentrifugalkraft:

Federkraft:

Auftriebskraft:
statisch:
dynamisch: (auch für Luftwiderstand-Kraft)

Stokes Reibung:

Elektrische Feldkraft:

Lorentzkraft: , wenn senkrecht aufeinander:

Energien

Potentielle Energie: , bei Feder: (x: Amplitude)

Kinetische Energie: (Rotation)+(Translation)

Thermische Energie:

Erhaltungssätze

Impulserhaltung: (Vorsicht: vektorielle Addition beim dezentralen Stoß)

Energieerhaltung:

unelastischer Stoß:

Bewegungen

Schwerpunktsatz:

Kreisbewegung:

, Bogenlänge:

Kreis, wenn , Radius:

Drehimpuls:

Präzession:

Trägheitsmomente

Satz von Steiner: , J₁ muss sich auf Schwerpunkt beziehen!

Punktmasse / Zylindermantel:

Vollzylinder: , Querachse:

Hohlzylinder:

dünner Stab: , am Ende:

Kugel:

Quader um Achse c:

Kegel:

Wärmelehre

Spezifische Gaskonstante:

Spezifische Wärmekapazität: , um 1kg um 1° zu erwärmen

Diffusion:

Freiheitsgrade:
für ein Molekül mit n Atomen:
linear: 3 trans, 2 rot, 3n-5 vib
nicht linear: 3 trans, 3 rot, 3n-6 vib

Barometrische Höhenformel:
(M in kg / mol einsetzen)

Maxwell’sche Geschwindigkeitsverteilung:

oder

Thermische Zustandsgleichung

Ideale Gase: (n: Molanzahl, (M: Molmasse, m: Gesamtmasse)

Spezialfälle

Boyle-Mariotte (T und n konstant):

Gay-Lussac (p und n konstant):

Amontons (V und n konstant):

Strömung

Teilchenstrom:
wenn nur eine Richtung betrachtet wird:

Teilchenstromdichte:

Intensität: , für bestimmte Messfläche:

Bernoulli-Formel:

mit Höhenunterschied:

Gauß’scher Satz:

Kontinuitätsgleichung (Q=0):

Strömungsfeld:

E-Technik

Gauß’sche Ladungsverteilung:

für Kugel:

Potential:

Coulomb’sches Gesetz:

Feld:

Feldstärkevektor: (von allen Punktladungen vektoriell addieren)

Faraday:

für langen Draht:

Plattenkondensator:

Kapazität:

Spezifischer Widerstand:

Leitfähigkeit:

für Ohm’schen Widerstand:

Induktivität einer Spule:

Magnetische Feldstärke:

Magnetfeld einer Spule:

Ladevorgang eines Kondensators: ,

Reihenschaltung: I const, Summe U = 0

Spannungen: , ,

Schwingungen

Harmonische Schwingung:

Kraft:

Beschleunigung:

resultierende Differentialgleichung:

Lösung z.B. durch:

Geschwindigkeit:

Beschleunigung:

Kreisfrequenz:

Schwingdauer:

Pendelschwingung: (gute Näherung)

Gedämpfte Schwingung

Differentialgleichung:

Ansatz:

allgemeine Lösung:

mit :

Abklingdauer:

andere Form der Lösung:

Kreisfrequenz:

Eigenfrequenz:

Eigenfrequenz bei der erzwungenen Drehschwingung:

Interferrenz

Minima bei Spalt (d = Spaltbreite) bzw.
Maxima bei Doppelspalt und Gitter (d = Spaltabstand):

Maxima bei Spalt (d = Spaltbreite) bzw.
Minima bei Doppelspalt und Gitter (d = Spaltabstand):

Konstanten

Atomare Masseneinheit:

Lichtgeschwindigkeit:

Avogadro-Konstante:

Bolzmannkonstante:

Allgemeine Gaskonstante:

Planksches Wirkungsquantum:

elektrische Feldkonstante:

magnetische Feldkonstante:

Ruhemasse Elektron:

Ruhemasse Neutron:

Ruhemasse Proton:

Ladung Elektron (Elementarladung):

Dichten
Luft:
Wasserstoff:

Einheiten

E-Technik

Stromstärke:

Ladung:

Leistung:

Spannung:

Widerstand:

Feldstärke:

Induktivität:

Kapazität:

Stromdichte:

Magnetismus

Flussdichte:

Feldstärke:

Kinetik

Kraft:

Leistung:

Impuls:

Drehimpuls:

Druck:

Dichte:

Energie, Arbeit, innere Wärme:

Trägheitsmoment:

Umwandlung

Nach einer Einschwingzeit oszilliert die Masse mit der gleichen Frequenz, wie die äußere Kraft, es besteht jedoch eine Phasenverschiebung zwischen und .

1. Verwenden Sie den Ansatz und berechnen Sie die Phasenverschiebung.
2. Berechnen Sie die Amplitude .

Lösung

a )

Für die Bestimmung der Phasenverschiebung müssen wir den Ansatz in die Differentialgleichung einsetzen. Dafür müssen wir die Ableitungen des Ansatzes bestimmen:

Damit folgt:

Um uns die Folgende Rechnung zu erleichtern machen wir uns folgenden Zusammenhang klar. Und zwar können wir die Funktion anstatt zu einem Zeitpunkt mit der Phasenverschiebung auch zu einem anderen Zeitpunkt betrachten, zu dem diese Phasenverschiebung schon stattgefunden hat (Also eine einfache Umbenennung der Variablen):

Eingesetzt folgt nun:

Zum Weiterrechnen nutzen wir nun eine der folgenden Umformungen:

Heißt für unsere Gleichung also:

Im nächsten Schritt führen wir einen Koeffizientenvergleich durch, aus dem folgt:

Da uns nicht bekannt ist, fügen wir die beiden Gleichungen zusammen, indem wir II durch I teilen:

b )

Wir wollen nun die Amplitude der Funktion berechnen. Diese ist allerdings nicht von der Phasenverschiebung abhängig, weshalb wir am Besten aus der Gleichung eliminieren sollten. Dabei hilft uns folgende Gleichung weiter:

Formen wir also die Gleichungen I und II um:

1. Berechnen Sie den Verlauf der Schwingungsamplitude als Funktion der Zeit
2. Nach welcher Zeit ist die Amplitude auf den -fachen Wert der Anfangsamplitude abgesunken?
3. Wie ändert sich für ein gedämpftes Federpendel die Energie als Funktion der Zeit?
4. Bestimmen Sie aus dem Experiment (Frage b) die Viskosität der Flüssigkeit. Benutzen Sie das Stokes’ Gesetz:

Lösung

a )

Als Ansatz verwenden wir hier das 2. Newton’sche Axiom:

In diesem Fall setzt sich die Kraft zusammen aus der Gewichtskraft der Kugel, der Auftriebskraft durch die Flüssigkeit sowie der Federkraft und der Reibungskraft:

Bewegt sich die Kugel nun aus der Ruhelage in Richtung z, so gilt:

Für die einzelnen Kräfte gelten die Beziehungen:

Zur Vereinfachung nehmen wir an, dass die Dichte der Kugel genau so groß ist, wie die Dichte der Flüssigkeit, ansonsten würde die Kugel in der Flüssigkeit nach unten sinken oder auftauchen:

Damit vereinfacht sich die Gleichung:

Nun haben wir also eine Differentialgleichung. Die Lösung erhalten wir über folgenden (komplexen) Ansatz:

Durch Einsetzen folgt:

Diese Gleichung können wir mit Hilfe der “p-q-Formel” lösen:

Einsetzen in den Ansatz:

Nun vereinfachen wir den Ausdruck noch ein wenig mit Hilfe der Eulerschen Formel:

Die Allgemeine Lösung erhalten wir über die Summe der beiden Partikulärlösungen:

Daraus ergibt sich für z nun:

Setzen wir nun noch als Anfangsbedingung bei , so bekommen wir:

Die 2 vor dem cos wurde hier gleich mit in das integriert. Jetzt kann man durch Ersetzen des Exponenten auch diesen noch ein wenig zusammenfassen:

b )

Die Amplitude der Funktion wird bestimmt durch den Term:

Es muss daher für von gelten:

c )

Für die Energie einer Feder gilt folgende Formel:

In unserem Fall also:

d )

Das Gesetz von Stokes beschreibt die Abhängigkeit der Reibungskraft kugelförmiger Körper von ihrem Radius, der Viskosität des Flüssigkeit, in der sich das Objekt befindet, und der Geschwindigkeit des Objektes.

bezeichnet also ebenso wie die Reibungskraft der Kugel in der Flüssigkeit. Daher setzen wir diese beiden Kräfte nun gleich:

Mit Hilfe der Lösung aus Aufgabe b) lässt sich nun auch das k ersetzen:

Lösung

Für die Ladung des Kondensators gilt:

Für die Spannungen gilt:

Alle Spannungen zusammen müssen in Summe 0 ergeben. Aufstellen der Differentialgleichung für durch ersetzen von und :

Lösung über allgemeinen Lösungsansatz:

Hier speziell:

Für denn 1. Fall, dass:
gibt es 2 reelle Lösungen. Man spricht hier von starker Dämpfung.

Für den 2. Fall, dass:
wird komplex. Man spricht hier von schwacher Dämpfung.

Durch Ersetzen können wir noch ein wenig umformen:

1. Berechnen Sie die Induktivität der Spule
2. Berechnen Sie die magnetische Feldenergie , wenn durch die Spule ein Strom von fließen soll.

Lösung

a )

Die Formel für die Induktivität einer Spule ist:

Dabei ist die Windungszahl, die magnetische Feldkonstante, die materialabhängige Permeabilitätszahl, die Querschnittsfläche des Kerns und der Radius des Kerns.

Wir berechnen zunächst die Anzahl der Windungen:

Die Querschnittsfläche ist:

Eingesetzt in die Induktivitätsformel:

b )

Die Formel für die magnetische Feldenergie ist:

Werte einsetzen:

1. Berechnen Sie allgemein die Parameterdarstellung , und der Bahnkurve der Teilchen im Magnetfeld. Lösen Sie die Differentialgleichung mit dem Ansatz
2. Zeigen Sie, dass die Bahnkurve eine Kreisbahn in der (x-y)-Ebene ist.
3. Berechnen Sie den Radius der Kreisbahn.
4. Welche Bahn erhält man, wenn der Geschwindigkeitsvektor des Teilchens beim Eintritt in das homogene Magnetfeld bei die Form hat?

Lösung

Die Aufgabe stellt ein Problem dar, das mit Hilfe der Theorie zur Lorentzkraft gelöst werden kann. Dabei liefert diese Theorie den Ansatz, dass Ladungen (i.a. Strom), die sich in einem B-Feld bewegen von einer Kraft abgelenkt werden, die Lorentzkraft genannt wird. Zur Bestimmung der Richtung der Kraft nutzen wir die Rechte-Hand-Regel. Dabei zeigt der Daumen in die Bewegungsrichtung der positiven Ladungen oder des Stroms, der Zeigefinger in Richtung des B-Feldes und der Mittelfinger in Richtung der Lorentzkraft.
Wenn das Magnetfeld senkrecht zur Bewegungsrichtung steht lautet die Formel für die Lorentzkraft:

Im Fall dieser Aufgabe bewegen sich die positiven Ladungen in y-Richtung, das Magnetfeld verläuft in z-Richtung, daher werden die Ladungen in x-Richtung abgelenkt.

a )

Wir stellen die Differentialgleichung der Bewegung auf.

z-Komponente:

Randbedingungen:

x-Komponente:

Hier gibt es das Problem, dass die Geschwindigkeit in y-Richtung nicht konstant ist, sondern abnimmt, je stärker die Ladung schon in x-Richtung abgelenkt wurde. Statt des setzen wir hier daher die aktuelle Geschwindigkeit in y-Richtung ein:

Dies ist eine gekoppelte Differentialgleichung, mit der wir zunächst nicht umgehen können. Wir wenden uns daher zunächst der y-Komponente zu:

Auch hier kommen wir so nicht weiter.
Wir benutzen nun den in der Aufgabenstellung vorgeschlagenen Ansatz

Wir müssen also eine Gleichung erstellen, in der die beiden ersten Ableitungen von x und y vorkommen. Die erste Ableitung von x muss als Produkt mit i auftauchen. Wir multiplizieren daher die Differentialgleichung für die x-Komponente mit i und addieren sie zu der Gleichung für die y-Komponente:

In der Klammer sollte eine Summe stehen statt einer Differenz, außerdem sollte x im Produkt mit i stehen und nicht y. Wir ziehen daher das i vor die Klammer:

Es gilt:

eingesetzt:

Nun arbeiten wir mit dem gegebenen Ansatz weiter. Das kommt auf der linken Seite der Gleichung in der normalen Form vor, auf der rechten Seite als Ableitung nach der Zeit:

Diese homogene Differentialgleichung können wir mit dem folgenden Ansatz lösen:

Dies müssen wir nun, um wieder auf die einzelnen Komponenten zu kommen, mit der eulerschen Formel umformen:

In diesem Fall gilt:

also:

Hier finden wir die Ausgangsgleichung wieder:

Und zwar in der Form

Wir integrieren die beiden Differentialgleichungen:

Rahmenbedingungen:

Eingesetzt:

b )

Um zu zeigen, dass es sich um eine Kreisbahn handelt, reicht es zu zeigen, dass die Gleichungen der Komponenten x und y denen einer Kreisbewegung entsprechen:

Wir setzen in den von uns berechneten Gleichungen als ω:

Der Summand in der ersten Gleichung stört nicht, da er den Kreis nur in x-Richtung verschiebt.

c )

Um den Radius zu berechnen, benutzen wir die Formel für einen Kreis:

Wir quadrieren also die Gleichungen für x- und y-Komponente und addieren:

Vereinfacht:

Nach dem Additionstheorem folgt:

Auf der linken Seite stehen nun x² (mit Verschiebungssummand) und y², auf der rechten Seite das Quadrat des Radius. Es gilt daher:

d )

Die Geschwindigkeitskomponente in z-Richtung überlagert die Kreisbewegung ungestört, es entsteht also eine Spirale.

1. An die Platten wird ein elektrisches Feld der Form angelegt. Berechnen Sie die Parameterdarstellung der Bahnkurve im Kondensator.
2. Welche Bahnkurve ergibt sich?

Lösung

a )

Wir beginnen mit der Differentialgleichung der Bewegung in x- und y-Richtung:

x-Komponente:

y-Komponente:

b )

Umgestellt nach ergibt sich:

Eingesetzt in die Gleichung für ergibt: